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Full text of "Revue de mathématiques spéciales"

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^ 




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University of Ottawa 



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REVUE 



MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



REVUE 



DE 



MATHEMATIQUES SPÉCIALES 



REDIGEE PAR 



M. B. NIEWENGLOWSKI, 

DOCTEUR ES SUIENCiiS, 
PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES AU LYCÉE LOUIS-LE-GRAND 



AVEC LA COLLABORATION DE MM. 



N. CHARRUIT, 



E. DESSENON, 



A. LAVIEVILLE, 



G. PAPELIER, 



A. TARTINVILLE, 



H. VUIBERT, 

IlÉDAr.TEL'll DU 

Jotiinal de Matlwmaliqnes élémmlai> 



Ci'-J U t vV— ^ ' 



TOME PREMIER 



ANNÉES 1890-91 & 1891-92 

/^.^^ '7 '-.■'2 -* ^ '-^^ 



PARIS 

LIBRAIRIE NONY & C" 

17, rue des Écoles, 17 



:i/^ 




'9/'' 



I 



REVUE 

DE 

MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Concours de 1890.) 



1. — On donne dans un plan une hyperbok équilatère H, dont r équation par rapport à ses axes pris 
pour axes de coordonnées est 

x^ — y^ = a.^; 

d'un point M du plan ayant pour coordonnées x = p, y = q, on mène des normales à celte courbe. 
On demande : 

/° De faire pas-^er par les pieds de ces normales une nouvelle hyperbole équilatère. dont les normales en 
ces points soient concourantes, et de déterminer leur point de concours ; 

2° En désignant par K une hyperbole équilatère satisfaisant à celte condition, dans quelle région du 
plan doit être placé le point M pour qu'il y ail une hyperbole K correspondant à ce point ; 

3" Quelle ligne doit décrire le point M pour que l'hyperbole K soil égale à l'hyperbole H. 

Première PARTIE. — L'hyperbole d'Apollonius relative au point (p, q) et à l'hyperbole donnée (H), a 
pour équation 

âicy — qx — py = 0. 

Une hyperbole (K) est représentée par une équation de la forme 

x^ — y'^ — a'' + IC^xy — qx — py) = 0. 
L'hyperbole d'Apollonius correspondant à un point (a, p) et à l'hyperbole (K), est définie par 
l'équation 

(11 (a - x}[^y - "llx + Ip] + (p - y)[2a; + 2X)/ - Iq] = 0. 

Pour satisfaire aux conditions de l'énoncé, il faut identifier cette équation avec une équation de 
la forme 

(2) x^ - (/^ - a'' + [j-C^xy - qx - py) = 0. 

1 2oa - 2«!J. - 20/= 

ce qui donne - =— ix -— — — 



A ' 2Xa + Ip — 2[3 2a + "2Ap -+■ '/q X{py. — qp) 

D'où l'on tire : 

1 

(3) { p^ -qp^- 2a'^ 

2Xa + >.p = 2((5 - q) 
2Xp + X9=-2(a-/j). 
En éliminant X entre les deux dernières équations, on obtient 

2(a'» + p^) - pa - qp - p'' - q' = 
q\^ 9 



{'-'^'-i^-d-> 



r 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



Le point de concours des normales à l'hyperbole (K), aux points oîi cette hyperbole rencontre 
l'hyperbole (H), est donc à l'intersection lie la droite et du cercle représentés par les équations 

px — qy + "la'^ — 0, 

et faciles à construire. 

Deuxième paihie. — Il y a, d'après ce que nous venons de dire, deux points P,, P^ répondant à la 
question; à chaque système de valeurs de (a, |3) correspond une valeur de X et par suite une hyperbole 
(Kj; il y a donc deux hyperboles (K,), (K,); pour qu'elles soient réelles, il faut et il sullit que les points 
P,, P, soient réels, et par suite que la droite P,Pj coupe le cercle défini par l'équation précédente. La 
condition de réalité s'obtient en écrivant que la distance du cercle à la droiteest moindre que le rayon 

du cercle; on trouve ainsi i^ j- + SaM < tt^ (P* + l'^f 

ou (âp» + q' + 4a-) (//^ -h -Iq'' - ka'} > 0, 

ce qui se réduit à p'^ + 'iq'^ — 4a* > û. 

Le point P doit donc se tiouver à l'intérieur d'une ellipse ayant ses axes de symétrie confondus 
avL'cles axes coordonnés et représentée par l'équation 

ce» y' 

Si le point P est sur cette ellipse, les points P, et Pj sont confondus; s'il est à l'extérieur de 
l'ellipse, P, et Pj sont imaginaires. 

TitoisiE.MK l'AUTiE. — L'équation en S relative à l'hyperbole (K) est 

S* = 1 + l\ 

D'ailleurs o = — S'^ A — a-[l + X') + ;j p? + y (?" — p') ', 

de sorie que l'équation réduite de l'hyperbole (K) est 

X^ - Y^ - A . 0. 

La condition d'éiçalitc des hyperboles (H) et (K) est donc 

A = a*S^ 
en supposant la racine S conveuabU^menl choisie. 

Posons pq ~ v, q' — p- — u ; l'équation de couilition précédente devient ainsi 
4a-^S" + (S'' - l)u -h 2X{S^ - l)v = ia^S', 
d'oîj l'un tire, en supprimant le facteur S — 1, (c'est-à-dire en supposant X yd 0), 

(4) u + 2XtJ = 

s -h i 

D'autre part, en éliminant 2/ et 2(3 entre les équations (3), on obtieul 

(o) X-\4a» + m) - 6li) + 4a* - 2m = 0. 

(La condition de réalité des racines do cette équation se met facilement sous la forme 

»(p' + 9»j« - (p" - ?' -H Sa')' > 0, 

de sorte que l'un retrouve la condition obtenue plus haut.) 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



L'équation (3) peut s'écrire ainsi : 

(6) 4a=S» - Qlv + (S» - 3)w = 0. 

En combinant les équations (4) et (6), on obtient (en supprimant S*) 

\-2a- 



Les équations (4) et (7) donnent 



S -t- 1 



/•ni 



2Xi> - 4a^ = fS' - 3), 

S + t ' 

d'oîi 2Xt; = -^ (S - 1)(S + 2), 

S + 1 ■ 

4a* 
et par suite XV = — -— (S - If (S + 2)^; 

(3+1) 

en remplaçant À* par S- — 1 et supprimant le facteur S — 1, on a 

v^{S + 1)5 = 4a'(S - 1)(S + 2)^; 

mais S + 1 = -T- ) b — 1 = — , S +2 



4a'' + u 4a' + u 4o^ + u 

L'équation du lieu est donc 

tlKv'a' = 8a»(2a' - w)(16a' + m)', 
c'est-à-dire, en remplaçant p par x, q par y, et par suite v par xy et u par y- — x', 

(8) (2a' -h a;' — î/')(16a' -h i/' — x-f- — 6'.a'.£'^- = 0. 

En développant cette équation et en y remplaçant 4x'^' par (x- ■+■ !/')' — (a;' — y-)-, on la met 
sous cette forme : 

(9) (x' - if + 8a')5 = 2.3'.a'.(x' -t- y^)K 
Transformons en coordonnnées polaires, en posant 

a; = — p sin u, î/ = ? cos w ; 

on a ainsi — p'.cos 2(o + 8a' = 3 v^2a'.p''. 

Prenons comme inconnue auxiliaire p~3^ , en posant l — ^~^ \ on a pour déterminer t l'équation 

8a'î3 - 3rv/2^ - cos 2a) = 0. 

Cette équation en ^ a ses trois racines réelles, en supposant l'angle w réel; eu la résolvant, ou 
trouve immédiatement les trois solutions 

3,^;— . 2w :i ^-- 2co -(- 2- i —-- 2(0-1-4^ 

/ \ la- = cos — j /, \ za' = cos ^ , t^ î/2a' = cos ■ 

o O o 

En prenant la première solution, ou trouve 

(10) F=^^- 

La courbe représentée par cette équation est facile à construire. 

On aura toute la courbe en faisant varier <o de — 3- à -h 3-; mais en changeant w en — w, c ne 
change pas; donc OY, qui est l'axe polaire, est un axe de symétrie, de sorte qu'il suffit de faire varier 
(1) de à 3-. Mais si l'on pose w = 3- — o)', on trouve p' = p; OX est donc aussi un axe de symétrie 



ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



3- 

et il sullit lie faire varier w de à -^- La courbe a des branches paraboliques; dans l'iulervalle de 



, 3- 



3:: 



à _^. p devient infini pour w = -^; d'ailleurs pour que p soit réel, il faut que w soit compris entre 

et 




et — ; d'autre part, la formule 
2u 



i = av/2(cos^) \ 



X montre que p va eu croissant quand 



croît de à -^ • Pour lo = 
4 

f/p 

-H- =0, tar V = X ; pour 



: p = a \/"2, 
co — - : p = 4a, 



1 



-^ :r^ 4a v/3, 1^ V = -^. Soient OA = a, OB = a v/i2, OC = 4«. En B, la tanironte est parallèle 
(/<■> ^ ' = v/3 

à OX, en C elle fait avec OX uu angle de 30"; la courbe a la forme représentée par la ligure ci-contre. 

Il reste à considérer les solutions correspondant à /, et /,; ou voit immédiatement que l'on 
retrouve la même courbe. 

Enfin, nous avons supposé S — 1 yé 0. Si l'on suppose S = 1, on en tire >^ — 0; les équations (3) 
donnent, dans cette hypothèse, y. = p, f^ — q, et, par suite, 

p» - q' + 2a^ = 0. 

Dans ce cas, la droite P,Pj passe par le point P, de sorte que l'un des points P, ou 1% est confondu 

avec P; on obtient ainsi, oulre la courbe du sixième degré trouvée plus haut, l'hyperbole équilatère 

représentée par l'équation 

x^ ~ if + 2a- = 

B. N. 



SOLUTION GÉOMÉTRIQUE 

Nous avons vu plus haut (jue les points P,, P„ sont à l'intersection d'une droite (D) ayant pour 
équaliou 

(/// — /)X = ia'^ 

et d'un cercle (C) dont l'équation est 

i 3 

Le centre o» de (C) est sur OP; Oo) — - OP et le rayon do (C^ esl les j 

de OP. 

La droite (D) est parallèle au diamètre conjugué de OP dans l'hyper- 
bole (H), de sorte que l'angle de (D) avec Oy est égal à l'angle de OP avec Ox; 




Fig-1. 



de plus, la distance du ijoint à la droite (D) est égale à 



2a^ 



2o» 



v/p'' + if OP 

On forme facilement l'équation des droites PP,, PPj en supposant pour uu instant les a.xes 
transportés parallèlement à eux-mômes, la nouvelle origine étant le point P. Ou trouve ainsi 

2/^(2;)' + ff + 4a-') ^ x\p^ + 2^- - Aa'\. 



ECOLE POLYTECHNIQUE 



ce qui montre que les points P,, P^ seront réels si le point P est extérieur à l'ellipse ayant pour 
équation, par rapport aux axes primitifs, 

X- -+- ^2y- — ia'' — 0. 

Cherchons maintenant à quelle condition une hyperbole (K) est égale à l'hyperbole donnée. 

Si l'on se donnait le point Pi et l'hyperbole (Ki), et si l'on se proposait le même problème, on 
devrait trouver évidemment les points P et Pj et l'on aurait à considérer le même cercle (C). Il en 
résulte que les centres 0,, Oj des hyperboles cherchées sont sur les droites P,w, PjU) à des distances 
de 10 égales à Oco (le triangle OOjOj est homothétique inverse du triangle PPiPj) (fig. /). 



2a^ 
On a vu que la distance de a la droite PjPj est égale à --— ; comme OP 



OjP, = 0,Pj 




voit que les carrés des axes des hyperboles sont proportionnels 
aux distances de leurs centres aux côtés correspondants du triangle 
PPiP,. Pour que l'hyperbole (Ki) par exemple soit égale à l'hyper- 
bole (H), il suffit que l'on ait PP^^PiPo. Soit a l'angle de OP avec 

3 
Oa:. PoïOus OP = :; on aura wP = - ;. Abaissons ojK perpendi- 

4 • 

culaire sur PjP^ (fig. 2); wK rencontre le cercle en I. On voit 

aisément que l'angle ImP est égal à tt — 2a, el comme I est le 

milieu de l'arc PjPî qui est égal à l'arc PP.^, on a 

-x - 2a 

P,a.I = 



3 



Fig- 2- d'oii 

Abaissons OR perpendiculaire sur PiPj', on a 

OR = cûK + j cos (z: 



K = -7^ cos 



OR = ^ cos ■ 



-+- y cos (t: — 2i) = p cos^ 



Si l'on prend OY pour axe polaire, en posant 



2a^ 
ce qui donne Sx — - = 2u), et remarquant que OR = — > 

P 

2a- 2co 

on obtient - — = : cos' — 



P = 



av/2 



3 



(E. BOHEL.) 



Kemarque. — Si le triangle PP1P2 est isoscèle, en supposant PP.^ — PiPj, la distance de Oj à PP^ 
est égale à la distance de à PiP^ (/ig. -t); la réciproque n'est pas nécessaire. 
Nos jeunes lecteurs pourront étudier complètement cette question. 



ÉCOLE CENTRALE 



ECOLE CENTRALE (Concours de 1890. — 1^" session) 



Épure. 

INTERSECTION DE DEUX CÔNES 

2. — Place?' la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à 2od""" du petit côté supérieur. 

Les bases des cônes sont des cercles dont les raycms sont égaux à SO""" et dont les plans sont perpendi- 
culaires à la droite (ab, a'b') qui joint leurs centres (a, a') et (b, b'). 

La ligne de rappel aa' est à 420'^'" du grand côté gauche du cadre, et la ligne de rappel bb' à y^.5'""' 
du mime grand côté. La cote et l'éloignement du point (a, a') sont égaux à 80""" ; la cote du point (h, b') est de 
■143'"'" et son éloignement de Wo"™. 

On prend les diamètres horizontaux des cercles de base, on joint les extrémités de ces diamètres voidnes 
du grand côte gauche du cadre et, sur la droite ainsi obtenue, on prend le point dont la cote est égale à 24(S"""; 
c'est le sommet du cône qui a pour base le cercle (aa'). Onjoinl les secondes extrémités des diamètres horizontaux 
des cercles de base, et, stir la droite ainsi obtenue, on prend le point dont la cote est égale à :]""••; c'est le 
sommet du cône qui a pour base le ceixle (bb'). 

On demande de représenter par ses deux projections le corps solide formé par l'ensemble des deux cônes 
supposés pleins et limités chacun à son sommet et à sa base. 

On iîidiquera h l'encre rouge les constructions employées pour placer les données et pour déterminer : 

1° Un point quelconque de chacune des bases cl les tangentes en ces points ; 

2° Un point quelconque de la trace de chaque cône sur le plan de base de l'autre et les tangentes en 
ces points; 

5" Un point quelconque de l'intersection des deux cônes et la tangente en ce point ; 

4" Les génératrices de contour apparent des deux cônes et les points des bases, des traces sur les plans 
de base et de l'intersection, situés sur ces génératrices. 

On n'indiquera pas d'autre construction. 

Une légende sur une feuille à part fera connaître succinctement le procédé suivi pour chacune des 
déterminations précédentes. 

Titre extérieur. Lntkrsection dk deux cônks. Ce titre, en lettres dessinées, est de rigueur. 

1" Les diamètres horizontaux des deux cercles se projettent horizontalement en vraie grandeur 
suivant les perpendiculaires cd, c^di à ab. En joignant alors les points (c, c') et (c,, c\) et prenant sur 
la (iroile de jouclion le point dont la cote est 248""", on a le sommet (.s-, s') dn cône ayant pour base le 
cercle de centre (a, a'); de même, le sommet du second cône est («,, s\). 

La base du premier cône se rabat autour de l'horizontale {cd, cd') suivant un cercle de diamètre 
cd; pour relever an point Lj de ce cercle et la tangente correspondante, on s'est servi de la droite du 
plan perpendiculaire en (a, a'} à {ab, a'b'), projetée suivant cci et dont le rabattement sur \o phin 
hori/.ontal mené par (c, c') est cE,. 

i" Le plan mené par le point (/, l') et lu ilroito (.•(«j, s's't) coupe les bases des deux cônes suivant 
les parallèles (lie, L'k') et (/i^j, ^l'A-,'). 

La génératrice {si. s'I') détermine sur la tiroilc (/j/î,, l'l<'\) un point {ni, ni) de la traro du 
premier cône sur la base du second cône; la génératrice (.?,/,, .s'i'i) fournit de môme le point analogue 
(?i, n'). Les tangentes en ces points sont évidemment parallèles à celles des points correspondants 
lies bases. 






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AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 



3° Le poitit (m, in'j, commuD aux générafriees (si, s'I') et («j/i, «1'''!), est uu point de l'intersection 
des deux côues. D'après la projectioa verticale, cette intersection peut être regardée comme plane. 
On détermine la tangente en m à la projection horizonlale en joignant m au point d'intersection i des 
tangentes en (/, /') et (n, n') aux deux cônes situées dans le plan de base du premier cône, ce point 
appartenant en eCTet aux plans tangcuts aux cônes menés au point (m, m). 

4° Pour le cône de sommet (s, s') par exemple, les génératrices de contour apparent horizontal 
sont les projections horizontales des tangentes au cercle de base menées par le point de reucoutie de 
son plan avec la verticale de s, point rabattu sur le plan horizontal en Sj. En relovant, on a les géné- 
ratrices cherchées, ne et .s)>. 

Le contour apparent vertical s'obtiendrait de mémo ou cherchant les projections verticales des 
tangentes à la base issues du ])oiut où cette base est rencontrée par la droite debout de s'; mais ce 
point tombant ici en dehors des limites de l'épure, on a tourné la dilliculté en prenant pour directrice 
du cône, sa trace sur le plan du second cône, dont le rabattement est un cercle de centre a, et de 
rayon OiC,. Dans ces conditions, l'horizontale du plan du cercle qui s'appuie sur la droite debout des' 
rencontre cette droite uu itdiiil (/■, ,v'), rabattu en Rj; il ne reste plus qu'à relever les tangentes Rj/) et 
R,f/ au cercle a,, ce qui fournit, eu projection verticale, les génératrices s'p, s'if, tangentes en tt'i, pi' 
à la projection verticale du cercle «,. 

Si l'on applique alors la construction générale indiquée plus haut (2" et 3") aux points À etX, de la 
projection horizonlale, on en déduit les points v,, ja et v, ;/., ; en projection verticale, cette construction, 
appliquée aux points z'i et pî, fournit les points e', 0, et •/)', o'i ; les points 6' et O'i limitant évidemment 
l'intersection verticale des deux cônes, les droites «16' et s[(i[ peuvent être considérées comme déter- 
minant le contour apparent vertical du second cône. 

L. Messent. 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES (Concours de 1890). 



Mathématiques spéciales. 

3. — On donne un triangle. ABC et un point P da7is son plan. 

'/" Trouver le lieu des centres des coniques S inscrites dans le triangle ABC et qui sont vues du point P 
sous un angle donné w. 

2° JHscuter ce lieu en supposant que le point P se déplace dans le plan du triangle. 

3° Démontrer que, si l'angle donné oi est droit, toutes les coniques S sont aussi vues sous un angle droit 
d'un autre point P'. Montrer que, dans ce cas, si le point P se déplace, la droite PP' passe par un point 
fixe l, et que le produit IP.IP' est constant. 

Prenons pour triangle de référence le triangle ABC; désignons par a, b, c ses côtés, et par A, B, G 
.-es angles. Soient x^, y„, z^ les coordonnées trilinéaires du point P. entre lesquelles ou a la relation 

«.(■„ -H bij^ -t- cZq — 28. 
S désigne la surface du triangle ABC. 

L'équation tangentiello la plus générale des coniques inscrites dans le triangle ABC est 

(1) pviv + qwu + ruv — 0. 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 



L'ensemble des tangentes à une des coniques de ce réseau, issues du point P, a pour équation 

qz.„x,if+1rx^y^z''+''2{px^-qy^-rz,)x,yz+t(-'px^+qy,-rz,)y^zx+i(-px,-ciy^+rz^)z^xy^i). 
L'augle 0) de ces deux droites est douué par la formule connue : 

— A 



^0^0' 



^ (2) _ *S^^'-R^E'^-. 

où l'on a posé 

E = 2[pi/„c„ + qz^x^ + rx^y^ - (/ai'„ - qy„ - )•-„).!•„ cos A - (- px^ + qy„ - )•=„)//„ cos B 

— (— ]ix^ — qy„ + r;o)s„ cos C] 

■S IV q r\ , ^ , ipx„ cos A r///, cosB rSj cos C 
= 2U^ + i + -J(ay„z, -+- bz,x, + ex,y,) - («,r„ + by^ + rz,)!^ - -■ 



a 2yjyo3„ z^{-px^-qyo+rz^) y^i-px^+qy^-rz^) 

b z„{-px„-qy„ + rz^) ''2qz^x„ x^(px„- qy^-rz^) 

c yui — p^o-^(j!/o — rs„) a;„(+pa;o — qy„ — rso) '^'"■l'o.Vo 

a b c 



:-(«a;o+6i/o + C3„)^9o. 



(Po désigne le premier membre de l'équation ponctuelle de la conique S, quand ou y remplace les coor- 
données courantes x, y, z puv x^, y„, z„ : 

?o = (p-Co + (pjo + »"-o)' - Mpq^„y„ + q'-y„z^ -+- rpz^x^). 

Enfin, R désigne le rayon du cercle circouscril au triangle ABC. 
Le centre de la conique S est le pôle de la droite de l'infini 

2S = ax + 6y + es = 0. 

Les coordonnées x, y, z satisfont donc aux équations 

p{px — qy - rz) q(~ px + qy — rz) _r{— px — qy + rz) 



On tire de là 



b 

P q 



«(S — ax) 6(S — by) c(S — cz) 

Remplaçant/), q, r par les quantités proportionnelles 

a{S — ax), 6(S — by), c(S — cz) 

et 2S par ax + by + cz, dans l'équation (ïJ), on aura l'équation du lieu des centres des coniques S. 
Gomme E est linéaire en p, q, r et que çpo est du second degré par rapport à ces mêmes coefficients, 
on voit que le lieu cherché est une courbe du second degré, à moins toutefois que l'angle lo oe soit droit. 
Nous reviendrons plus loin sur ce cas particulier. 

2° Pour reconnaître le genre de la conique lieu des cent i es, nous étudierons la nature de ses 
points d'inlersection avec la droite de l'infini. 

Ces points sont les mêmes que ceux que l'on obtient en considérant la conique déduite de la 
précédente, en y faisant S = 0; cela revient à remplacer p, q, r par a'^x, b'^y, c^s, ce qui donne 

^ _ (a'^xx^ + 6»//!/d -+■ c'^zz^)'^ — 4{a'^xx„.b^yy„ ■+- b''yy„.c^zz„ ■+- c'zz^.a^xx,^) 
° 4R^(aa;a;„ cos A + 6i///(, cos B + czz,^ cos Cj^ 

Formons l'équation quadratique du faisceau de droites joignant le point C (.r = Q, y ^ 0) aux 
points d'intersection de cette conique avec la droite de l'infini. Il faut, pour cela, éliminer 3 entre 
l'équation précédente et l'équation 

ax + by + cz — 0. 




10 AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMÂTIQDES 



On a ainsi iR' tg*<o[aj: (a;„ cos A — s, cos G) -4- byiy^ cos B — s^ cos G)]» 
- [{ax{ax„ + czo) + by(by„ + cz^))^ — ia'fxyxayo] = 0. 
La condition de réalité de ces deux droites est V > 0, en posant 

V = R« sin» (o(ay„3o + bz^x^ + cx^y^Y — abcx^y^zjax^ + by„ + c:,,)- 
La courbe qui a pour équation V = 0, c'est-à-dire 

R^ sin" ùi(ayz ■+■ bzx -+■ cxy)* — abcxyz(ax + hy -\- cz) = 0, 
sépare les points P du plan pour lesquels on a des ellipses de ceux pour lesquels on a des hyperboles. 
La courbe V = est une quartique trinodale, dont les trois points doubles sont les trois som- 
mets du triangle de référence; elle est donc unicursale. 

Pour la construire et l'étudier, on peut se servir de la transfornuition suivante, connue sous le 
nom (le transformation inverse : 

A un point M(x, y, ;) du plan, faisons correspondre un point W(x' . y', z-') déterminé par les 
i relations 

-/y XX' = yy' = zz'. 

Réciproquement, au point M' correspondra le point M. 
Des formules précédentes, ou tire 

x ?/ _ ^ 

y'z ~ zx ~ x'y' 

et ^ = ^ = ?L. 

c yz zx xy 

Pour construire le point M', il suffit d'observer que les droites AM, AM'; BM, BM'; CM, CM' sont 
symétriques respectivement par rapport aux bissectrices des angles A, B, G du triangle. 

Si le point M décrit la courbe V = 0, le point M' décrira la courbe 

V = R^ sin' <.)(ax' + by' + cz'f — abc(ay'z' + bz'x' + cx'y') = 0. 
C'est un cercle concentrique au cercle circonscrit au triangle ABC. Son rayon R' = R cos w , est 
toujours inférieur à R. 

Ce cercle peut donc se construire connaissant to, et ayant construit ce cercle, on en déduira la 
forme de la quartique. d'après la construction indiquée. 

A tous les points de BC, correspond le point A; donc, pour que le point A soit point double à 
tangentes réelles de V, il faut que le cercle V rencontre BO en deux points réels. Les tangentes en A 
seront les symétriques, par rapnort à la bissectrice de l'angle A. des droites joignant le point .\ aux 
points de rencontre du cercle V avec BC. 

Si le cercle est tangent à BC, A est un point de rebroussement; enfin, si le cercle ne rencontre 
pas BC, A est un point isolé. 

Il sera donc facile, d'après cela, de se rendre compte de la forme de la courbe V quand R' variera de 
à R. Ci-contre les figures correspondantes. 

On pourrait imaginer d'autres cas, par exemple ceux où le centre du cercle circonscrit est à 
l'extérieur du triangle; cela ne présente pas plus de difficultés. 

Pour que la conique, lieu des centres, soit une ellipse, il faut que le point P se trouve dans la 
région ombrée. 

3" Dans le cas où l'angle <<> est droit, les coefficients p, q, r de la conique S sont assujettis h. 
vérifier la relation E = 0. 

Or, si l'on regarde x^, i/„, z^ comme des coordonnées courantes, ou voit que ré(iuatiou E = 
représente le cercle lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique S. V.n exprimant que 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 



H 



ce cercle passe par le point P, on a une relation linéaire entre ses coefficients. Son équation ne dépend 
plus dès lors linéairement que d'un seul paramètre. Par suite, les cercles orthoptiques de toutes 

les coniques S vues du point P 
sous un angle droit, ont même 
axe radical et se coupent tous en 
un point P' d'où l'on voit aussi 
ces coniques sous un angle droit. 
Je dis que si le point P se 
déplace dans le plan, la droite 
PP' passe par un point fixe I. En 
efTet, on peut écrire l'équati-on du 
cercle orthoptique de la coni- 
que S : 




a 



b 



e =0, 



en posant 

&L=ayz--i-bzx-i-cœy—xcosÈi.{ax-hby-\-cz), 

= ayz+b:x-hCxj/—ycosB{ax+by+cs), 

Q =ayz-i-bzx-i-cxy — zcosC{ax+by+cz). 

L'équation (3) nous montre que 
le cercle dépendant linéairement 
de deux paramètres arbitraires, 
coupe orthogoualeraent un cercle 
tixe. Ce cercle fixe est d'ailleurs 
le cercle qui coupe orthogona- 
lement les trois cercles repré- 
sentés par les équations éL = 0, 

ffi = 0, e = 0. 

Or, l'équalion éL = repré- 
sente un cercle passant par les 
points B el C, et coupant en outre 
le côté AG au point y = 0, 
z cos c = X cos A, c'est-à-dire 
au pied de la hauteur issue du 
point B. 

Les cercles (5L = 0, 
^ = 0, e = sont 
donclescercles décrits 
sur les trois côtés du 
triangle de référence comme diamètres. Leur centre radical est le point de concours I di s hauteurs ^ 
de ce triangle. De plus, le cercle qui les coupe orlhogonalement est le cercle décentre I conjugué au 
triangle ABC. Il en résulte que ce cercle coupe orthogonalemenl tous les cercles orthoptiques des 
coniques S, et que, pour chaque position du point P, les axes radicaux des cercles orthoptiques 
correspondants, c'est-à-dire les droites PP', vont passer par le point I. De plus, si l'on désigne par p ,/ 
le rayon du cercle conjugué au triangle ABC, on a IP.IP' = p^. 



\i QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



Remarques. — I. Dans le cas où l'angle w est droit, le lieu des centres des coniques S se réduit 
à une ligne droite. C'était presque évident, car la condition E = établissant une relation linéaire 
entre yj, q, r, les coniques S sont dès lors inscrites dans un quadrilatère. 

II. — On pouvait prévoir géométriquement l'existence du point P' quand l'angle w est droit. En 
effet, les tangentes issues du point P aux coniques S forment en ce cas deux faisceaux en involution. 
Par conséquent, d'après une réciproque du théorème de PlUcker, les coniques S sont inscrites dans 
un quadrilatère. Si l'on considère deux de ces coniques, leurs cercles orlhopiiques qui passent par le 
point P se coupent en un point P'. Les tangentes menées de ce point aux coniques inscrites dans le 
quadrilatère forment deux faisceaux en involution. Comme doux couples de rayons homologues de ces 
faisceaux sont rectangulaires, tous les autres couples le seront aussi. Par suite, le point P' est aussi un 
point commun aux cercles orlhopiiques des coniques S vues du point P sous un angle droit. 

Pour une position donnée du point P, les coniques S sont tangentes aux trois côlés du triangle ABC 
et à une quatrième droite D. La droite PP' est l'axe radical commun aux trois cercles décrits sur les 
trois diagonales de ce quadrilatère comme diamètres. Elle passe donc par les points de concours des 
hauteurs des quatre triangles formés avec trois des quatre droites AB, BC, CA et D. et, en particulier, 
par le point I, centre des hauteurs du triangle ABC. De plus, le produit IP.IP' est constant et égal, 
d'après une propriété élémentaire bien connue, an carré du rayon du cercle conjugué au triangle ABC. 

A. Maluski. 



QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS ORAUX 



École normale supérieure (1890). 

Questions de M. J. Tannenj. 

1. — Ou coupe un hyperboloïde à une nappe par des plans passant par un point fixe et par une géncralrice 
recliligoe variable. Lieu des centres do ces sections. 

2. — Construire la courbe a,-' -+- if = à'- — Points de contact des tangentes issues du point (o, fl). — Équation aux 
y de ces points de contact. — Que faut-il faire pour avoir les r ? — Ne peut-on pas avoir x par une relation du |iremier degré 
en a;? — Qu'arrive-l-il pour l'équation aux y quand le point (a, "ji) est situé sur la courbe? — Il n'y a plus alors que quatre 
tangentes issues du point: équation des coniques passant par leurs points de contact? 

3. — Dislance d'un point (a:, y, z) à une droite dans l'espace — Si l'on considère ,r, ;/, 3 comme variables, que repré- 
sente l'équation obtenue entre x, y, z et la distance </? 

4. — Discuter la surface "/.(zo; — l) + ni5 — xy)-i-v{y — z-)=:0. Trouver ses génératrices rectilignes. 

5. — Intersection de deux surfaces du second degré ayant une génératrice commune. — Y a-t-il un autre cas 
dans lequel la courbe d'inlerseclion est unicursale? — Montrer que ce cas est celui où les deux surfaces sont tangentes 
en un point. 

6. — Construire la courbe {x'' -\-y- — %x)(x + y — 2) = (x' + y' — -iy){x — y). 

7. — Lieu des milieux des cordes d'une surface qui passent par un point Gxe. 

8. — On donne une cubique gauche définie par a; = — „ y = i^. s = àJ. Trouver les branches infinies. 

•'An M^i W) 

— Asymptotes ; peuvent-elles être rectangulaires? — En supposant qu'elles le soient, quelle forme prendraient les expressions 
des coordonnées si l'on prenait les axes parallèles aux asymptotes? 

A chaque valeur de t correspond un point de la courbe. Condition pour que la droite (<,,(,) soit perpendiculaire 
à la droite (1^.1,). — Cette condition ne présente-t-elle rien de remarquable relativement à la manière dont y entrent (,, t„ 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 13 



ij, «4? — En déduire une propriété géométrique du tétraèdre ayant pour sommets les points (,. t,, (3, «, Cil est orthocentrique). 

— Projection de la courbe sur une des faces de ce tétraèdre 

9. — Génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique. — Une géuératrice d'un système peut-elle être perpen- 
diculaire à toutes les génératrices de l'autre système? — Condition pour qu'on puisse trouver une génératrice jouissant de 
cette propriété. 

10. — Chercher les plans qui coupent partout à angle droit la surface f\x, y, z) =^ 0. 

11. — Étant donnés deux points, il y a une infinité de coniques conjuguées par rapport à ces deux points. Y en 
a-t-il qui puissent se réduire à une droite double? 

12. — Appliquer la formule de Taylor à sin x; déduire de ce développement la formule 

sin tx -f- h) =^ sin x cos h + sin h cos x. 

13. — On donne trois couples de points A,, A', ; A,, A',; A3, A'3. On demande de trouver un cercle tel que les 
deux points de chaque couple soient conjugués par rapport à ce cercle. — Dans quelceis le problème sera- t-il indéterminé? 

— Que représente géométriquement la condition pour que le problème soitiodéterminé? — Démontrer que. danscecas, 
les trois cercles décrits sur A,A',, AjA'j, AjA'j comme diamètres ont même axe radical et que, réciproquement, si cette 
condition est remplie, le problème est indéterminé. 

14. — On donne trois cercles C ^ 0, C ^ 0, G" =0; que représente l'équation 

).,C + /.jG' + XjG" = 0? 

15. — On donne une forme quadratique f à trois variables et une forme linéaire P à trois variables. Peut-on 
mettre f sous la forme ftP'-(-QR? Quelles sont les conditions pour que cette transformation soit possible? Valeurs de k 

16. — Résoudre le système x' — 3xî/' -1-2=0, 3a?a — y'' — 2 =; 0. 

17. — a et 6 étant entiers, trouver le plus grand commun diviseur de a^ — 1 et x'' — 1. 

18. — Je suppose qu'on ait A' =: x* -H 2/* — 2aa; ■+■ a-, 

B« = x- -(- t/' — 26x -h 6-, 

Cf ^ X- -\- y^ — 2tx -f- c*. 
Peut-on éliminer x et 1/ entre ces relations? — Si a; et y représentent les coordonnées d'un point, que représentent 
A, B, C? — La relation obtenue en éliminant x et y n'est-elle pas connue? — Supposons, au contraire, que A. B, C 
soient les coordonnées d'un point dans l'espace; montrer que la relation obtenue représente une surface. — Trouver les 
équations d'une génératrice rectiligne de cetie surface. — En regardant de nouveau A, B, C comme les distances du 
point {x, y] aux points (a, 0^; (b, 0); (c, 0), que représentent les équations de la génératrice? 

19. — Peut-il y avoir entre x et sin x une relation algébrique entière vérifiée quel que soit ar? 

20. — Limite de — quand a- augmente indéfiniment. 

x™ 

21. — On donne x = f{u, v), y = a {u,v). : = 4(m, v). Plan tangente la surface au point (?/, vj. Ne pourrait-on 
pas obtenir son équation en prenant deux courbes quelconques sur la surface? 

22. — On donne les équations de deux coniques dans le plan et les coordonnées d'un point {x', >j']. Équation 
aux coefficients angulaires des droites joignant le point aux points d'intersection des deux coniques. Désignant par l 
tes coefficients angulaires, on aura une relation :f(x, y, l) =^ 0. Que représente-t-elle quand ou y suppose / constant, 
x et y variables? Qu'obtiendrait-on en écrivant que cette équation en t a deux racines égales? qu'elle a deux racines de 
produit — 1? 

ABC 

23. — On considère la courbe x = > y = > z = 

a -H « b + l c + t 

Un plan la coupe en trois points t„ t^, t^. Déterminer le plan de manière que les droites qui joignent le point 
t = u aux points t„ t^, t^ soient rectanguledres. — Qu'y a-l-il à remarquer sur ce plan? 

24. — Comment est placé, dans un paraboloïde hyperbolique, le diamètre conjugué, lorsque la section est une 
hyperbole? une parabole? deux droites? 

25. — On considère une surface du second degré et on la coupe par un plau dont on considère le diamètre 
conjugué. Ne peut-on pas déduire la nature de la surface de la position respective des points d'intersection de ce diamètre 
avec le plan et avec la surface? — Considérer successivement les cas où la section est une ellipse, une parabole, une 
hvperbole. 

P 

26. — On considère l'équation f{x) = et on y remplace x par — ' P et Q étant deux polynômes en x premiers 

entre eux. Démontrer que si l'équation /■( — 1= ainsi obtenue a une racine double, cette racine est aussi racine de 
l'équation /■(— 7 j = 0, P' et Q' étant les dérivées de P et Q par rapport à x. 



14 QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 

École des mines de Saint-Étienne (1890). 

1. — Trouver les dérivées des fondions suivantes : 

i L 

(IV) y = (a; + if» '^ 
i 

(V) y = (l-^xf^ 

(VI) e' + (sec xyf = 0. 

2. — Étudier les variations de la fonction y = x{Lx)^. 

3. _ Soil /■(!) un polynôme il coefficients réels; on y remplace s par x+iy; f{z] prend la forme P + oi. Quelles 
relations exisle-t^il entre les dérivées partielles de P et Q par rapport à a; et yl 

4. — Si f(x) = est une équation qui a ses racines réelles et distinctes, démontrez que l'équation 

f{x) + i,r(x) = 

a aussi toutes ses racines réelles et distinctes, et séparez-les. 



(I) 


j/ = (cotga;)Ltg 


(") 


y = (sec \lx) "^ 


(111) 


y = VCOS X 



5. — Construire les courbes 

(I) y' — 2xV — a;* + iaxy' ■ 



(Vil) 



(II) y=ta., x=±Jl±\J'—\ (VIII) 

* "^ ' (IX) 

111 1 

(III) y^=--i tH s+--- (^) 

^' X X — l X — 1 X — n 

|XI) 

(XII) 
(XIII) 



(IV) y = x-{- 

(V) y = tx, 



{X 


-!)(«- 


■m^-^Yix- 


4)* 




(a!-l-l)( 


X + 2)-(a: + 3) 






i(«-hl) 





P 
P 


= 1 — 


2 sin 


13 


P 


= arc 


sin w» 




a, 


= P(P- 


-11(P 


- 


p' 


sin ( 


^ 




n 


— 1 






-j + 1 




P 


= 2 — 







V(i-l)((-2) 
(VI) 3/ = «a;, {f — l)a;'' + (2i - l)x' — 1 =; 

6. — On considère toutes les hyperboles équilalères tangentes k Ox k l'origine et passant par un point A (-x, ['/'. 
D'un point donné B {x, y') on mène des tangentes à ces hyperboles. Trouver le lieu des points de contact. 

7. — On donne une ellipse rapportée à ses axes Ox et Oy. On mène une tangente quelconque qui rencontre Oa; 
en \, et Oy en B. Par le point A, ou mène une parallèle à Oy et par le point B une parallèle à Oa;; ces deux droites se 
coupent en un point P, dont on demande le lieu géométrique quand la tangente se déplace. 

8. — Rapporter la conique x^ — 3xy + j/' = 1 à ses axes de symétrie. 

9. — Trouver la normale de longueur minimum dans une parabole donnée. 

10.— Lieu du sommet d'une parabole de grandeur constante qui reste tangente à deux droites rectangulaires fixes. 

11. _ Lieu des foyers des hyperboles équilatères qui ont pour directrice Oy et qui interceptent sur 0.r une 
longueur constante. 

12. — On considère deux paraboles ayant pour foyer commun l'origine et respectivement pour axes, les axes de 
coordonnées Oa;et Oy supposés rectangulaires. On mène la tangente commune AB, et on prend le point P, milieu de AB. 

Lieu du point P, quand les paramètres des paraboles varient de façon que leur rapport reste constant. 

13. — Soit A un point situé sur Ox, B un point sur Oy. Trouver l'équation générale des paraboles circonscrites au 
triangle OAB. 

Par un point M du plan, passent deux de ces paraboles. Trouver le lieu des points M tels que les axes des deux 
paraboles qui y passent fassent entre eux un angle a. 

14. — Lieu des foyers des paraboles qui passent par deux points donnés, la diroetiou de l'axe étaut fixe. 

15. — Trouver les foyers de l'hyperbole a;y = fc^. 

16. — Condition pour qu'une droite passant parle foyer d'une conique soit tangente à cette conique. 

17. — Soit la conique 

_ 1 +2 < _ 1 + t 

^'^v^Ti^' y — f — t' 

Écrire que la droite y = ix + m est tangente k la conique. Gomment pourriez-vous tirer de là les coordonnées dos 
foyers? 



QUESTIONS PROPOSÉES iB 



QUESTIONS PROPOSÉES 



4. — Démontrer que si un déterminant est nul, les mineurs relatifs aux éléments correspondants 
de deux rangées parallèles sont proportionnels, et réciproquement. 

5. — On appelle déterminant symétrique gauche, tout déterminant dont les éléments vérifient 
la relation 

Qpq + a,p = (), 

de sorte que les éléments de la diagonale principale sont tous nuls. 

Démontrer : 1° que tout déterminant symétrique gauche de degré impair est nul; 1° que tout 
déterminant symétrique gauche de degré pair est le carré d'une fonction rationnelle et entière des 
éléments du déterminant. 

6. — Si l'on élimine w et r entre les équations 

X = fi(u, V), y = /;(m, v), z = f,{u, v), 

on obtiendra une relation F(cc, y, z) = 0. 

Calculer des nombres proportionnels aux dérivées du premier ordre de la fonction F(a:;, y, s). 

7. — Montrer que toute imaginaire de module égal à 1 unité, peut se mettre sous la forme 

1 -i- «' , , . , 

: , a désignant un nombre réel. 

i — ai ' ^ 

8. — Démontrer l'identité 

X" - Ci(x - 1)" + C^(;i; - 2)" + ... + {- l)"C;;(x - n)» = n! 

9. — Démontrer l'identité 

xP - G],(x - 1)P + dix - 2)'' -t- ... + (- lyc^ix - nf^O, 
en supposant p < n. 

10. — Résoudre l'équation 

a;' — 2aa;' — (m' — 2u')a;^ + lam^x — a*m- = 0. 

11. — Séparer les racines de l'équation 

2a;(x + 4) - e''~^ = 
suivant les différentes valeurs du paramètre a. 

'12. — Sur chacune des faces d'un cube d'arête variable 2a;, on construit une pyramide régulière, 
de telle façon que les six pyramides soient toutes extérieures ou toutes intérieures au cube et aient 
même hauteur. On donne l'aire totale 24a^ du polyèdre ainsi obtenu. Étudier la variation de son volume. 

{') Les questions marquées d'un * sout plus spécialement proposées pour les candidats aux écoles navale, cen- 
trale, etc. 



16 QUESTIONS PROPOSÉES 



13. — Si des milieux des côtés d'un triangle comme centres, on décrit trois circonférences avec 

des rayons tels que l'un d'eux soit égal à la somme ou à la différence des deux autres, les trois points 

de rencontre des (i-ois couples de polaires de deux des cercles par rapport à un sommet commun pris 

comme pôle sunt trois points en ligne droite. 

(H. Lf-cocq, professeur au lycée d'Avignon.) 

14. — « et 6 désignant les coordonnées rectangulaires d'un point, quelle est, pour chaque position 
du point, la nature des racines de l'équation 

f{l) = •il'' + 8a<» - \%t^ + 46 = 0? 
On construira on particulier le lieu des positions du point M pour lesquelles l'équatiou admet 
uuc racine double, en calculant les coordonnées d'un point du lieu en fonction de cette racine. 

(Ecole normale, iSS-i.) 
' 15. — On considère les droites dont l'équation générale est, en coordonnées rectangulaires, 
(I - X')x -H 2X!/ + (X> - 2À - 3)a = 0, 

À désignant un paramètre variable. 

1° Trouver le lieu des points d'où l'on peut mener deux droites rectangulaires. 

2° Trouver le lieu des points tels que les deux droites issues de .chacun d'eux, interceptent une 
longueur donnée sur l'axe des x. 

3" Trouver les coordonnées du point Q où se coupent les sécantes qui joignent les points d'inter- 
section des axes avec les droites issues du point P(cr', y'), et eu déduire le lieu des points P tels que 
les points P et Q soient vus de l'origine sons un angle droit. 

(E. MOSNAT.) 

•16. — Trouver toutes les coniques dans lesquelles à deux directions de cordes rectangulaires 
quelconques correspondent deux diamètres rectangulaires. 

17. — Lieu du centre d'une hyperbole équilatcre de grandeur donnée qui passe par deux 
points tixes. 

18. — Étant données deux coniques homofocales, trouver le lieu des sommets des angles droits 
AMA' dont les côtés MA, MA' touchent respectivement les deux courbes. 

Los deux autres tangentes MB et MB' menées de M aux deux coniques se coupent aussi à 
angle droit. 

Les droites qui joignent deux à deux les points de contact des tangentes M.\ et MA' ou MB et MB' 
enveloppent une conicjue homofocale aux proposées. 

Le diamètre qui passe par le point M passe aussi par les milieux Hes cordes de contact des 
tangentes MA et MA' ou MB et MB'. 

19. — Par un point M d'une ellipse on peut iiicuor trois normales à la courbe, indépendamment 
de celle dont le pied est en M. Sur chacune d'elles on porte, à partir du point M, une longueur égale 
au segment intercepté entre le grand axe et le pied. 

Démontrer que les trois points ainsi obtenus sont sur un même cercle tangent à l'ellipse au 
point M. 



Le nàdaeteur-arranl : H. VUIBERT. 

l'ARIS — IMl'. I IIAIX. — nilll2-S-90. 



ire Année. N» 2. Novembre 4890. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



SUR LES EXPRESSIONS INDETERMINEES 

QUI SONT FONCTIONS ALGÉBRIQUES IRRATIONNELLES DE LA VARIABLE 



La plupart des formes iudétermioées peuvent se ramener à la forme - quand on donne à la 
variable la valeur 0. Si les deux fonctions f{x) et -^{x) sont nulles pour ce = 0, la limite du quotient 
--—l^ pour X = s'obtient en prenant le rapport des parties principales des deux infiniment petits 

f(x) et cf{x). 

Je me propose de montrer dans ce qui suit comment, par de simples opérations telles que la 
division et l'extraction de racines des polynômes, on peut obtenir les parties principales des fonctions 
considérées quand elles sont algébriques et irrationnelles. 

Soient d'abord deux polynômes A et B ordonnés par rapport aux puissances croissantes, B ayant 
un terme indépendant. En divisant A par B, si la division est impossible (ce qui est le cas général), on 
peut prolonger l'opération aussi loin que l'on veut; on peut avoir un quotient Q, de degré n : 

Q = a„ + a,,r + a,x^ + . . . eux" 
et un reste qu'on peut écrire x"*^R. 

A = BQ + a;"+'B, n étant arbitraire; 

A R 

de là on tire d — Q + ^"^' ô " 

B B 

— est une fonction de x qui a une valeur Unie pour x = 0; en la désiguaut par ), on aura 
B 

A- , ^, 

-r- = Oo + «,.x + a.^x'^ + . . . + anO;" + ax"i"', 
B 

X étant une fonction qui a une valeur finie pour a; = 0. 

De même, soit à extraire la racine m' d'un polynôme A ordonné par rapport aux puissances 
croissantes et ayant un terme constant. On peut pousser l'extraction de racine aussi loin qu'on le veut, 
jusquà ce qu'on ait à la racine un polynôme de degré n, et l'on a 

A = CI'" + a;''+'R, R étant un polynôme; 
de là on tire A — C"" = a;"+'R. 

Or, A - C" EE ( V Â - C); v'Â^^ + C "{/k^' + . . . + C'"-'), 

r> 

d'où "/A — G = a;"+' -^ • 

V 'A"-' + G "^/A-"-^ + . . . + G"-' 

Soit tto le premier terme de A; le premier terme de G est "{/-j-^; par suite, le dénominateur du 

coefficient de a;"*' se réduit à m^/a™-' pour x = 0. On peut donc poser 

yi =G + Xx"-*-', 

X étant une fonction de x qui a une valeur finie pour a; — 0. 



18 NOTE D'ALGÈBRE 



Donc v'A = Ca + Cjo: -+■ c^x'' + . . . + c„x" ■+- '/x" 

A 
B 



A 
Ces calculs reviennent, comme on voit, à développer -- et '\/A suivant les puissances croissantes 

B 

de X, en poussant le développement aussi loin que l'on veut. 

Ou peut même appliquer un développement semblable aux racines d'une fonction rationnelle 

telle que \/ — • On commence par développer — comme nous l'avons vu : 

- H Oo + OiX 4- . . . + a„x" + A.X"-*-', 

puis on extrait la racine du second membre, eu y considérant À comme une constante; seulement ou 

A , ""/a 

pousse le développement do — suffisamment loin pour que le développement désiré de t/ — soit indé- 
pendant de À. On a alors 



V 



- = ba + biX + ... + b^'' ■+- uicc*+'. 



On peut également développer des radicaux superposés par un procédé semblable. 

Ces préliminaires une fois posés, étant donnée une forme indéterminée, on peut toujours la 

ramener à la forme -. Si c'est pour x =^ a, on posera x ~ a + y, et l'indétermination aura lieu pour 

1/ = 0. Si c'est pour x infini, on posera a; = -, et il suffira de chercher les parties principales des 
deux membres de l'expression. 

Applications. — 1° Considérons d'abord un exemple très simple : 

™ v/x — i/X , 

TrOLVER la limite de -^^ — POUR X = 1. 

'y s. — v'x 

Je pose X — i + y . Alors 



y . .... 9/-rT-r.^A , y 



(/l + 2/ = 1 + ^ + ly\ v/1 + 2/ = 1 + - + ^'y'. 

1, y, X', X'" ayant des limites finies pour y — . L'expression proposée devient 



/l 1\ 11 



l{- - -\+ (X" - X'")^^ + (À" - r)y 

\m nj m n 



11 

qui a pour limite ^ -= pour y = 

m n 



2" Limite de y^^' + x -h 1 -1- v/4x' — 1 — 3x pour x infini. 

\ 

Posons X = - ; l'expression devient 

y 



NOTE D'ALGÈBRE 19 



\/l + 2/ + !/'' + v/4 — .y" — 3 



y 
y 



yj\ +y + ,f = \ +1+ Xy^ y/4 - î/2 = 2 + ,,.y\ 

X et [j. ayant des limites finies pour y = 0. 

I + (^ + v-)y' I 

L'expression devient • , dont la limite est - • 

*^ y 2 

3° Soit a trouver la limite de 



[iQx -h ^/29x + 35]^ - [5x' -I- 69 + t/48x +1]' 

1 ' 

(5x + 3)3 - (x^ - X + 4)-^ 

POUR X = 1. 

(Exercice proposé dans le premier volume de l' Algèbre de M. Mewc>iglowski,pnge 171.) 

Ou voit aisément que cetle expression est de la forme - pour x = 1. Posons x — l -h ij; il vient 



[19 + li)y + v/04 + "2%]* - [74 + ^0y ■+- .y + v/49 + 

1 1 

(8 + 5y)~^ - (4 + y + y^f 

, 29 

D'autre part, on a yti-i + l'èy = 8 + — 7 ?/ + \y-, 

19 + 19// + \/(J4 + 29?/ = 27 + '— y + l,f ; 

/ 94 

de même, 74 -t- lOy + ^y'' + v/49 + iSy = 81 + — y + ;xy% 

l et [t. ayant des valeurs finies pour y — 0. 

,-.- 333 , , ' .j 333 

94 1 94 

V 7^ rjy 7X4X3'''''' 

La partie principale du numérateur est donc 

333 94 — 1 19S5 



r 333 94 — 1 _ 

Lie. x3» 7 x4x 3'J ~ 



X 3» 7 X 4 X 3'J 2' X 3» X 7 



1 5 

Quant au dénominateur, on a (^ + %)' = 2 + — y + X"?/'^ 

1 V 

(4 + 2/ + 2/^)2, = 2 + I + ^V . 

La partie principale du dénominateur est donc 

/5 1\ y 

Par suite, 1 expression proposée a pour limi e y: ^r = -• 

^ ' ^ ^ 2» X 3» X 7 504 

G. I'apelieu. 



20 ÉCOLE NAVALE 




ECOLE NAVALE (Coiu-ours de 1890). 

20. — Oxy vlunt dt'ux axes rectangulaires, BL une droite fixe parallèle à l'axe des x (y = b), et A un 
point mobile sur cette droite (BA = a) ; à chaque position du point A correspond 
une hi/perbole équilatère passant par les trois points A, B, et tangente en à 
l'axe des x. 

/" Trouver le lieu des centres de toutes ces hyperboles, et construire, pour 
une position donnée du point A, le centre et les asi/mptotes de l'hyperbole équilatère 
correspondant à ce point. 

2° On joint le point variable A à wi point fixe Q pris sur l'axe des 
y. La droite QA rencontre l'hyperbole correspondant au point A en un second 
point, M : trouver le lieu de ce point; discuter la nature de ce lieu suivant la position du point Q sur l'axe des y. 

Si nous traçons la droite OA, nous pouvons regarder le triangle OAB comme la limite d'un 
quadrilatère dont un côté dirigé suivant Ox serait nul. Les équations des côtés de ce quadrilatère 
sont, en groupant les côtés opposés : 

a; = ( y ^ 

bx — ay = \ y — b — 0. 

I/éf[ualion générale qui représente toutes les coniques circonscriles à ce quadrilatère est 

(1) x{bx - ay) + ly(y - 6) = 0. 

On peut dire aussi qu'elle représente toutes les coniques circonscrites au triangle OAB et ayant 
l'axe des x pour tangente eu 0; c'est d'ailleurs ce qu'on vérifie sans peine : car l'équation admet 
évidemment les trois solutions 

(a;=0 i X = Cl. (a; = 

I /y = i y = l) \y=b. 

De plus, on sait que quand une conique passe par l'origine des coordonnées, on a l'équatiou do 
la tangente en ce point en égalant à zéro les termes du premier degré; ces termes se réduisent ici à 
— kby. L'équation de la tangente à l'origine est donc l)ien y = 0. Toutes les coniques remplissant ces 
quatre conditions sont représentées par l'équation (1), puisque cette équation renferme un paramètre 
arbitraire X dont on peut disposer de manière qu'une cinquième condition soit satisfaite. 

Exprimons que l'équation (1) représente une hyperbole équilatère. Ou sait que, pour cela, il 
faut et il sufïit que la somme des coefficients de x^ et de y'' soit nulle. Cette condition est ici 

i + X = 0, d'oïl X = - 6. 

L'hyperbole équilatère qui remplit toutes les conditions de l'énoncé a donc pour équation 

(2) x{bx — ay) — byiy — b) = 0. 

i° Cherchons le lieu des centres de toutes ces coniques lorsque le paramètre variable a prend 
toutes les valeurs possibles. Supposons qu'où donne à a une valeur particulière; le centre delà conique 
correspondante sera le point commun aux deux droites 

K ^-- 0, /•; - 0, 

c'est-à-dire ''Ib.r — ocy — 0, — a.x — 2by + b' = 0. 

L'équation du lieu est la condition nécessaire et sulTisante que doivent remplir x cty pour que ces 
équations soient satisfaites par une même valeur de a. Si nous les écrivons de la manière suivante : 



ECOLE NIVALE 



21 



(3) 



7.y — %hx = 0, 

■J.X + 1b y — 6- = 0, 



nous voyons que cette condition est 

26x» + 26?/= - h-'y = 0, 



ou bien 



^' + !/' - ^, '"J = 0. 



'\ 




B 


I 


A , 






y 


/, 




D 




// \ 


/" 







\ 




a- 



Elle exprime que le point a:, y se trouve sur la circonférence d'un cercle dont on aura le centre 
et le rayon en mettant l'équation qui précède sous la forme 

(4) x'^ + {y-\bY^^^^- 

Le centre est donc situé au quart de la distance OB à partir 

\ 

du point 0. Le rayon est ^ b. (Nous supposons 6 positif). La cir- 
conférence passe au point 0. 

Réciproquement, tout point de cette circonférence est un point 
du lieu. Soient, en effet, xeiy les coordonnées d'un point choisi 
arbitrairement sur cette circonférence; ces valeurs de a; et y 
satisfont à l'équation (4), de sorte que pour ces mêmes valeurs 
les équations (3) sont satisfaites pour une même valeur de a, réelle, finie et déterminée à la seule con- 
dition y 7^ 0. Cette valeur de a étant transportée dans l'équation (2), on a l'équation d'une hyperbole 
équilatère satisfaisant à toutes les conditions de l'énoncé et dont le centre est le point choisi. 

Si l'on choisissait sur la circonférence le point dont l'ordonnée est nulle, l'équation {4} montre 
que l'abscisse serait également nulle, de sorte que ce point est l'origine des coordonnées. La valeur 
correspondante de a est infinie d'après la seconde équation (3); l'équation (2) se réduit alors à 

xy = 0, 
et représente les axes de coordonnées. Ces deux droites peuvent être regardées comme formant une 
hyperbole équilatère remplissant les conditions de l'énoncé, le point A étant supposé à l'infini sur BL. 
Le centre de cette hyperbole particulière est bien l'origine des coordonnées. 

Occupons-nous de la construction géométrique du centre et des asymptotes de l'hyperbole qui 
passe par le point A. Remarquons pour cela que BA est une corde parallèle à la tangente Ox dont le 
point de contact est 0. La droite 01 qui joint le point au milieu I de la corde est donc le diamètre 
des cordes parallèles à Ox; c'est un lieu du centre cherché. Il rencontre le cercle trouvé plus haut en 
un point C, centre de l'hyperbole qui passe au point A. 

Pour obtenir les asymptotes, nous remarquerons que dans l'hyperbole équilatère ces droites sont 
les bissectrices des angles formés par deux diamètres conjugués quelconques. Or le diamètre conjugué 
de CI est la parallèle CD menée à Ox par le centre C. Les asymptotes demandées sont donc la bissectrice 
CE de l'angle DCI et la perpendiculaire CF à CE. 

2° Désignons par c l'ordonnée du point fixe Q. L'équation de la droite QA est 

b — c 
(5) y — c ^ ■ X, ou bien ^.{y — c) — {b — c)x = 0. 

Éliminons a entre cette équation et celle de l'hyperbole 

(2) x{bx - xy) - by{y - b) = 0; 

nous aurons ainsi le lieu de tous les points communs à la droite et à la courbe; il se compose évidem- 
ment de la droite BL donnée et du lieu des points M. 

Pour faire celte élimination, c'est-à-dire pour exprimer que les équations (2) et (o) ont une racine 
commune, nous les écrivons de la manière suivante: 



22 ÉCOLE NAVALE 



<x{y — c) — (b — c)x = 0, 

oixy — bx* + b!/{y — 6) = 0. 

La coudition cherchée est 

{b - c)xhj - b(y - c)x' + by{y - c){y - b) = 0, 

ou bien cx^(b — y) — by(y — c)(b — y) = 0. 

Supprimons le facteur b ~ y, qui donnerait, en l'cgalanl à zéro, le lieu des points A; nous 

obtenons pour la condition cherchée 

ex' - by(y - c) = 0, 

ou bien cx^ — by- -+- bcy = 0. 

Réciproquement, si cette condition est remplie par les coordonnées d'un point M, on verrait 
comme précédemment qu'il est possible de faire passer par ce point une droite et une hyperbole équi- 
latère satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Donc M est un point du lieu. 

Ce lieu est une conique dont un axe se confond avec l'axe des y, puisque l'équation n'est pas 
modifiée quand on remplace x par — x . Cet axe coupe les courbes aux points ayant pour ordonnées 

y = et y = c, 
c'est-à-dire que l'origine des coordonnées et le point donné Q sont des sommets de la courbe. Il en 
résulte que le centre est le milieu de la distance de ces deux points. 

La courbe est une hyperbole si c est positif, c'est-à-dire si B et Q sont d'un même côté du point 0. 
Si Q et se confondent, le lieu est une droite double confondue avec l'axe des x. Enfin, c'est une 
ellipse si B et Q sont situés de part et d'autre du point 0. 

Remarque. — Le premier lieu géométrique demandé peut être obtenu géométriquement en 
s'appuyant sur cette propriété : 

Dam une hyperbole équilatère, l'angle de deux diamètres est égal à l'angle des diamètres qui leur sont 
respectivement conjugués. 

En effet, dans une hyperbole équilatère, deux diamètres conjugués OD, OD' sont symétriques par 
rapport à chacune des deux asymptotes. De même, deux autres diamètres conjugués OE, OE' sont éga- 
lement symétriques par rapport aux asymptotes, d'où il résulte évidemment que les angles DOE et D'OE 
sont égaux. En particulier, si les droites OD et OE sont rectangulaires, il en sera de même des droites 
OD' et OE'. 

D'après cela, les diamètres conjugués des cordes respectivement parallèles aux axes de coor- 
données sont rectangulaires. Or, on a vu que le diamètre des cordes parallèles à Ox est 01 ; ce diamètre 
tourne autour du point quand le point A parcourt la droite donnée BL. Soit G le milieu de la 
corde OB dirigée suivant 0^; G est un point fixe autour duquel tourne le diamètre des cordes parallèles 
à Oy. Mais, d'après la remarque faite plus haut, ce diamètre est perpendiculaire à 01. Donc, le point 
de rencontre de ces deux diamètres, c'est-à-dire le centre de l'hyperbole, est sur le cercle décrit sur OG 
comme diamètre. Il est facile de s'assurer que tous les points de ce cercle sont bien des points du lieu 
demandé. E. D. 

(Ont envoyé de bonnes solutions : MM. M. François, 1 Remircmont ; E. Ilallard, lycée de Bordeaux ; A. Johner, à Alger ; F. Leray, à Rennes; 
Ochs; J. Pelrignani, lycée de Marseille G. Picdanna, lycée Janson-de-Sailly ; L. Tronchon, lycée de Lyon.] 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE (Concours de 1890). 



Physique. 

21. — Étudier la marche des rayons qui, partis d'un point lumineux, ont traversé une lentille, de faible 
ouverture et d'épaisseur négligeable, dont l'une des faces est taillée suivant un cylindre circulaire droit convexe, 
la deuxième face étant plane et parallèle à l'axe du cylindre. Passer de là au cas oh la source de lumière est 
une petite droite perpendiculaire à l'axe principal. 

Examiner enfin ce qui se passe quand la lentille plan-cylindrique est immédiatement suivie d'une lentille 
sphérique convergente infiniment mince. 

I. — Soit le point lumineux P sur l'axe AX de la lentille dont le plan de la figure est une section 
droite. Le faisceau total émané de P peut être considéré comme formé de faisceaux plans tombant 
chacun sur une génératrice de la surface cylindrique A. L'effet de la lentille sera donc le même que 
celui d'un système d'une infinité de prismes limités chacun par un plan tangent à la surface A et par 
la face plane B. 

Soit M la trace d'une génératrice: considérons l'efl'et du prisme correspondant sur le faisceau 
plan qui coupe le plan de la figure suivant PM. Le rayon PM sera réfracté suivant MM', dont le prolon- 
gement rencontre en Pj la perpendiculaire PC au plan tangent en M. Si jet r sont les angles d'incidence 
et de réfraction, on a dans le triangle PPjM : 

P,M sin i _ 
PM ~ sin r ~~ 

En appelant p et p^ les distances de P et Pj à la lentille, on a donc p, — np. 

Les rayons du faisceau plan autres que PM, après réfraction, passent par des points de la droite 




PC qui coïncident sensiblement avec Pj, car la lentille ayant une faible ouverlure, la distance de P à 
chaque point d'incidence est considérée comme égale à PM ou. p; la valeur de p^ reste donc la môme. 

Cela revient aussi à confondre la porlion utile de la génératrice M avec un petit arc de cercle 
qui aurait sou centre en C, et il est clair que les rayons réfractés sont alors sur une portion de surface 
d'un cône ayant son sommet eu Pj, portion que l'on peut confondre encore avec le plan tangent à ce 
cône suivant P,MM', plan perpendiculaire au plan de la figure. Des considérations analogues se pré- 
sentent à la sortie du faisceau sortant de la face B. 

Les rayons sériants formeront aiusi un faisceau sensiblement plan, perpendiculaire au plan de 



2i ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 



la figure, et passeront par un point P, dont la distance p, à la lentille sera donnée par p, - - j^, 
ou, d'après la relation /), = np et en négligeant l'épaisseur de la lentille, p, = p. 

Les rayons sortants de notre prisme élémentaire seront donc divergents comme s'ils venaient 
d'un point F, situé sur une perpendiculaire YY à l'axe de la lentille et à l'axe de la surface cylindrique. 
Celui de ces rayons qui est dans le plan de la figure coupe AX en S, point qui est évidemment le 
môme pour tous les faisceaux plans analogues, ce point étant le conjugué de P pour tous les rayons 
contenus dans le plan de la figure et qui se conduisent comme si la lentille était une lentille plan- 
convexe sphérique. Si AS = p', on a 

1 1 ?! - 1 

(!) p^p' = ^r' 

R étant le rayon du cylindre. 

Tous les faisceaux plans divergents sortants se coupent donc suivant une portion de droite 
passant par S, perpendiculaire au plan de la figure, perpendiculaire à l'axe de la lentille et parallèle à 
l'axe du cylindre A. 

Ainsi, chaque rayon sortant de la lentille s'appuie sur la droite YY et sur la droite S. Ces deux 
droites constituent ici les deux surfaces caustiques dont la théorie démontre l'existence pour tout 
faisceau parti d'un point unique et qui a subi une série de réfractions ou réflexions sur des surfaces 
quelconques. 

La discussion des positions du point P et de la ligne S est facile et se déduit de l'équation (I) 
comme la question analogue des lentilles sphcriques. 

Quand p = r, P est en un point F qu'on peut appeler foyer principal, la ligne S est à 

n — 1 

l'infini, ce qui veut dire que les faisceaux plans émanés de P sont devenus parallèles à la sortie; mais 

dans chacun de ces faisceaux il y a toujours divergence des rayons, car la ligne virtuelle YY ne 

s'évanouit pas. 

Si P est au delà de F, la ligne S est réelle; si P est eu deçà de F, la ligne S est virtuelle. 

Quand le point P n'est pas sur l'axe de la lentille, toutes les conclusions générales de l'étude 
précédente subsistent; les deux lignes YYet S sont toujours perpendiculaires entre elles; seulement la 
trace S se trouve sur l'axe secondaire PA. 

II. — Cas d'une droite lumineuse perpeudicu'aire à l'axe et passant par le point P. — Il suffit 
de se bien représenter la superposition ou la juxtaposition des elTets produits par les diCférents points 
de la droite P en tenant compte de l'observation qui termine le paragraphe précédent. 

Si la droite P est parallèle à l'axe de la surface cylindrique, il est clair que toutes les droites 
analogues à YY formeront un rectangle virtuel; et toutes les droites analogues à S se superposeront 
suivant une droite unicjuc parallèle à la droite P. 

Si la droite P est perpendiculaire à l'axe de la surface cylindrique, ce sont toutes les droites 
analogues à YY qui sont superposées en co'incidence avec la droite P elle-même. Mais l'ensemble des 
droites analogues à S, rangées côte à côte, forme un rectangle parallèle à la face plane de la lentille, 
et dont la dimension transversale est facile à déterminer. 

Si enfin la droite P, tout en étant toujours perpendiculaire à l'axe de la lentille, est oblique rela- 
tivement à l'axe du cylindre, on voit que les droites analogues à YY et celles analogues à S forment 
deux surfaces planes parallélogrammes obliques. 

III. — Le faisceau ayant pour origine le point P et transmis par la lentille, a une structure parti- 
culière mise en évidence par la théorie exposée ci-dessus. La ligne S n'est pas assimilable par exemple 
à une ligne lumineuse ordinaire oli des rayons peuvent être émis ou se croiser dans toutes directions. 



ALGÈBRE 2o 



ce qui fait notamment qu'une ligne lumineuse mise à la place de S ne donnerait pas comme image le 
point P seulement, comme on serait tenté de le croire par une fausse interprétation du principe du 
retour inverse des rayons. Mais les rayons du faisceau en question qui se rencontrent sur deux droites 
composent une partie des faisceaux qu'enverraient ces deux droites si elles étaient des droites lumi- 
neuses ordinaires réelles ou virtuelles. Donc, reçus sur une lentille sphérique, ils donneront lieu, 
à l'intensité près, aux mêmes effets de convergence ou de divergence que si les droites YY et S étaient 
des droites lumineuses. 

En conséquence, la lentille sphérique de distance focale /' qui suit la lentille cylindrique 
donnera, des lignes YY et S, des images dont il est facile de trouver la position. Dans le cas ordinaire 
(YY virtuelle et S réelle), on trouvera dans le faisceau réfracté, d'abord l'image S' linéaire et réelle, 

111 

image de S, parallèle à S, située à une distance /i de la lentille telle que —— + — = - . — Puis 

111 

une image linéaire de YY, parallèle à YY, à une distance /„ telle que — \- j = -, image qui sera 

réelle comme la première si p > /". 

On pourra donc recevoir sur un écran placé plus ou moins loin au delà du système des deux 
lentilles au contact deux images réelles linéaires du point P dans deux directions perpendiculaires. 
Le faisceau réfracté conserve donc toujours sa structure de lignes s'appuyant sur deux droites 
perpendiculaires. 

La discussion des différents cas, P à diverses distances, puis P remplacé par une ligne lumineuse, 
n'offre pas de difficultés, mais constitue un bon exercice que nous recommandons aux élèves. 

A. L. 



ALGEBRE 



4. — Démontrer que si un déterminant est nul, les mineurs relatifs aux éléments correspondants de deux 
rangées parallèles sont proportionnels, et réciproquement. 

Soit D = {a\al ... a") un déterminant nul. Considérons un système homogène de n équations à n 
inconnues où le coefficient de a;; dans la A™" équation soit a*; il a des solutions différentes de zéro. 
Supposons que l'un au moins des coefficients de la p"'" ligne et l'un de ceux des éléments de la q""^ ne 
soient pas nuls. On sait que la solution générale est, en appelant ai le coefficient de l'élément ai : 

Xi — ÀXp, x^ — ).a,',, . . . , a',, = loLp, 
A étant quelconque; comme d'autre part elle est, y. étant une arbitraire : 

à une valeur de l correspond une valeur pour \j. telle qu'on ait : 

(1) Àï), = iao:', Astp = ;jia^, . . ., Xajl = aa". 

Le théorème est donc établi pour les lignes; il en est de même des colonnes. 

Réciproquement, si les relations (1) ont lieu entre les éléments de deux lignes, le déterminant A 

adjoint de D a deux rangées parallèles à éléments proportionnels; donc A = 0; et comme A — D"~', 

on doit avoir D = 0. 

H. DE MoNiiLLE, élève au lycée Louis-le-Grand. 



26 



ALGÈBRE 



On peut démontrer ainsi la réciproque : supposons 

a, = hcip, a.'g = Aap, . . . , 

ou a D = ajï.î + ««^i + . . . + a^a." — A(a^ap 

Autres solutions : M. J. G. D.irbocx (Louis-le-Grindj ; L. Dms (lycée de Lille). 



a" = hy-p-, 

aWu + . . . • 



5, — Qn appelle déterminant symétrique gauche, tout déterminant dont les éléments vérifient la relation 
^pq + ^ip — ^< ^ ^"'"'^ î''^ ''^* éléments de la diagonale principale sont tous 7iuls. 

Démontrer: /" que tout déterminant symétrique gauche de degré impair est nul; 2" que tout déterminant 
symétrique gauche de degré pair est le carré d'une fonction rationnelle et entière des éléments du déterminant. 

1° Si le déterminant gauche est de degré impair, à tout terme tel que (— t)'+''a°a| •■• a'i, 

où I et r sont les nombres d'inversions des deux suites d'indices, nous associerons le terme 

(— iy'+^al'at . . . a',-; ou bien ils sont nuls à la fois, ou ils sont égaux et de signes contraires. Leur 

somme est donc toujours nulle, ainsi que le déterminant. 

2° Nous partirons de l'identité suivante (Niewenglowski, Algèbre, page 229) : 

d'Y) _ OT) àD dD àX) 

da'inâaq àOm àa^i àam àa'ij 

'>D , <)«D , . , 

D désignant le déterminant considéré, — - sa dérivée par rapport à «„ et — ; — - sa dérivée seconde 

àa^ '>am<>aq 

par rapport à al„, puis oj. Soit n le degré de D. 

Posons m ^^r — n; q — s = n — i; l'identité devient 

(1) D. „ ,_, -=— , —— , ;: —r 

dayalJi à a;, àa,^^\ <Ja„_i <)a„ 

Vérifions d'abord que pour n = 2, D est carré parfait. On a 

a I 
-a = '^ • 



D 



D, 



Admettons le théorème pour tous les déterminants gauches de degré moindre qu'un nombre 
pair n; je dis qu'il est vrai pour ceux de degré n. En effet, si n est pair. 



<)a!,' 



est un déterminant 



a»D 



gauche de degré impair, et par suite nul; — -^ — ;^ est un déterminant gauche de degré pair n — 2, et 

ùa'nàa'n—\ 



par suite un carré. Je dis que 






da'n-i 



«'al.'"' 



-û?... -«','-' 



- (- 1)"-' 



; en effet : 

+a\.. 
~a\ ... 





■ a"~ 



-à\... 
ai 



- «;;_! 






La formule (1) donne donc D. — ; — ( — -— ; 



ce qui prouve que D est le carré d'une fonction rationnelle <f de ses éléments; cotte fonction 9 est 
entière, puisque le carré d'une fonction rationnelle ne peut être entier qu'autant qu'elle l'est. 

II. DE MO.NTILLE. 



ALGÈBRE 27 



6. — Si l'on élimine uetv entre les équations 

X = f,(u, v), y = Un, v), z = f3(u, v), 

on obtiendra une relation F(x, y, z) = 0. 

Calculer des nombres proportionnels aux dérivées du premier ordre de la fonction F(x, y, z). 

Supposons que dans le champ des valeurs de w et de tJ que l'on considère, /',(«, v), t^{u, v), fs(u, v) 
admettent des dérivées partielles par rapport à u et à t', et que dans le champ des valeurs de x, y et z 
qui correspond à celui des valeurs de u et de v, ¥(x, y, z) soit pourvu de dérivées partielles Fj, Fj, F^. 
On aura 

F' '^/■t^' ^') + F' ''/'^(»- ^'> + F' ''^'^^"' "^ - 

^ ' 'Ou '■' au ' Ou ' 

„, df,(u, v) „, Of.tu. v) ^, OfJu, v) „ 

(2) f; '"■ ' + F,, '^^ + F, " = 0. 

^ ' Ov Ov OV 

Ces équations montrent que Y'^, F!,, V. sont proportionnels à 

D(/;, /;) _ DiA, A) ^ ixA. A) 

D(M, i;) ' D(m, îi) ' D{tt, u) 

en abrégeant à l'aide de la notation des déterminants fonctionnels. Ceci suppose l'un des trois 
déterminants différent de 0; si un ou deux d'entre eux seuls étaient nuls, les dérivées partielles de F 
correspondantes seraient nulles. 

S'ils sont tous nuls, ces équations se réduisent à l'une d'elles et ne déterminent plus F^, F^, F. ; 
mais cela ne peut avoir lieu quels que soient u et v que si /',, /j, ^ sont liées par des relations, en 
vertu d'un théorème connu sur les déterminants fonctionnels. 

H. de MONTILLE. 

Exercice. — Appliquer à l'équation du plan tangent à une surface définie par les équations 
X — fi(u, V), y ^ fjfu, v), z = f3(u, v). 

■1 + ai 

7. — Montrer que toute imaginaire de module égal à l'unité peut se mettre sous la forme . _ . ' a 

désignant un nombre réel. 

Soit en effet p + qi un nombre imaginaire tel que 

2)2 + fy2= 1. 

. \ + ai 
Si nous posons p + qi = -. > 

nous trouvons, eu identifiant, les deux équations 

(1) p + «(/ = 1, 

(2) q — ap = a. 

Ces deux équations donnent respectivement pour valeur de a 

^ q ' ~i+p 

D'ailleurs q est supposé différent de zéro, et l'on ne peut supposer p — — {, sans quoi l'hypothèse 
g^ -h q^ = 1, donnerait q — 0. 

l —p i — p^ q^ q 



Or 



9(1 +P) 9(1 +P) 1 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Donc les équations (1) et (2) sont compatibles, et l'imaginaire p -+- qi peut se mettre indifïéreni- 
ment sous les deux formes 



1+ . , , 



q \+}} 

L. P. Bandon, lycée Louis-le-Grand. 

Ont enroyC' de bonnes solutions : MM. F. Lbrat (instituteur à Rennes) ; Teilbbt (ù Saint-Éticnnej ; Baudran, élève du lycée de Rouen ; Marbt- 
MOXCE, élèTe du lycée Louis-lc-Grand : L. Dri», élève du lycée de Lille. 

M. DE MoNTiLLE, élève du lycée Louis-le-Grand, remarque que toute imaginnirc de module cgal à l'unité étant de la forme cos= -l-«sin o 
1-t-ai , . , cosx-f isinx .... 1 

en posant a = lgj-, : devient -. — ou cos2x-l- isin 2x .donc a = tg-5. 

•^ ^ ' 1— ai cosx — isinx ' ' *2 ' 

Remarque analogue par -M. Pehrbe, élève du lycée Condorcct. 



Ttéometrie analytique 



16. — Trouver toutes les coniques dans lesquelles à deux directions de cordes rectangulaires quelconques 
correspondent deux diamètres rectangulaires. 

Les paraboles ayant tous leurs diamètres parallèles, ne peuvent évidemment satisfaire à la 
condition demandée. On recherchera donc ces coniques parmi les coniques à centre. 
P apportons-les à leurs axes de symétrie. Leur équation est 

Ax^ + Gy^ + F = 0. 

Les cordes de direction X ont pour diamètre Ace -4- XCî/ = 0. 

1 
Celles de directions — - ont pour diamètre 'tkx — C(/ = 0. 

Écrivons que ces deux diamètres sont perpendiculaires : 

_ A _ _^ 

m ~ ),A ' 

Cette équation devant être vérifiée quel que soit X, on aura comme condition cherchée 

A= - C" = 0, soit A-t-G = ouA-C = 0. 
L'hyperbole équilatère x^ — 3/^ + M = et le cercle œ'' + î/^ + M = sont donc les seules 
coniques satisfaisant aux conditions de l'énoncé. 

F. Leray, instituteur à Rennes. 
Autre solution analogue : M. Baudras (lycée de Rouen). 

19. — Par un point M d'une ellipse, on peut mener trois normales à la courbe, indépendamment de celle 
dont le pied est en M. Sur chacune d'elles on porte, à partir du point M, mhc longueur égale au segment 
intercepté entre le grand axe et le pied. 

Démontrer que les trois points ainsi obtenus sont sur un même cercle tangent à l'ellipse au point M. 

Soit a'x' + a'^y' — a^b^ = l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes. 
Désignons par a, p les coordonnées du point M. 

Les coordonnées des points d'incidence (autres que M) des trois normales à l'ellipse vérifient 
l'équation de l'ellipse 

(1) ^^r» + a- y- - a^b'' = 0, 
et l'équation du cercle de .Joachimstal 

(2) a'b\x^ + ifj - ab'x - pa'y - a'b'{a* + 6«) = 0. 

Soient x, y les coordonnées d'un quelconque N des trois points d'incidence; cherchons les 
coordonnées (X, Y) du point P tel que MP = QN, Q étant le point où la normale MN rencontre le 
grand axe de l'ellipse. 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 29 



On a X = a H , 

Y-p + y. 
En remplaçante;, ^ tirées de ces deux équations dans (1), (2), on voit que les coordonnées des 
trois points P vérifient les deux équations 

a-'[X - ay + b^(Y - ^)^ = 6», 
a«(X -<xY + a'%\Y - p)^ ~ a.a'^b'ÇK. - a) - Ra^b^Y - p) - 6'(a'^ -4- 6») = 
Ces deux équations représentent deux coniques ayant leurs axes parallèles; donc par leur 
intersection on peut faire passer un cercle. 
L'équation de ce cercle est 

(X - af + (Y - PY + -^, (X - a) _ (p - Y) = 0. 



Il passe par le point M, et en ce point il est bien tangent à l'ellipse. 
Lorsque le point M décrit l'ellipse, le centre du cercle devient l'ellipse 



ly'ci'x' + (a* + d'Y y = !^ — -—^ b\ 



P. Puiu, professeur au lycée de Belforl. 



QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS ORAUX 



École normale supérieure (1890). 

Questions de M. fiaffy. 

27. — Construire la courbe y ^ x — a sin x. — Cas de a = \[î. 

28. - Calculer f— ^^ et f- 



{x' + l)dx 



(a:2 + 2)(2a;^ + l) 

29. — Construire la courbe [x'' — a-)- — taïf — 3a^y' = 0. 

30. — Lieu des normales à une surface réglée le long d'une génératrice rectiligne. 

31. — Trouver une fonction y telle que y ■+- y" = 0. 

32. — Lieu du sommet d'un angle dont les côtés et la bissectrice passent par des points fixes. 

33. — Construire la courbe p^ := 2p cos w — sin^ w. 

34. — Équation générale et lieu des centres des byperbolos équilatères circonscrites à un triangle rectangle. 

Peut-on voir o priori quel est le degré du lieu des centres? 

35. — Étant données les surfaces — ; + + ~ |x = , le cùue des six normales issues d'un noint 

a^ + t. 0' ■+■ X c' + X *^ 

est le même pour toutes ces surfaces, et une quelconque des génératrices de ce cône est normale à une infinité de sur- 
faces représentées par cette équation. 

36. — Lieu des pôles des cordes d'une parabole telles que les normales à leurs extrémités se coupent sur la parabole. 
S'y. — Lieu des sommets des cônes de révolution passant par une conique donnée. 

38. — Résolution de l'équation complète du troisième degré, quand les trois racines sont en progression géométrique. 

tg TI a; TZ X 

39. — Limite de pour x = 0. 

œ' tg ira; 

40. — Résoudre l'équation 0:^2 — (3a;' + 2) tg 2a = 0. 

41. — Lieu des points équidistants de deux droites, dans l'espace. Ce lieu est un paraboloïde. — Réciproquement, 
étant donné un paraboloïde, peut-on trouver un couple de droites telles que ce paraboloïde soit le lieu des points équi- 
distants des deux droites? — Y aura- t-il un ou plusieurs couples de droites? — Quel sera le lieu de ces couples de droites? 
— Étudier ce lieu et les sections par des plans parallèles aux bissectrices de l'angle des deux droites et à leur perpendi- 
culaire commune. 

42. — Comment exprime-t-on que l'équation x^ -h px- +q = a deux racines dont la diUérence est al La 
condition cherchée est a-{p^ — a")' + cj{'ip^ + 279*)- = 0; remplacer dnns cette équation p et ry par a; et y et construire la 
courbe représentée par l'équation ainsi obtenue. — Construire la courbe dans le cas a = 2. 

43. — Sections circulaires de la surface x- -(- y'' -+- Xs" -+- iaxz + z ■= 0. 

Ajouter à l'énoncé de la question 26, ces mots : en supposant que les racines de l'équation t\x) =; sont inégales. 



30 



CONCOURS DE 1890 



CONCOURS DE 1890 



ECOLE DES PONTS ET CHAUSSEES 



Cours préparatoires. 

Géométrie analytique. 

22. — Étant donné un cercle Qse G dont le centre est en un point de l'axe des y, et une série de circonférences 
tanpenles à l'axe des x à l'origine, on mène des tangentes communes à ces circonférences et au cercle fixe, et 
on demande le lieu des points de contact M. 

On examinera en particulier le cas où le cercle fixe se réduit à un point et celui où le centre de ce cercle 
coïncide avec l'origine. 

(Durée de l'épreuve : i heures.} 
A Igèbre. 

23. — On désigne par x ei y les distances AM, BM de deux points A cl B à un point M pris arbitrairement 
sur une droite D. 

On demande de déterminer les maximum et minimum du rapport ^■ 

(Durée : 3 heures.) 
Lavis (Feuille 1/8 grand-aigle.) 





M 


Eiévation. 

M 


Coupe 




l__ 


■f. 
\ 






•^ 


'li' ■ '/ ■ 




d 


'"^x^y^ 




N 




j' 




Laver à l'encre de Chine, à teintes plates ou à teintes fondues, 
à volonté, les moulures dont le croquis est donné ci-contre. 

MN, M'N' est l'arête "verticale d'un pilastre, portant ombres 
à 45» sur les moulures horizontales situées en arrière et dans la 
position relative (ju'inditiue la coupe. 

IjCS profils g'c' et d'f pourront être formés par des quarts 
d'ellipse. 

On ne lavera que l'élévation, ombres propres el ombres 
portées. 

Le croquis remis aux candidats était à l'échelle moitié de 
celle du lavis à exécuter; sur ce croquis, la partie couverte de 
hachures avait 50""" de hauteur. 
"* (Durée: 3 heures.) 

Epure {feuille 1/4 grand-aigle). 

CÔNE ET CVI.INDUE DE RÉVOLUTION. 

24 — Un cylindre de révolution a pour axe la droite horizontale ab,a'b' ; il 
est tangent au plan horizontal et il est limité par deux plans de section droite 
passant par les extrémités a, a' et b, b' de l'axe. 

Un cône, ('gaiement de révolution, a pour sommet le point s, s' situé sur le 
plan horizontal ; son axe passe par le point o, o' milieu de l'axe du cylindre et il 
est, lui aussi, langent au plan horizontal En projection horizontale, les axes des 
deux surfaces sont perpendiculaires l'un sur l'autre. 

Ou demande de chercher l'intersection des deux surfaces et de représenter 
le cylindre seul en supposant le cône enlevé après avoir fait son entaille dans le 
cylindre. 

L'épure devra indiquer la marche suivie pour trouver un point courant do 
l'intersection et la tangente en ce point. Elle comportera également les construc- 
tions faites pour trouver les points les plus remarquables de l'intersection. 

(Durée : i heures.) 



GONCOURS^DE 1890 



31 



Places d'élèves externes. 

Analyse et Trigonométrie. 

25. — Deux bassins à parois verticales, dont les sections horizontales S et S' sont connues, sont mis en 

communication par un orifice dont le débit pendant l'élément de temps dt est 

proportionnel au produit de dt par la racine carrée de la dilTérence des hauteurs 

de l'eau dans les deux bassins. Au moment où la communication est établie, le 

bassin S' est vide et la hauteur de l'eau dans le bassin S est égale à h. On demande 

comment varieront en fonction du temps les hauteurs x et y du liquide dans les 

"' - - deux bassins et à quelle époque l'équilibre sera établi. 

II. — Dans un triangle ABC, on donne : le côté BC — a — 928™,S0, la hauteur AH = /» = SSS^jao, la 

médiane AM = m = 406"", IS. 

On demande de calculer les deux autres côtés et les trois angles. 

Résultats : b = iH'",iU, c = 767">,61S, B = 26° 8' 43",40, G = 54» 42' 2C",82, A = 99° 8' 49",77 . 

(Durée: 3 heures.) 
Mécanique. 
Un point pesant, de masse m, est assujetti à se mouvoir sur une droite OD qui est animée d'un mouvement 
de rotation uniforme autour du point O dans un plan vertical. 

On demande de déterminer le mouvement du point m ainsi que la réaction de la droite D. 

(Durée : i heures.) 
Épure de stéréotomie. (Feuille 1/2 grand-aigle.) 

DESCENTE DROITE, DANS UN MUR DROIT, ET RACHETANT 
UN BERCEAU CYLINDRIQUE. 

Le grand berceau horizontal a pour axe AB : son rayon est 
de 2-". 

La descente a pour courbe de tète sur le mur xy une demi- 
circonférence de l'",30 de rayon; son axe est la droite inclinée 
CF, C'F' (voir les cotes sur le croquis ci-contre) Elle sera appa- 
reillée normalement, c'est-à-dire que les plans de lit de ses 
voussoirs devront être normaux au cylindre d'intrados de la 
descente. 

Le nombre des voussoirs, leur épaisseur, le mode d'extrados- 
sage (tas de charge ou parallèle) sont laissés au choix des can- 
didats. 
On demande, après avoir déterminé l'appareil dans son 
ensemble et l'intersection des intrados, d'étudier et de représenter complètement un seul voussoir. On donnera 
les développements et tous les panneaux oudouelles nécessaires pour la taille de ce voussoir. 
L'épure sera exécutée sur feuille demi-grand aigle à l'échelle de 5 centimètres pour 1 mètre. 

(Durée : 4 heures.) 

Croquis et lavis. 
Première partie : Croquis (feuille i/S grand-aigle). 
1° Faire au crayon, à main levée, le relevé géométral (plan, élévation et coupe) de l'un des objets placés 
dans la salle d'examen (*). 

2° Relever les dimensions (en millimètres) et les inscrire sur le croquis. 
(On accorde 1 heure 1/2 pour cette première partie du travail, après quoi le modèle en relief est retiré de la salle.) 

Deuxième partie : Mise au net et Lavis (feuille 1/4 grand-aigle). 

1° Mettre au net, à l'encre de Chine, à une échelle déterminée, le croquis précédent. 

2" Laver, à l'encre de Chine, une seule des projections (plan, élévation ou coupe). 

(L'échelle est laissée à l'arbitraire de MM. iPs candidats. I 

(Durée totale: i heures) 

(*) Ces objets étaient : une soupape à boulet pour pompe alimentaire, une glissière de coulisse de Steplienson, une barre d'att«lage, un palier 
pour arbre horizontal ; — an même modèle servait pour quatre candidats. 




32 QUESTIONS PROPOSÉES 



QUESTIONS PROPOSÉES 



26. — Trouver la somme des produits p a p de m termes consécutifs d'une progression 
géométrique. 

'27. — Étant donnés quatre points en ligne droite A. B, C, D; peut-on tracer une parabole passant 
par les points G et T), dont l'axe passe par A et la tangente au sommet par B? 

Montrer qu'en général le problème est impossible. Trouver dans quel cas il est possible, et 
montrer que dans ce cas il est possible d'une infinité de manières, et trouver le lieu des points de 
contact des tangentes menées à loutes ces paraboles, parailèlomeut à la droite donnée. 

*28. — On donne deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy, un cercle de centre et de 
rayon a et une droite PQ qui passe par le point et dont le coetficient angulaire est m. 

1» Trouver l'équation générale des coniques S qui passent par les points d'intersection de la droite 
PQ et du cercle et qui sont tangentes à ce cercle, au point A où il rencontre le demi-axe Ox. 

2" Trouver le lieu des centres de toutes ces coniques. Ce lieu est une conique C. Déterminer son 
centre, ses axes et les tangentes aux points situés sur l'axe des x. Enfin construire cette coni([ue C. 

3° Séparer sur la conique C les centres d'ellipse des centres d'byperbole. 

4" Dans l'hypothèse où PQ tourne autour du point 0, trouver le lieu du pôle de la droite PQ par 
rapport à la conique C, puis le lieu du point d'intersection de la droite PQ avec les asymptotes de la 
conique G. enfin le lieu des sommets et le lieu des foyers de la conique G. 

29. — D'un point P du plan d'une ellipse, ou mène les quatre normales, et l'on considère le qua- 
drilatère formé par les tangentes aux points d'incidence. 

1° Sur quelle courbe doit ôtre situé le point P pour que le quadrilatère soit circonscriptible à 

un cercle? 

2" Trouver le lieu du centre du cercle inscrit, et le lieu des sommets du quadrilatère, lorsque le 

point P décrit la courbe précédemment trouvée. 

(P. PuiG, professeur au lycée de Bclfort.) 

30. — On considère les coniques circonscrites à un triangle et telles que les normales à ces 

coniques menées par les sommets du triangle soient concourantes. Lieu de leur point de concours; 

même question pour les coniques inscrites, les normales étant menées aux points de contact des côtés 

du triangle. 

U.-l'i. Daiiboux, élève au lycée Louis-le-Grand.) 

31. — Le volume d'un cône de révolution circonscrit à une sphère, limité par une section ellip- 
tique dont le plan est tangent à la sphère, est égal à 

k V Pï, 
k étant indépendant du plan de base, et P étant le demi-périmètre du triangle section iirincipalc 
du cône. 

En déduire le cône minimum circonscrit à une sphère, ou à un ellipsoïde. 



Le licdactcur Gcranl: H. VUIBERT. 



PAllIS. — I.MI'. CIUIX. — 23154-10-00. 



ire Année. 



N" 3. 



Décembre 1890. 



REVUE DE MATHËMATIOUES SPÉCIALES 



ECOLE CENTRALE (Concours de 18!J0. — l^'^ Session.) 



Géométrie analytique. 

32. — Oa donne dtux a.Lca rrclanijulnires x'Ux, y'Oy el deux jjoinls A, Ji, .■•ijmt'triijue.'i par rapport 
nu point 0. 

1° On prend, sur l'axe des x, un point quelconque P, et on considère la parabole (P) (/Ui est tangente 
aux droites PA, PB au point A et au point B. Lieu du sommet et lieu du foyer de cette parabole quand le 
point P parcourt l'aae x'Ox. 

2" On prend, sur l'axe des y, un point Q quelconque, et on considère la parabole (Q) qui est tangente 
aux droites QA, QB au point A et au point B. Les deux paraboles (P) et (Q) qui correspondent ainsi à un 
point P pris sur x'Ox et à un point Q pris sur y'Oy, se coupent aux points A, B el en deux autres points C, D. 
Former l'équation de la droite CD, et trouver le lieu décrit par les points CetD quand les deux points P et Q 
se déplacent l'un sur x'Ox, l'autre sur y'Oy, de façon que l'abscisse du premier soit toujours égaleà l'ordonnée 
du second. 



l" Soient fa, b) et (— a, — b) les cooidouuées des points A et B. Désignons par X l'abscisse du 

point P. Les équations des droites PA, PB et AB sont respec- 
tivement 



y 



y 




y X — /. 


y 

- b 


X — 




y X 


b u — À 


— a — 


/. 


b a 



P .V ou encore 

ay — bx — '/.{y — b) — 0, ay — bx + l(ij + 6) = 0, 
a y — bx = 0. 
L'équation générale des coniques tangentes en A et B aux 
droites PA et PB est alors, en désignant par /.; un paramètre arbitraire, 

[ay — bx — y y — b)][ay — bx -+- '/.(y + h)] — k{ay — bx}^ — 0, 
ou (I — l{]{ay — bxY — V{y- — 6^) + "Hbl^ay — bx) — 0. 

Cette équation sera celle do la parabole (P) si l'on détermine k de façon que la quantité B^ — AC 
soit nulle. On trouve ainsi 

a'6'^(l - k)' - b\{ - k}\aHi - k) - X-] = 
ou 6').^(1 — /,■■, -- 0, ce qui donne /.; = 1. 

L'équation de la parabole (P) est donc 

'df - i') - 1b{a>j - hx) = 0. 
en écartant l'hypothèse X ^ 0, qui correspond à la droite double AB. 



34 



ECOLE CENTRALE 



Si l'on écrit cette équation sous la forme 

on voit que la parabole (P) a pour diamètre l'axe des x, rencontre ce diamètre au milieu de OP et a 
pour tangente en ce point une parallèle à AB. Une propriété géométrique bien connue aurait permis 
de prévoir ce résultat et pu servir à écrire l'équation de la parabole (P). 

Lieu du sommet de la parabole (P). — On sait que l'équation de l'axe d'une parabole, f{x, y) = 0, est 

B/-; + c/-; = 0. 

Comme B est nul et que C est différent de zéro, l'axe de la parabole (P) a pour équation 

/'y ---z 0, c"est-à-dire >,'/ — ab — 0. 
Le sommet de cette parabole est donc déterminé par les deux équations 

liif - 6'^) - 26(02/ - bx) =0, ly - ab :^ 0. 
Lorsque ). est regarde comme un paramètre variable, ce sommet engendre un lieu dont l'équation 
s'obtient en éliminant X entre les deux équations précédentes. On trouve ainsi, après simplilicatioii. 

a y- — Ibxy + a6» = 0. 
,y yy Le lieu demandé est donc une hyper- 

bole qui a pour centre l'origine. Les 
asymptotes de cette hyperbole sont les 
droites 

2/ = 0, ay - %x -^ 0. 

La première est l'axe des x\ la seconde 
est une droite qui passe par l'origine et 
qui coupe la parallèle à Oy menée par le 
point A en un point H dont l'ordonnée 
est 26. 

Remarquons enfin que cette hyperbole 
passe en A et B et que les tangentes en 
ces points sont parallèles à Oy, car, pour 
X = = a, on a {y zsz by = 0. 
Ces résultats sont plus que suffisants pour construire la courbe. 

Lieu du foveu de la pahahole (Pj. — Le foyer de la parabole (P), 

est l'intersection de son axe (voir plus haut) 

f'y - 
et de l'hyperbole focale ^(A - G)f{x,y) = {f',Y - {['uY- 

On aura le lieu de ce point eu éliminant X entre ces diuix é(]ualions. Remarquons que la dernière 
équation, en tenant compte de la précédente, se réduit à : 

i{k-G)l\x,y)-^{Q-. 
Ou a donc, en déliuilive, à éliminer X entre 

Xy - ab = et - X[X(iy» - 6») - ±b{ay — bx)] = 6*, 

ce qui donne, après simplification, 

yHa' - 6') - ^abxy + a^b* = 

pour équation tlu lieu du foyer do la parabole (P). 




ECOLE CENTRALE 



3o 



On voit ainsi que ce lieu est une hyperbole. 

Le centre de cette hyperbole est Torigine. L'équation aux coefficients angulaires de ses axes étant 
abu' -t- {a- — b'^)u — ah — 0, 
ou encore {au — b){bu + a) = 0, 

elle a pour axes la droite AB et la perpendiculaire à cette droite menée par l'origine. D'ailleurs, l'une 

des asymptotes est l'axe des x, l'autre asymp- 
tote est donc la symétrique de Ox par rapport 
à AB. 

Nous pourrons construire cette courbe lorsque 
nous en connaîtrons un point. Cherchons les 
points S et S' oii elle coupe AB. Les coordon- 
nées de ces points sont données par 




et //' 



+ 6^' 



US' 



par suite 

Ainsi, les points S et S' sont à l'intersection 
de la droite AB et de la circonférence dont le 
rayon est la valeur absolue de a. Remarquons 
que les points S et S' sont les sommets réels 
de l'hyperbole considérée. 

On pourrait encore obtenir les points S et S' 
en cherchant les foyers des deux paraboles (P) pour lesquelles la droite AB est une corde focale, ce qui 
donne la construction suivante : décrire une circonférence sur AB comme diamètre, prendre les points 
P et P' où cette ligne coupe l'axe des x et abaisser de ces points des perpendiculaires sur AB. Les pieds 
de ces perpendiculaires sont les foyers des deux paraboles (P) et (P'j, c'est-à-dire les points de l'hyper- 
bole qui se trouvent sur AB, c'est-à-dire encore les deux sommets réels S et S' de celte courbe. 

2° Désignons par y. l'ordonnée du point Q. L'équation de la parabole (Q) se déduit par analogie 
de celle de la parabole (P). 

L'équatiou de cette dernière étant 

(1) \{y'' - 6'') - lb(ay - bx) = Û, 

celle de la parabole (Q) est 

(iJ) <j.{x^ - a«) - 2a{bx - ay) = 0. 

Équation de la droite CD. — Multiplions les deux membres de l'équation (1) par [j.a'', ceux de 
l'équation (2) par )v6^,et retranchons men bre à membre. Nous obtenons l'équation 

l<j.(a^!f - bKc'') - 'iab{ay — bx)(aij. + bl) = 0, 
qui est celle d'une conique passant par les quatre points A, B, C, D. Or cette équation s'écrit 

{ay — bx)[ki).{ay -f- 6a;) — 'iabiau. + bl)] -^ 0, 
et, par suite, se décompose en deux équations du premier degré, 

ay — bx = et >|j.(ay + bx) — ^abia^j. ■+- bl) — 0. 
D'ailleurs, la première de ces équations est celle de la droite AB; il faut donc que la seconde repré- 
sente la droite CD. 



36 



CONCOURS GENERAL 



LiEf DES POINTS C ET D. — Les points C et D peuvent être regardés comme l'inlersection de la 
droite CD avec la parabole (P). Si l'on se rappelle que l'on doit ici suppo«er À = ix, la question revient 
à chercher le lieu des points d'iuterseclion des deux lignes représentées par les équations 
l(ay + bx) - 'iab{a + 6) = et l(if - b^) - Ihiay - bx) = 0. 
Le paramètre variable étant )., il sufïit d'en faire l'élimination entre les équations précédentes, 
ce qui donne pour équation du lieu demandé 

ay +■ bx n{a -i- b) 
y* — b* ay — bx 
ou bx^ -+- ay- — abia + h) = 0. 

Cette équation représente une conique à centre rapportée à ses axes. Comme B' — AC = — ub, 
cette conique est une ellipse quand les points A et B sont dans les angles (1) et (3), une hyperbole 
quand ces points sont dans les angles (2) et (4). 

Supposons, pour fixer les idées, que le point A soit au-dessus de l'axe des x. Lorsque ce point 
est dans le premier angle, a et 6 sont positifs, l'ellipse lieu a pour demi-axes des moyennes propor- 
tionnelles entre a et a + 6 d'une part, 6 et a ■+■ b d'autre part. Dans le cas où le point A est dans 
le second angle, a est négatif et b positif. Si (a + b) est positif, l'axe des y est l'axe Iransverse de 
l'hyperbole lieu et sa demi-longueur est une moyenne proportionnelle entre 6 et a -t- 6. Si (o -i- 6) 
est négatif, l'axe des x est l'axe transverse et sa demi-longueur est une moyenne proportion- 
nelle entre — a et — (a -h b). La considération de l'hyperbole conjuguée fournira sans peine 
le moyen de construire les asymptotes. 

SOLUTIO.N GKOMIÎTKIQI.E 1>V LIKU DU KOVEU DE LA l'ARABOI-E (P). 

Soit F le foyer de la parabole (P). Les diamètres de cette 
parabole étant parallèles à Ox, sa directrice est perpendicu- 
laire à cette droite. Soit IH cette directrice. 

On a FA =. AH = CI 

et FB = BK = DI, 

d'oîi FB - FA = DI - CI = DC = I 2a I . 

Le lieu du point F est une hyperbole dont les foyers sont les 
points A et B et dont l'axe transverse a pour longueur | 2rt | . 

A. T. 



y 

D 


> 


II 




^^^^^c^ 


P X 

K 


==^ B 





CONCOURS GÉNÉRAL DE M.VTIIÉMATIQUES SPÉCIALES (1890). 



Mathématiques. 

Copie couronui'c [ï" Prix). 

33. — On donne une surface du second ordre S, un point fixe A sur celte surface et une conique C située 
dans un plan P. . 

Les' Irnis droites qui jnirjneni le point A aux sommets A,. A„ X, d'un triangle T situé dans te plan P 
rencontre»! rapeclivemenl la surface S en des points a,, a,, a, autres que A. 

4° Démontrer que le plan a, a, a, passe par un point fixe M quand le triangle T se déplace dans le plan P 
en restant conjugué par rapport à la conique G. 



CONCOURS GÉNÉRAL ^7 



2° Trouver le lieu décrit par le point M quand la conique C varie en restant circonscrite à un quadri- 
latère donné, 

3" Trouver le lieu décrit par le même point M quand la conique C varie en restant inscrite dans un 
quadrilatère donné. 

Prenons pour tétraèdre de rél'éience un tétraèdre ayant pour sommet le point A et pour base un 
triangle HKL dans le plan P; les faces œ ~ 0, y = 0, z =0 concourant au point A, et la face / — 
étant le plan P. 

L'équation de la conique C rapportée au triangle HKL dans le plan P peut s'écrire 

K — ax- + a'y^ + «";" + %i/: -+- %b'zx -t- 2lj"xy = 0. 
Sou équation tangentielle s'écrit alors 

K' = ixu^ -+- a'v- + (x."w'' ■+■ ^pvw + ip'u'u + 2["i"Mr = 0, 
eu posant a = a'a" — b^, a — . . . a" — . . . 

p ^ b'b" - ab, p' = ... f ^ ... 

Soit, d'autre part, 

Ax- -h A.'y''' -h A."z'' + "2Byz -h 2B'aa; + 2B"xy -t- ^t{Cx -+- C'y + G'z/ = 
l'équation de la surface S. 

1" Soit itx + vy + u'z = l 

réqualion de l'un des plans aiU^a^. 

L'équation du cône ayant pour sommet A et pour base l'intersection de ce plan avec S, est 

(1) Aa;^ + Ay + A'z= + 'iByz + 2B'zx- + '■2B"xy + ^{ux + vy + ws)(Ca; -t- C'y + C"^) ^ 0. 

Celle même équation sera celle de l'intersection du cône considéré avec le plan P, rapportée au 
triangle HKL. 

La condition pour que l'on puisse inscrire dans cette conique (1) un triangle conjugué par rapport 
à la conique C, est qu'un certain invariant du système des équations (1) et K — soit nul. Cet iuva- 
riant, désigné souvent par (voir Salmon), s'obtient en lemplaçanl dans l'équation (1) 

-cS y-, -•>■, y^, SX, xy 
par a, a', a", p, ^', f. 

En l'égalant à 0, ou obtient 
(A+2CMja + (A'-t-2C'y)x'+(A"+2G"M;)a"+2(5(C"c +C'u; + B) + 2,6'(C"m + Qw + B'j + 2fi"(C'u + Cr + B") = 0. 

Cette relation est du premier degré entre w, v et w; elle exprime que le plan ux + vy + wz = / 
passe par un point fixe M. 

Les coordonnées de ce point fixe sont égales aux coefficients de u, v et w, et au terme indépendant 
de ces variables changé de signe; ce sont 

I Xi = 2(Ca -H C'I^' + C'p"), 

,g. 2/1 = 2iCV + G'p + Cp"), 

^'^' }2j = 2(C"a' + G' [3 + Cfi'j, 

( /^ ^ _ (Aa + A'a' + A"a" + 2B^ + 2B'(3' + 2B"jB"). 

On voit que ^, est nul, c'est-à-dire que le poiut M est situé dans le plan P, si la conique d'inter- 
section de S avec P, conique d'équation 

Ax' + k'tf + A"^'^ + 2By; -h 2B';a; + "IB'xy = 0, 
est circonscrite à un triangle conjugué par rapport à la conique C. 

Dans ce cas, le plan P est l'un des plans a, a^ a^. 



38 CONCOURS GÉNÉRA.L 



2" Supposons que la conique C varie en restant circonscrite à un quadrilatère fixe. 

Soient K, = 0, K, = les équations de deux des coniques circonscrites à ce quadrilatère; on 

aura 

K H K, -i- ),Kj et, par suite, a = a, -t- Xcj, «'=... a — 

D'autre part, a = a'a — 6% ^ — b'b" — ab, 

7.'^ ... ^'^ ... 

a- = . . . ^--^ ... 

Si l'on remplace a, a', a", . . . par les valeurs a^ + ),a,, . . . dans ces dernières égalités, puis que 
l'on substitue les valeurs de a, a', a", . . . ainsi trouvées dans les égalités (2), on voit que a;,, y,, -Sj, <, 
sont, dans ce cas, fonctions du second degré d'un paramètre variable 1, et que, par suite, le lieu du 
point M est une conique. 

3° Supposons que la conique C varie en restant inscrite à un quadrilatère fixe. Soient Ki = 0, 
Kj — les équations tangentielles de deux des coniques inscrites à ce quadrilatère. On aura 

K' s KÎ + ÀK2 et, p-ir suite, a — 7i^ -i- Ài,, a — . . . a = . . . ^ = pj 4- À[3,, |3' — . . . p" = . . . 

Si l'on substitue ces valeurs dans les égalités (2), on voit que x,, »/,, ;;i, /, sont, dans ce cas, fonc- 
tions du- premier degré d'un paramètre variable 1, et que, par suite, le lieu du point M est une droite. 

SOLUTKI.N GKOMÉTRIQUE 

1" Transformons homographiquement la figure donnée de manière que la conique C devienne le 
cercle de l'infini. Le transformé d'un trièdre ^(AjAjAj) quelconque sera un trièdre trirectangle, et 
par suite (théorème de Frégier étendu à l'espace), le transformé du plan «la^rt, passera par un point 
fixe; donc le plan Uiajn^ lui-même passe par un point fixe. 

Ce point, dans la figure transformée, est sur la normale à la surface au point A, c'est-à-dire sur 
la polaire du plan tangent en A à la surface par rapport au cône ayant pour sommet A et pour base 
le cercle de l'infini; dans la figure donnée, il sera sur la polaire du plan T tangent en A à la surface S 
par rapport au cône ayant pour sommet A et pour base C. Soient M, le point de rencontre de AM avec 
le plan P et D la droite d'intersection des plans T et P. M, est le pôle de D par rapport à C. 

2' Quand C varie en restant circonscrit à un quadrilatère fixe, Mj décrit une conique (il y a deux 
points du lieu de M, sur la droite D, ce sont les points de contact des deux coniques circonscrites au 
quadrilatère et tangentes à D). Donc AM décrit un cône du second ordre. 

D'autre part, le triangle diagonal du quadrilatère est conjugué par rapport à toutes les coniques 
du faisceau. Donc le point M reste constamment dans le plan 0,0,03 correspondant. 

Le lieu du point M sera, en conséquence, l'intersection de ce plan et de ce cône, c'est-à-dire une 
conique. 

3° Quand C varie en restant inscrit à un quadrilatère fixe. M, décrit une droite (il y a un point 
du lieu de M, sur D, c'est le point de contact de la conique inscrite au quadrilatère et tangente à D). 

Donc AM décrit un plan. — Le lieu sera l'intersection de deux plans, c'est-à-dire une droite. 

Remarque. — L'énoncé peut être modifié de la façon suivante ; 

i" Quand un plan varie en coupant constamment la surface S suivant une conique circonscrite à un 
triangle conjugué par rapport à sa section pur le cône A(C), // passe par un point fixe M; 

i?" Quand le cône A(C) se déforme en passant par quatre génératrices fixes, le point M décrit une conique; 

3" Quand le cône A(C) se déforme en restant tangent à quatre plans fixes, le point M décrit une droite. 

Gela résulte de ce que les propriétés relatives aux polaires dans la théorie des coniques sontpro- 
jectives. 

Louis Havieii (Lycée Condorcel). 



CONCOURS GÉNÉRAL 39 



NOTE 

Dans la solution géométrique de M. Ravier, il a été fait usage du théorème suivant : 

La normale en un point A d'une surface est la polaire du plan tangent en A. à cette surface, par rapport au cône qui a pour 
sommet le point A et pour base le cercle de Vinflni. 

Nous allons montrer comment on établit cette proposition. 

On sait que le plan polaire d'un point M par rapport à un cône du second degré est un plan P passant par le sommet 
S du cône ; ce plan reste invariable quand le point M se déplace sur une droite fixe passant par le sommet S ; on dit, pour 
cette raison, que la droite SM est la polaire du plan P par rapport au cône considéré. 

Étant donné un plan P et une droite SM passant l'un et l'autre par le sommet S d'un cône du second degré, il est 
facile de reconnaître si S.\l est la polaire de P. Pour cela faisons passer par SM un plan sécant quelconque, qui coupera 
le cône suivant deux génératrices SA, SB et le plan P suivant une droite SG; pour que SM soit la polaire de P, il faut et 
il suffit que les droites SC et SM soient conjuguées harmoniques par rapport à SA et SB, quel que soit le plan sécant. 
Cela résulte immédiatement de la définition de la polaire. 

Cela posé, considérons deux axes rectangulaires Ox, Oy. On sait que la condition pour que les droites représentées 
par l'équation 

A./"- + 2Bxij H- Cy- = 

soient conjuguées harmoniques par rapport aux droites définies par l'équation 

A'x» + 2B'a;j/ + C'y^ = 0, 

est AC + CA' — 2BB' = 0. 

Si le second faisceau devient le faisceau isotrope représenté par l'équation 

a;^ + y' = 0, 
c'est-à-dire, si l'on suppose B' =: 0, A' = G' = 1, 

la condition d'harmonie devient A -f- G = 0. 

Or cette condition exprime que la premier faisceau est formé de deux droites rectangulaires. 

Il résulte de là que pour exprimer que deux droites concourantes sont rectangulaires, il suffit d'exprimer qu'elles 
sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites isotropes menées par le point de concours des deux droites 
données et dans leur plan. 

Cela posé, toutes les droites isotropes menées par un point A sont sur un cône du second degré que l'on nomme le cône isotrope 
de sommet A, et que l'on peut définir comme un cône ayant pour directrice le cercle de Vinfini et pour sommet le point A. 

Cette proposition est facile à établir. En effet, considérons un plan quelconque passant par le point A. Prenons trois 
axes rectangulaires passant par ce point, le plan des .nj étant précisément le plan considéré. Il passe par le point A, dans 
le plan des xy, deux droites isotropes représentées par l'équation a:^ -t- i/- = 0. Ces droites peuvent être considérées comme 
étant situées dans le plan des xy et sur le cône représenté par l'équation 

(1) x'' + y'' + z'^ = i). 

Or on sait que si l'on remplace le système d'axes rectangulaires considéré par un autre système, également trirectangle 
et ayant même origine, l'expression x- + y'' -+- z^ reste invariable, de sorte que si {x, y, z) sont les coordonnées d'un point 
M dans le premier système, et {x, y', z') celles du même point dans le second système, on a 

,r' + y'' -i- z^ = x'- ■+- y"^ + z'-, 
d'où il résulte que l'équation x'^ -+- y'^ -i- z"' z=0 

dans le nouveau système d'axes, représente le même cône que l'équation 

x-- + y' + z' — O 
dans le premier système. Le nouveau plan des xy coupe le cône suivant deux droites isotropes. Il faut en conclure que 
tout plan passant par A coupe le cône de sommet A et représenté par l'équation (1) suivant deux droites isotropes et que 
toute droite isotrope passant par A est sur ce cône. 

Or l'équation (I) peut être également considérée comme représentant une sphère de rayon nul; cette sphère est 
coupée par le plan de l'infini, qui a, par définition, pour équation t = 0, suivant un cercle défini par les deux équations 

(2) t = 0, x^ + y'- + z^= 0. 

Considérons maintenant un point M de coordonnéesn, 6, c. Le cône isotrope de sommet M, a pour équation, en coor- 
données homogènes, 

[x — aiy + (y — btY + (3 — e()» — 0. 

Le plan de l'infini coupe donc ce cône suivant le cercle défini par les équations (2). 

Une sphère de rayon quelconque est coupée par le plan de l'infini suivant le même cercle. Eu résume, toutes les 
sphères peuvent être considérées comme ayant en commun un même cercle situé à l'infini et nommé le cercle de l'inlini; 
et en disant ces mots, on entend que si dans l'équation d'une sphère en coordonnées homogènes on pose t = 0, ou obtient 
x- -t- y^ + z'^ = 0. (Les axes étant supposés rectangulaires, pour plus de simplicité.) 

Cela posé, soit A un point d'une surface. Si par la normale AN en A on mène un plan quelconque, ce plan coupe le 
plan tangent suivant une droite AB perpendiculaire à AN. Les droites ABet AN sont conjuguées harmoniques par rapport 
aux droites isotropes menées par A dans le plan sécant, c'est-à-dire, par rapport aux génératrices du cône isotrope de 



40 CONCOURS GÉNÉRAL 



sommet A qui sont daas le plan sécant. Donc la normale AN est bien la polaire du plan tangent par rapport au cône iso- 
trope (le sommet A, c'esi-à-dirc par rapport au cône ayant pour sommet le point A et pour directrice le cercle de l'infini. 

On peut d'ailleurs vérifier très simplement la proposition par le calcul. 

Rapportons la surface à trois ases rectangulaires passant par le point A, l'axe des z étdnt la normale en A à la surface. 
Le plan polaire de l'axe des : par rapport au cône qui a pour équation 

a;" + y' -h I- = 
est représenté par l'équation i = ,ct par suite est le plan tangent en A. 




Physique. 

Copie couronnée (1" Pri.\). 

34. — Avant les mesures précises, on pouvait hésiter, pour représenter la loi de la réfraction, entre la 
formule sin i — n sia r et des formules analogues telles que i = nr, tg i = n tg r. Reprendre complètement 
la théorie du prisme en siibsliluanl ces dernières formules à la formule exacte. Reconnaître, en parliculier, si 
ta propriété du minimum de déviation subsiste toujours et déterminer le foyer du prisme. 

I. — LOI SUPPOSÉE VRAIE : / _-- nr. 

RÉFK.\CTION .\ TK.VVEKS UNE SEULE SURFACE PLA.NE 

i = 0, r := 

'^¥ ''""^i (^bO° pour n = 5j • 

Il y a doue uu angle limite comme daus la réalité: au delà de cet angle limite, les rayons sortaut 
du milieu le plus dense peuvent subir la réflexion totale. — La déviation il'uu ravon est 

•-'-■■('-,')• 

variable avec l'incidence et augmButaut avec elle. 

DÉVIATION PAU LE PHIS.ME 

Les équations du prisme, qui sont ici 

i -^ nr, i' — nr', r + r' = A, A = z + i' — A, 
(A étant l'angle ilu prisme), donnent immédiatement 

A =. (n - 1)A. 
Fait caractéristique de celte loi : la déviation est une constante quelle que soit l'incidence. 
La condition d'émergence à la seconde face est 



»"'<?;- ou /• > A — -— . 

27J 2h 



ce qui donne 



(1) i^wA--. 

Donc, pour uu point I, les rayons émergents sont : 

A avec A — 0, le faisceau entier, d'ouverture AIM ; 



\ : A 



avec A -= ^^, le faisceau NIM ; 
in 



^, j f^\ avec A — -, le rayon MI seul. 

/M \ Pour A > -, le prisme est donc à réflexion tolale. quelle que soit l'inci- 

n 

d iice. — Pour n - - -» cela dounc A "=120°, angli» plus grand (jue daus la léalilé (80"). 



CONCOURS GÉNÉRAL 



41 



Foyer du prisme. 
Considérons d'abord les ligues focales d'un point par rapport à une seule surface. 
Première ligne focale. — Donnée par les rayons do même incidence. Posons PA = d, P'A = d'. 

On trouve d ~ d -^^-. — d -^ — • 

tg i tg nr 

Si les rayons tombent presque normalement, r étant très petit, on peut 
prendre 

d 




D'autre part, on a 



(1) 



dr^ 



lA 
sin i 

lA 
sinr 



Deuxième ligne focale. — Considérons deux rayons d'incidence voisine PIQ, PI'Q'. Soient r, i, 
dr , i + di les angles correspondants. La figure donne 

IK = IP' siu (di) = ir cos {i + di) , 
IL = IP sin (dr) = II' cos (?• + dr), 
d'où, en passant à la limite, 

IP' cos i dr 1 cos i 
IP cosr di n cosr 
Posons IP'-=Pi, IP -^ p. 

^^ p cos i ^ p cos nr 

n cosr n cos r 
Un point donne donc deux lignes focales situées à des distances différentes du point d'incidence. 
Passons maintenant au prisme. — Considérons seulement des rayons qui, partis de P, tombent 
très près du sommet A, de façon qu'on puisse négliger le trajet dans le verre. 

Première ligne focale. — Avec les notations usuelles indiquées sur la 
figure, et n étant l'indice du verre, la première face donne un point P' tel 

sin / 
que » - » - — ; 

'■ "^ sin r 

La deuxième face remplace ce point P' par P" : 











Q, 


Q^ 








I 


Kl' 


i*Jx^^ 


==- 






■'i. 


K^'>^ 


"^^ 








-/yc 






p 


.^ 










(1) 



^v 



sin i sin r 

) 

siu r sm i' 



Deuxième ligne focale. — La première face donne une image à la distance p^— pn 

La deuxième face la remplace par I*,, défini par p, = p, - ou enfiu 

n cos r 



(2) 



= p 



cos r cos t 
cos i cosr' 



Comparons les distances des ligues focales (1) et (2). Eu général - ~ 



sin 2i sin 2r' 



sin 2/' siu 2/' 
Ce rapport dépend de l'angle i, excepté dans le cas oh i — i'. 

On a alors p" = p^. Les deux lignes focales se croisent ; il en résulte un point qui forme la partie 

la plus lumineuse de la caustique : c'est le foijer du prisme. 



42 



CONCOURS GÉNÉRAL 



On peut encore examiner quelques cas particuliers, et faire varier i entre les limites ^^ et nA 



P"=— P 



Pj = » . 



sin -3- cos nA 
an 



i — 0; 



i =: nA - 



P =P 



n sin A 



cos nA 



sin nA 

cos nA sin -^ 
zn 
P 



P> = 0- 



Le produit des valeurs limites de p" est fi'. Les lignes focales sont toujours virtuelles. 



N. B. — Dans le cas usuel, A : 



n : 



2n 



3 



nA : 



= 0. 




tendre A ^ = s vers 0, on voit que pour la première 

zn 

,j 1 sin £ 

. u sm iiî 

1 1 4p 

qui, à la limite, devient n" = + p -: — -— •- = — ;^' 
siu 60» n 3^/3 

La deuxième est p" =; + p -^ > confondue d'ailleurs avec celle que donne i = 0. 
4 
On peut se rendre compte de la variation de p" et de p, au moyen de la courbe ci-contre relative à ce cas. 

II. — LOI SUPPOSÉE VRAIE : tg.i ^ n tg r. 

RÉFRACTION X TRAVERS UNE SURFACE PLANE UNIQUE 

Pour / - , r -O et A = . Pour » — s > '" ^ s : 'e rayon rasant n'est pas non plus 

dévié. — Au retour, pas d'angle limite, puisque, quel que soit r, on trouve toujours une valeur de ». 
Ainsi donc, première caractéristique : pas de réflexion totale par une seule surface 

tg i =: n tg r, 
à — i — r. 



Posons 



et cherchons le maximum de A. On trouve facilement qu'il est réalisé pour tg / — \/ n (soil, pour 
rindice ^. i — oO"). — C'est une deuxième caractéristique. 

Image donnée par une seule surface. — Il y a ici image nette. En effet, uu rajon quelconque PI passe 
après réfraction par le point P' tel que PN = nP'N, 
car ou a NI ^ P'N tgi = PN tg r, nP'N u:. PX. 

— -■ Un point lumineux P donne donc ici une image véritable P'. 

ÉTUDE DE LA DÉVIATION PAU LE PRISME 

Limite d'incidence. — Il n'y a pas de réflexion totale possible. Mais comme 
les rayons doivent rencontrer la deuxième face, on a la condition unique 

r < - d ou r > A — ;; 




(1) 



tg i > — rt cotg A. 



CONCOURS GENERAL 43 



Déviation. — Les équations du prisme 

di' rf5 

di di 

A = i + /' — A \ \dr dr' 

,0, j /■+/■= A f , ^ ,.„, . . dt di 

(2) < . , > donnent par diflerentiation < , , 

' tg I = rt tg r l \ l n dr 

te; i' — nia^ r' ] J eos^ i eos* )• di 

1 de' n dr' 



ces''' »' di cos^ /■' ai 

ûi- • i 'i^' ^7-' i/r 
Eliminant -— > -rr » -t. > on trouve 

ai di di 

do cosM'.cos^r (?i" - l)(te;*i' — tg'' j) 



di cos* r'.cos'' i (1 + tg* /•)(! + tg^ i') 

Cette dérivée ne s'annule que pour ? = 21 i'. La solution i = — i' est à rejeter, comme entraînant 
A — 0. Donc une seule solution : i — i'. 

Pour voir s'il y a maximum ou minimum, prenons la dérivée seconde; en tenant compte des 
équations aux dérivées premières, on trouve aisément 
d«S 2 cos i' cos'^ /• 



di* n cos' ?•' cos' i 
qui devient, pour i = i'. 



[cos r cos i' sin (/• + /•') — n cos i cos r' sin (i + i')]. 



d»8 2(sm A — n sin 2î) ,, , . d«3 'He r{\ — n^) 

= : que 1 on peut écrire -7^ = — s 

di* n cos* î de* n(l + tg* ?■) 

Cette expression a le signe de (i — n*). 

Donc si n>1, \\ y & maximum de déviation, 

si w < 1. il y a minimum de déviation; mais 3 < 0, c'est-à-dire qu'il y a maximum de la 

valeur absolue de 0. 

C'est le contraire qui a lieu avec la loi des sinus. Ce serait là une troisième caractéristique de la 

loi étudiée. 

Foyer du prisme. 

Ou a vu plus haut que tous les rayons partis d'un point P se comportent à l'intérieur du prisme 
comme s'ils venaient exactement du point P' tel que 

P'M =-_; ?iPM. 

En repassant dans l'air, tous ces rayons se comporteront comme s'ils venaient de Pi défini par 

P.N .= - P'N. 
n 
Ou voit sur la figure que 

P'M P'N sin S 

P'S=: = ^—, d'où P'N=nPM^ — ^, 

sin a. sin p siu a 

et P.N = PM ^^ ■ 

sin a 

P. Caltaux, 
Élève du lycée Louis-le-Grand (M. L educ, professeur). 

On rumarquera que non seulement le prisme serait, dans cette hypothèse, un instrument aplanétique, mais que les 
images de diverses couleurs d'uu point P se trouvent à une même distance de la l'ace de sortie, car P.N est indépendant 
de l'indice. 




44 CONCOURS GÉNËKAL 



On verrait donc un spectre net (c'est-à-dire dont toutes les couleurs seraient simultanément au point) en disposant la 
lunette du spectroscope normalement à la face de sortie, quelle qu<3 soit la position de la fente 

Considérons maintenant un pinceau lumineux traversant le prismiau voisinage du sommet, et désignons comme 
plus haut par p, p', p" les distances du point et des images au prisme, comptées sur les rayons. 

, .„ , , sin i „ , sin r' sin »•' sin i 

On a P ~ P -. ;/ = p ■ = p 

sin /• '^ sin t' sin «' sin r 

On voit de suite que pour ; = i' (maximum de déviation) on a p" = p. 

Le spectre serait donc encore vu nettement si l'appareil était disposé de façon que t = / '. 

On peut se proposer d'examiner les variations de p". On trouve que 

(p"\i 1 
~) ~ W '-'"' "^ ^^' ~ '"" ~ ^'' *^°^ "■■^ ^ "*"' ~ '' *'"' ^ '^°* "' ~ ""*"' ~ ''* *'"' ■^■'^'° ^'■-l 
On remarque les valeurs particulières : 

- /p"\- . «5 — 1 . 

l'our i — -■> (— ) =1 sin^A; 

2 \p) ie 

— i^O, /-j-^l+ (n= - 1) sin= A. 

Si, de plus, A = - , cette dernière incidence devient incidence limite et l'on a simplement 

î = - > »" ^ - > 

2 f! 

; — , p" =: pn. 



(p"\2 
— I par rapport à 2i est 



<?)■ 



1 

— [(n* — 1) sin= A sin 2i + n{n- — 1) sin 2A cos 2i] ; 



elle s'annule pour 



Cette équation est satisfaite pour deux valeurs de i, comprises entre — - et+ -• 

Soit a le plus petit angle en valeur absolue, tel que 

tg 2x = r , cote A. 

n" + 1 

On a les deux solutions (directions rectangulaires) 
i, = a ) 



:,' = a + 



7t > si colg A > 0, c'est-à-dire si A < 



La dérivée seconde est 



11 > si colg A < 0, c'est-k-dire si A > -• 
\l' ) (»*" — 1) sin A r , /, —, — r-T'. r^i 

w ^ ^ — i — ^ - ^^" ~ '' "° "" '^ '" '■ 

Le signe du radical est celui que l'on a dû prendre dans l'expression 

— 2n cos A 



sin 2i, = 



■ v/(7i' — 1)» sin' A -t- 4n' 

Le signe -t- convient pour la valeur désignée par ci, le signe — pour (a +7) ou lu — -)• 

Soit que ^ "^ 9 {^<i^% A > 0, a < 0), 

ou que ^ > T) (co'K a < 0, a > 0). 

la valeur a correspond toujours au maximum de — . 11 y a minimum pour l'autre valeur. 
11 reste à savoir si ce maximum et ce minimum existent physiquement. 



ALGEBRE 



43 



Soit «2 l'incidence limite; on a 



tg 2t, 



— 2iî cotg A 



1 — n ' cotg' A 
En comparant cette valeur à celles qui précèdent on voit que : 

Si A < -, les deux valeurs a et a + ^',sont>ij, c'est-à-dire que le maximum et le minimum existent physiquement; 

Si A > -, il n'y a au contraire ni maximun ni minimum. 



Pour A == ^ , jj =: i, ^ ; le maximum et le minimum s'éva- 
nouissent simultanément : la courbe coupe orthogonalement les ordonnées 
corrrespondanl à et ^". 

Les courbes ci-contre concernent les cas de 
- 3 




A 



et 



( Maximum de déviation 31° 51' 

\ Incidence limite — 56* 18' 

'' \ Maximum de p" i, ^= — 21° 21' 

( Minimum î',' = + 68° 39'. 

iV. B. — Chacun des faits caractéristiques rencontrés dans U discussion aurait suffi à 
faire rejeter a itriori les deux lois que nous avons examinées : de là une confirmation de la loi de Descartes. 

(A. Leduc.) 



ALGEBRE 



8. — Dthnontrer i identité 

x" - Ci(x - 1)° + C;(x - 2)" -I- ... 4- (- 1)" GS(x - n)" =: n ! 

Considérons la fonction /"(«) ^ u"; donnons à u les valeurs de la suite 
X — n. X — n ->r \, . . . , X — [. x; 
f(ii) prend /) -+- l valeurs dont la différence «'"'- est donnée par la formule 

A„/Tm) ^ x" - Cl(a; - 1)" -h G'i{x - 2)" - ... -+- {- li" Ci; (x - n)". 
Comme d'autre part la différence )!""= de m" est «!. la formule est établie. 

H. DE MONTILLE. 

9. — Démontrer l'identité 

xi' - C^(x - !)'■ + C^(x - 2)" -*-...+ (- 1)" C;;(x - n)'' = 0. 
en supposant p < n. 

Considérons la fonction f(u) = it''. et donnons à u les valeurs de la suite 
X — n, X — n + i, . . . . x\ 
la différence n"" des n + { valeurs que prend /(m) a pour expression 

a;" - Cl{x - 1)'' H Gl(x - 2i'' - . . . -i- ( - 1)" Clix - n)''; 
mais la différence h™" de u'' est nulle, puisque /) < n: l'identité est donc démontrée. — Cette formule 
s'obtient aussi en dérivant n — p f lis les deux membres de l'i ieutité du n" <S. 

II. DE MONTILLE. 



Ont cnvoyii des solulions analogues (questions n°' 8 et U) : MM. J.-G. Darboux et I!\ndo\. élèves du lycée Louis-le-Giand ; Perrée (lyc<!e 
Condorcet). 



46 QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



Un abonné établit la première identité sans s'appuyer sur la théorie des ditfe'rences. En désignant le premier membre 
par F{x, n) il démontre, d'abord que F{x, n) ■= - F^m-, n) + nF(x — 1, h — 1); ensuite il montre que F^(a-, n) = 0, de 
sorte que F{x. n) est indépendant de x, et par consiSquent on peut écrire F(n) ~ nF(n — 1) et en remarquant que 
F(i) =: 1, on en conclut, comme dans la théorie des permutations : F(n) = n! 

10. — Résoudre l'équalion 

x' — 2ax' — (m-' — 2a»)x' + 2ain»x — a'm" — 0. 

Soit f{x) le premier membre de ceti e équation. Ordonnons — f{x) suivant les puissances croissantes 
et extrayons la racine carrée. Nous aurons 

— flx) ^ (am — mx '■ x^Y — I + 1 x' = 0. 

m L"î J 

L'équation proposée peut donc s'écrire 

(a' + »n*ja;' — [am* — m^x — ax^]* = 

ou encore [(\/a* + m' — a)x' — m'x + am'][{\/a' 4- m* + a)x^ + m'x — a?ft'] = 0. 

Les racines de l'équation proposée sont donc les racines des deux équations 



(1) (\/a' -H m= — a)x* — m'x + am» = 0, 

(2) (v/a» + m' + a)a;» + m'^x — am'' ^ 0. 

Si l'on suppose a positif, l'équation (2) a ses racines réelles et désignes contraires; iiour que 

l'équation (1) ait ses racines réelles, il faut supposer m > 2a\/2. Ces conclusions sont renversées si 

l'on suppose a négatif. 

J.-G. Darboux, élève du lycée Louis-lo-Grand. 

[Autres bonnes solutions : MM. Ualdiun (lycée de Itouenj, iundon (Louis-le-Grand|, Teilhbt (a Saint-Éliennej.; 



QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS ORAUX 



Ecole polytechnique (1890). 
I. — Algèbrk. 

1. — Étudier les séries dont les termes généraux sont : 

'•n + b 

- e . ne , (—-Ha;) sin — , siu na, sin - . 

n W / n" n 

_ „ , , . V^ *n — 3 

2. -- Sommer la série > • 

1 

3. — Calculer à près sin 11» et sin 11". Comparer les deux développements. 

4. — Calculer à ——— près les séries > ■; — -, > . .. , 7- 

1000 ^ 1.2. ...(» — 1) n' ^J l. 3. 5. ... (2» + 1) 

"pin -1-1) 
B. — Étudier la série «^ — x" ij -=— , a; •< 1 < ^, p étant le nombre des chiffres de n. 

6. — Dérivée de la fonction y définie par l'équiilion e """" — m arclg -• 

X 

i 
7. —Dérivée «'• de chacune des fonctions ^^ , \/l -h a;', e-, c""', 6*^0;'" . Pour cnacune de ces deux 

V'I --.X' 

dernières fondions on voit apparaître un polynôme entier P(a:); prouver que P(a;) :^ a toutes ses racines réelles. 



QUESTIONS PROPOSEES 



47 



8. — Limite de e" , a; étant le nombre de chifires de y supposé entier, quand y augmente indéfiniment. 

9. — :f{x) étant une fonction qui croît indéfiniment avec x, démontrer que si ç[x + 1) — !f{x) a une limite, 
a la même limite. 



î(a;l 



10. —Résoudre les équations : i' — 1 = 0, a,'« — 2a;'° -2.c= + l=0, 2a: — a;^ — j+l =0, 12x'+4a;^ + 3a; + I=0, 
x3 — 5x' + 8a; — 11 = 0. 

11. — Discuter les racines de l'équation a' + Sax- + 3fi=a: + 8 = 0, quand le point (a, p) se déplace dans le plan. 

x,x, 98 



12. — Résoudre 18a;= — Ubx- — ' 



245 = 0, sachant que x,, x.^, a-j sont liées par la relation 



x^ 45 



13. — Nombre des racines réelles de l'équation 



14. — Démontrer que les fonctions A 



1 - ), 4 

2 — X 2>, 
4 2)i S + 4). 

A ^ S B' B' I 

B" A.' - S B 

B' B A" — S 



A| = 1 jouissent des propriétés des fonctions de Sturm. 

15. — Nombre maximum des racines réelles de l'équation 

a;' + bx' + ca; + d ^ 0. 



'■H^B-' ..".sl.'-A-S, 



(.1 suivre.) 



QUESTIONS PROPOSÉES 



35. — Le déterminant principal déduit du tableau des éléments d'un déterminant symétrique 

gauche est de degré pair. 

(Emile BoREL.) 

36. — Étant donnée une série positive convergente 

Mj, «2, . . . u„, 

on peut toujours trouver des entiers croissant indéfiniment 

Pl^P2, ■■. Pn. ... 
tels qu en posant 

l'j = M, + M, + . . . + Mp,, V, = Mp, + i + Mp, + 2 + . . . + Mp,, ... Vn ^ 'î'p„_i + 1+ ■ • • Mp„ , 

v„+^=Up^+, +Up^+î+ ... -^-Up^^^, . . 
on ait, du moins à partir d'une valeur convenable de n, 

Vn 

A: étant un nombre positif arbitraire, mais moindre que 1. 

(E. Weyr.) 

37. — On sait que si, quand n croît indéfiniment, — — a une limite, \/un a la même limite 
(m„ étant supposé positif quel que soit l'entier n). Démontrer que si jV^ a une limite X, et si, en outre, 
enposant/wn = X + a„, le rapport Jja„ a une limite finie etdéterminée quand ?» croit indéfiniment, dans 
ce cas, -^ a aussi pour limite X quand n croit indéfiniment. 

Un 



Appliquer la règle précédente à la série 1, a, ab, a'b, a'^b'', . . . a"b'\ «"+'6", 



(BOURLET.) 



48 



QUESTIONS PROPOSÉES 



38. — En désignant par )-„ la partie entière de lo£;,on. étudier la série dontle terme général est 

I 
u„ a "li^ " " . eu supposant < a < I • h. 

Montrer que la série est convergente et qu'il y a une infinité de valeurs de n pour lesquelles 

— peut dépasser un nombri' donné d'avance, quelqu<' grand qu'il soit. 

(Lerch, Journal de Teixeira.) 
Appliquer à l'exemple précédent la règle lie M. Bourlel. 

39. — Étudier la série dont le terme général ii„ - - a"~i'b''\ (0 < a < 1 < 6), p étant le nombre des 

chiffres de n. 

f\ouveltes Annales de Malhémaliques.) 

40. — On donne n points dans un plan; par cinq de ces points ou fait passer des coniques de 
toutes les faeons possibles; trouver le nombre tlos points de rencontre de ces coniques, autres que 
les n points donnés. 

*41. — SoitABCDuu ([uadrilatére inscriptible; soit E le point de concours îles côtés opposés AB. DG 

el soit F le point de concours des côtés AD, BC; on prend sur EA, EG = AB et surED, EH ^ CD. 

Démontrer que GH est le double de la droite qui joint les milieux des diagonales AC, BD et 

t' nue EF est tangente au cercle circoncrit au triangle EGIl. 

(R. W. Genèse.) 

*42. — Trois sommets d'un quadrilatère sont fixes, le quatrième décrit une droite. Trouver le lieu 

du centre de gravité du quadrilatère. 

(D' GuNTSCHE, à Brcslau.) 

43. — Lieu duceutre de gravité d'un triangle équilatéralinscritou circonscrit à une conique donnée. 

44. — L'aire latérale d'un cône de révolution limité par une section 

elliptique a pour mesure — -. 1 S désignant l'aire de la base, s. l'angle 

^ ' ^ sma ^ ' . s 

que fait son plan avec l'axe du cône et ■>. le demi-angle d'ouverture du cône. 

(V. Jamkt, professeur au lycée de Marseille.) 

45. — Un appareil à eau de Seltz (système D. Fèvre) est formé de 
deux vases A et B. Soit a le volume du récipient A, et b celui du récipient 
B. On demande quel poiils minimum de bicarbonate de soude il faudra 
employer pour que le litiuide s'écoule tle l'appareil très lentement et com- 
plètement. 

On donne le coeflicient de solubilité c de l'acide carbonique à la 
température de l'appareil. Cas particulier: c~ \ (coeflicient à 15°). 

Examiner ce qui se proluit ([uanil Iv rapport - est négligeable. On 

prendra particulièrement a — ;ï litres, b = 1/2 litre, h — 34"", la pression 

étant de "•)'"' et la température de 15". 

(A. Leduc, professeur au lycée Louis-le-Grand.) 

ERRATA du n" i. — Pajçe 27, avanl-deruiére ligne : au lieu de g'' + q' = 1, lire pf + q' — l. — Page 28, ligne 10 
en remontant : au lieu de a''x' + a'i/' — «'5* = 0, lire fx' -t- aV — «'''" = 0. — Page 29, 6« ligne : le coefficient de 
Y — (3 est — pa*6' el le terme constant — a'b'la' ■+- b'}; — 10' ligne : réquation du cercle est (X — a)* H- (Y — fi]' 

t'a 
H (X — a) -4- p(Y — p] = 0; — 4- ligne en remontant, lire : a'ia' — p')' + 5(4p' -t- 27?) = 0. 




Le lii'diicteur ■Gérant : H. VUIBKRT. 



I MAIS. — iimiii-n-iFo. 



Ire Année. N" 4. Janvier 1891. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



ALGEBRE 



11. — Séparer les racines de l'équation 

2x(x + 4j - 6"""^ = , ■ " 

suivant les différentes valeurs du paramétre a. 

Après avoir exclu l'intervalle (— 4, 0) auquel n'appartient évideumient aucune racine réelle, 
prenons les losfaritlimes nép ériens des deux membres de l'équation 













e '■■ 


= 2a;(a;4-4), 










ce qui donne 










x'- 


= L.2.x 


\x + 4 


)- 








équation équivalente 


à 


l'équa 


tion 


donnée; et 


soit 
















f{x) : 


X' 


— \j.x[x + 4) — 


L.2 = 


0. 








d'où 




f'ix) : 


X 


1 


1 


(cc- 


A ,t.n 


+ 




-+- 


6) 







f{x) et f\x) sont discontinues pour j: = — 4 et j; = 0; mais nous pouvons appliquer le théoième 
de Rolle dans les intervalles (— co, — 4 — s) et (+£, + »),£ étant un nombre positif, aussi petit 
que l'on veut. 

f'ix) ne s'annule, en dehors de l'intervalle (— 4, 0), que pour x — — \/3{l + \/3) et pour x = 2. 

Substituons donc à x, dans f{x), la suite 

- oo , _ y/3(i + ^/3) , - 4 - £ I + £ , + 2 , + X . 



[1 L.x(x+' 

(x) = « - L ^2 + x^ -^ 

^ ' LtJ x{x -h 4j 



Ecrivons : /(or) = « — L 2 + x^ \ -, — 



f{±) = a-iAAi-\\^a-'tà, — B=L24 



L.x{x + ^t^ ,■ ■ ^ , ,..,,. 

— ■ ; — a pour limite 0, quand x grandit indehnimenl; donc /{± x) — + x . 

x{x 4-4) 

/■( — 4 — e) el /'( + e) sont positifs; 

enlin /[ - v/3(l + \/3)] = a- (L4v/3 - â- \/3) =a- A, en posant A = L4v/3 -2- v/3. 

3" 

On aura donc le tableau suivant des signes de substitution : 

X I - X - \/3(l -n v/3i - 4 - £ I + : +2 + X 

f{x) I + a — A. + I + a — 13 + 

On voit aisément que A < <B. Nous distinguerons donc les cas suivants : 
1" a < A. a — A et a — B sont négatifs; on a quatre racines réelles, une dans chaque intervalle. 
'iL°a~X. 7"/'ot.v racines réelles, dont une est égale à — \/3(l + \/3) et une dans chacun des intervalles 
(+£,2), (-2, -hX). 



50 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



IS» A < a < B. Deux racines réelles et positives, l'une plus petite que 2, l'autre plus grande que 2. 

4» a = B. Une seule racine réelle, égale à 2. 

S" rt > B. Pas de raciue réelle. 

(H. de MoNTiLLE, lycée Louis-le-Grand.) 

26. — Trouver la somme des produits p à p de m termes consécutifs d'une progressioii géométrique. 

Soit a le premier terme, q la raison delà progression, Sp la somme des produits /j à j5. Considérons 
le produit 

(i) /(ce) — (X + a)(x -¥-aq) ... {x + aq"'~*) 

= a;*" -f- Aj x"^* + . . . + ApX""-»" + . . . + A,„ . 
Nous aurons Sp = Ap. 

Mais on a 

(2) 9"7'(-) — {-^ + 09)(^ -+- «9^) • • • (-ï + '^9'") 

= a;™ + Ai7x"'-' + ÂiC/'x'^^ + . . . + A,,q''x"'-'' + . . . + Am(/'". 

Mais, d'après les égalités (1) et (2), 

„ /a; \ ,, A' + ao"' 

\qj X + a 

Ou aura donc 

(.r -f- fl)[.i:"' -+- A,(/.f"'-' + . . . -f- Ap_i(/''-'.7'"— '' + ' + k^q''X'"^P + . . . + A„/y"'] 

E (.c + aq"'][x'" +- A,a;'"^' + . . . + A,,_ia;'"-''+' + Apj,-"'-'' + . . . + A,,,]. 
Egalons les coefficients de a;"'"'"^' ; nous aurons 

.\i,q'' + A,,_,oq''-' = Ap + Ap_i(77"', 

1 _ o'"-P+' 
d'où Ap = aç''-' — — Ap_4 : 

1 _ gm-,. + 2 

de même A„_, = aqi'-^ — — r-A.,,_2, 

1 — f/''"' 

1 - </•" 



A, = a 



^ -9 
d oîi, en multipliant membre a membre, 

A _ „ '-^ (l-r;'-)(i -,;"-') ... (1 - ^".-.t.) _ 

(1 - o"')(i - rr-n ... (1-0 '"-P+') ?!i^^ 
par suite, S„ == ^ / '^ . ^ ^-^ \ ;^ ^ a^q ^ • 

(E. Baudr-vn, lycée de Rouen/ 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



14. — a et h dé.ùi/nant les coordonnées rectangulaires d'un point, quelle est, pour chaque position du point, 
la nature des racines de l'équation 

f{t) = 3t' + 8al' - 12bl^ -t- 4b = 0? 
On construira en particulier le lieu des positions du point M pour lesquelles l'équation admet une racine 

double, en calculant les coordonnées d'un point du lieu en fonction de cette racine. 

(École Kormale. ISSi.) 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



51 



Remarquons que si l'on j considère a el b comme des coordonnées courantes, l'équation proposée 
représente une droite. Cette droite enveloppe une certaine courbe de quatrième classe que nous dési- 
gnerons par C. Le problème proposé se ramène à celui-ci : 

Étant donnée la courbe G, étudier quelle e-H, pour chaque point du plan, la nature des tangentes à la 
courbe G issues de ce point . 

Pour résoudre la question, nous allons d'abord construire la courbe G. On obtiendrait son équation 
en éliminant t entre les équations 

f(l) = 3l' -^ 8aP - 1-26P 4- 46 = 0, 

^ f\t) = V + 'iaf - ibt = 0. 

Mais au lieu de faire cette élimination, il est préférable de résoudre les équations qui précèdent 
par rapport à a elb. On trouve ainsi 

_ <(3/' - 2) _ <' 

''" 4(1 - t'} ' ' " 4(1 - t')' 

Ces équations expriment les coordonnées d'un point de la courbe G eu fonction rationnelle d'un 
paramètre. Gette courbe est donc unicursale et du quatrième degré. 

Elle e^t symétrique par rapport à Oy, car, si l'ou change t en — I, 6 ne change pas et a change 
de signe. 

Il nous suffira donc de faire varier / par valeurs positives; nous obtiendrons une moitié de la 
courbe, et nous en déduirons le reste par symétrie. 

Pour étudier les variations de a et b, prenons leurs dérivées par rapport à t : 
da _ i2 - /'');:j/'- 1) db _ <^|2 - f) _ 

di~ 4(1 - C'Y ' rff~ 2(1 -««)»' 

db '2.1' 



d'où 



da 3/* - 1 
On aura donc le tableau de variation suivant. 



t 





croit 


n/^ 


croît 


sJl 


croît 


1-e 


1+E 


croît 


v/-2 


croît 


+ CO 


da 
dt 




- 







4- 








+ 





- 




db 
dt 


-1- 




+ 





- 




a 





décroit 


v'3.. ^ 


croît 





croit 


-hX' 


— 50 


croit 


— v/^ (max.) 


décroit 


-30 


b 





croît 


1 


croît 


1 

■6 


croît 


H-OO 


— yo 


croît 


— 1 (nia\.) 


décroit 


— 30 


db 
(la 




- 


— 00 


+ 30 


-t- 


4 /2 

s Vf, 


+ 


1 


1 


+ 


4v/2 




-t- 





De la variation de a nt de b. ou de luit la forme de la courbe; la tangente en chaque point est 

db . i V-^ J_\ 

donnée par la valeur de — . La courbe est tangente à l'origine à l'axe des x\ au point AI ^< ^4/ 



la tangente est parallèle à Oj/; la courbe rencontre 0// au point B (0, - j. Le point D ( — V -. -~ ''; 



est 



Si 



GEUMKTHIE AN A LYTIOUE 



uu point de rebroussement; on reconnaît que c'est un rebroussemenl de première espèce, en calculant 
en fonction de / le coefficient angulaire de la droite qui joint le point D à un point voisin de la courbe. 
Ou constate que ce coefficient angulaire varie dans le même sens quand l varie de \/'i — £ à \/2 + e. 




Cherchons maintenant si les branches infinies ont des asymptotes 

Pour t = 1, a et 6 sont infinis. 

b <» 
Or - = ^r::^ -; pour / — 1, 



De plus, 
pijur l — i, 



3^» 



a — 



'-^^. 



i» _ icM^ _ 2) lit' - 2t - 2) 



b - a 



4(1 - t") ~ - 4(< + 1) ' 
3 
8" 

Cette branche de courbe a donc pour asymptote 2/ = x' + ^ • 

o 

Pour avoir la position de la courbe, je calcule 

_ 3 _ Hf' - tl - 2) _ 3 _ - (< - 1)(2<' - 2< - 3) 

~ " ~ 8 ~ - 4(/ -4- 1) 8 ~ 8(( + 1) 

Le second membre est négatif pour / = 1 — e, positif pour t = i + e, d'où la position do la courbe. 

Eu outre cette asymptote reucontic la courbe en deux points correspondant aux valeurs do l, 

racines de l'équation 

2/' _ 2< _ 3 ^ 0. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE S3 



Quant < est infini, « et 6 sont infinis, et comme le rappoit - ebt également infini, la branche de 
courbe est parabolique dans la direction 0^. 

On reconnaît en outre que la courbe n'a pas de points d'inflexion proprement dits eu résolvant 
l'équation 

(la d^b db d'à 
c/l'lF' ~ dt'lp ^ ' 
qui se réduit à t''{t' — 2)* = 0. 

Achevant la courbe par symétrie, on voit que le point B est un point double; on a deux points de 
rebroussement D et D'. et deux asymptotes. 

En appliquant la formule de Pliicker, on reconnaît que cette courbe du quatrième degré est do 
quatrième classe. 

La courbe G étant ainsi construite, il reste à distinguer la nature des tangentes à cette courbe 
issues d'un point M, suivant la région dans laquelle se trouve le point M. Le nombre des tangentes 
réelles sera celui des racines réelles de l'équation /(/) = 0. 

Le problème étant posé de cette manière, il est évident que la courbe G séparera les régions à 
distinguer dans le plan. Prenons en efTet un point F voisin de la courbe; menons les tangentes PQ et 
PR. Lorsque P se rapproche de la courbe, ces tangentes tendent à se confondre, 
et se confondent au moment où P vient sur la courbe. Si le point P vient ensuite 
en P', les deux tangentes deviennent imaginaires. Deux des racines de l'équation 
qui étaient d'abord réelles se sont confondues, puis sont devenues imaginaires. 
Ge raisonnement ne serait en défaut que si la courbe avait des points d'inflexion, 
et nous avons montré qu'elle n'en avait pas. 

Plaçons le point M {a, b) sur l'axe Oy et soient 0, — 1 ses coordonnées. L'équa- 
tion /'(/) = devient 

.3/'+ m'~ 4 = 0. 

Elle a deux racines réelles et deux racines imaginaires. Donc du point M, ou de tout point de la 
région numérotée 2 sur la figure, on ne peut mener que deux tangentes réelles à la courbe. Alors de 
tout point de la région numérotée 4, partiront quatre tangentes à la courbe, réelles toutes les quatre. 
Au contraire de tout point de la région couverte de hachures, on ne pourra mener aucune tangente 
réelle à la courbe. 

Il y a plusieurs cas particuliers à examiner. Si le point est sur la courbe G, deux tangentes sont 
confondues; en D et en D', trois tangentes sont confondues avec la tangente de rebroussement. Au 
point B. on a deux tangentes comptant chacune pour deux. 

Enfin, si le point est sur l'axe des x, il ne part de ce point que deux tangentes, l'axe lui-même qui 
compte pour trois, et une deuxième tangente variable; comme cas plus particulier encore, si le point 
(a, b) est à l'origine, les quatre tangentes sont confondues avec Ox. 

En résumé : 

Quand le point se trouve : L'équation a : 

dans les régions 4. quatre racines réelles; 

dans les régions 2, deux racines réelles et deux imaginaires; 

portion entourant la boucle, une racine double réelle et deux imaginaires; 

autres portions, une racine double réelle et deux racines simples réelles; 

en D, D' ou sur Ox, une racine triple et une racine simple réelles; 

au point B, deux racines doubles réelles; 

à l'origine, une racine quadruple. 

J.-G. Darbol'x, élève du lycée Louis-le-Grand. 




sur la courbe G 



o4 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Remakqle. — Prenons la polaire réciproque de la courbe G par rapport à l'ellipse 

Sa' + 46» = 8. 
En identifiant l'équation f{t) — avec l'équation 

Sax ■+■ iby = 3 
de la polaire d'un point (x, y) par rapport à l'ellipse, on obtient 

V -=— ^— = :ii 

l' 1 - :M- /' ' 

ce qui donne y = 3x* — x', 

courbe facile à construire. 

Il y a deux points d'inllexion donnés par 

l'équation 

y" ^G(l -"2a;°-) = 0, 

une tangente double parallèle à Ox 


Le point à l'intini sur 0^ est ua poiut triple et 
la droite de l'infini est tangente triple. 

Ce sont d'ailleurs les seules singularités. On 

peut déduire de là la forme et les singularités de 

la courbe transformée, c'esl-à-dirc de la courbe G. 

Emile BoREL. 

17. — Lieu du centre d'une hyperbole équilatère de grandeur donnée qui passe par deux points fixes. 

Soit 1d la distance des deux points; prenons pour axe des x la droite qui joint ces points, et pour 
axe des y une perpendiculaire au milieu. 

L'équation générale des hyperboles équilatères passant par les deux points est 

a-» + 2À.ry — y- + -ai/ — d'' — 0. 
Écrivons qu'elle est de grandeur donnée, c'est-à-dire que son demi-axe transverse est égal à a. 




Oii aura 



A 



S = v/1 + >' 

y étant l'ordonnée du centre: donc 



' et 

((xy - d>) 



-=i^y-d\ 



1 



Prenons n-.aintenant les équations du centre : 

(2) x + ly = U, 

(3) Àx — ;/ -(- .u " 0. 
Éliminant À et u entre (1), ("2), (3), on aura l'équation du lieu. 

On tire aisément X et (x de (2) et (3); en transportant dans (1), on a l'équatiou du sixième degré 

.V»[rf' - (x» -I- t/«)]> ^ a'(x' -H y»). 
Nous la construirons en coordonnées polaires. L'équation peut s'écrire 

siu» (o(rf» — p»)» = (7' ou ± sin (o(d' — p») — a' 



OM 



p» = d' m 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



53 



On a donc les deux équations 

'= = rf^ "' ■^ ^d- "' ■ 

" sin to sin w 

Or l'une d'elles se déduit de l'autre en changeant p en — p et q> en - + o> ; par conséquent, ces deux 
équations représentent la même courbe. Il nous suffira de considérer une seule de ces équations. 



Nous prendrons 



I» = rf' + 



Comme à une valeur de m, correspondent deux valeurs de p égales et désigne contraire, la courbe 
est symétrique par rapport au centre. De plus, en changeant w en tt — w, p* ne change pas, la courbe 
est symétrique par rapport à Oy. Elle sera alors symétrique par rapport aux deux axes. 

Nous ferons varier lo de — ^ à + ^', ne prenant que les valeurs positives de c, et nous achèverons 

par symétrie. 

Pour que p soit réel, il faut que 

{d^ sin o) + a^) sin <•> > 0. 



c'est-à-dire que sinoj soit extérieur à l'intervalle ( -, Oj 



1" Cas. a >d. d^ sin w + a- est toujours positif; o> ne peut varier que de à -.On a le tableau 

de variation suivant 








croit 



c I + GO décroît \/ a^ -h d'^ 

L'asymptote est l'axe Ox, les 
tangentes en A et A' sont paral- 
lèles à Ox. 



2""" Cas. — (3 < rf. Soit — a l'arc 
compris entre — ^ et qui a pour 



sinus — 



et 



0) ne pourra varier 



2 




croît 



décroît \/d' -+- o* 



p \/d^ — a» décroît 

Les tangentes en A, A', B, B' sont parallèles à Oj. Oa; est asymptote. 

Le cas de a = rfne présente pas d'intérêt; on a la même forme de courbe que dans le premier cas. 



iR. Laforgue, à Montauban.) 



Solutions analogues par MM. Perrée, lycée Condorcel; Randon, lycée Louis-lc-Granrl. 



3(5 GEOMETRIE ANALYTIQUE 



AcTRE SOLUTION. — M. Goulard, professeur au lycée de Marseille, obtient d'une façon très élégante 
l'équation du lieu en coordonnées polaires. 

Soient M et N les deux points, et G (p, to) le centre de l'une quelconque des hyperboles. Menons par 

le point C une parallèle Cx à OM, et soit Ci/ le diamètre conjugué de Gx, lequel passe par le point 0. 

En désignant par a' le demi-diamètre, réel ou imaginaire, dirigé suivant Cx, l'équation de l'hj-perbole 

dans le système d'axes Cjc, Ci/, est 

x° — y^ = a'*. 

Or les coordonnées des points M et N dans ce système d'axes sont =: d, p. La condition pour 
que l'hyperbole passe par M et N est donc 

(1) rf^-p' = fl''. 
D'autre part, le second théorème d'.\pollonius donne 

(2) ± a'= sin to = a'. 
Éliminant a' entre (1) et (2), on a l'équation du lieu cherché 

sin o) 
19. — (Voir renoncé de cette question n" 2, p. 28.) 

SOLUTION r.ÉOMKTIilQUE 

Soit MG la normale en M, G étant le point de rencontre avec le grand axe de l'ellipse, et soit 
MN l'une des autres normales menées de M à l'ellipse, N étant le pied de cette normale et Q étant le 
point où elle rencontre le grand axe. On sait que les longueurs NQ et MG sont proportionnelles aux 
longueurs des diamètres respectivement perpendiculaires à ces normales. Soit T le pôle de MX; en 
appliquant le théorème de Newton et remarquant que si l'on abaisse de G une perpendiculaire GP à 
la droite MN, les triangles rectangles TMN, MGP sont semblables ; on a 

NQ_NT_MP 

mg~mt~mg' 

d'où Ton tire NQ — MP. Le point P est un point du cercle décrit sur MG comme diamètre et ce cercle 
est tangent à l'ellipse en M. 

Remarque. — L'équation de ce cercle peut être mise sous la forme 

xX fiY 



R. W. Genèse, University Collège, Aberystwytli (Wales). 



Note. — Soient x, y et x, y' les coordonnées des extrémité» M, M' de deux demi-diamètres conjugués OM, OM' 
d'une ellipse dont l'équalion rapportée à ses axes de symétrie est 

Si l'on pose 6' = OM', les formules de Cliasles, savoir : 

x' y v' X 

a b b a 

>>' a' 

donnent b' r= x' + y' = — x^ + —y', d ou b'x* -H a'y' = a'b'b '. 

Cela posé, si l'on mène la normale en M à l'ellipse et si l'on désigne par N et N' les points où cette normale rencontre 
le ççrand axe et le petit axe respectivement, on a 

MN* = V' + (X — x)', 
X désignant l'abscisse do N. Or l'équation de la normale étant 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 57 



a'-(X — x) _ bHY — y) 

' X ~ y 

b' 

si l'on fait Y = 0, on obtient X — a; = x 

a' 

vTTTî , '''' o "''if' + *'a;^ ^''l'"' 

et par suite MN' = »/^ + — , x- = ; = — - • 

a' n' ff- 

Donc MN = - 6'. 

a 

On trouve de même MN' =^ - b'. 

b 

La première de ces formules montre que la longueur d'une normale comprise entre son pied et son point de rencontre 

avec le grand axe est proportionnelle à la longueur du demi-diamètre conjugué au diamètre passant par le pied de la 

normale, c'est-à-dire esl proportionnelle à la longueur du detni-diamètre perpendiculaire à la normale. C'est la proposition sur 

laquelle s'est appuyée M. R. Genèse dans l'élégante démonstration géométrique qu'on vient de lire. 

MN b'- 
Remarquons encore les relations MN.MN' = 6'- et -—— = — ■ „ . , 

46. — Les quatre cercles qui jiaxseiit chacun par trois des pieds des normales issues d'un point P à 
une ellipse E, rencontrent l'hyperbole aux pieds des normales H, en quatre points distincts de ces pieds. 
Démontrer que ces quatre points sont situés sur une ellipse de grandeur constante ayant le point P pour centre 
et ses axes parallèles à ceux de l'ellipse E. 

Soit h 4 1—0 l'équation de E. 

a'' 0^ 

Les coordonnées d'un point quelconque de H peuvent s'exprimer en fonction rationnelle d'un 

paramètre t : 

' t + a^ ■' t -h ô--* 



a, [B sont les coordonnées de P. 

Pour simplifier le langage, nous appellerons point ?„, le point de H qui correspond à la valeur t„ 
du paramètre t. 

Les pieds des normales sont déterminés par l'équation 

(2) 1 ! =0. 

{i + a-'f (t -+- b'^y 

Soit t, une racine. Le point <i esl un pied de normale. Je vais considérer le cercle passant par 

les trois autres pieds; il rencontrera H en ces trois pieds et en un quatrième point t'. Je vais chercher 

la relation qui existe entre /, et /'. 

On a — H !-— - -1=0. 

l^i + a^/' (/, -1-6-)^ 

Retranchant de i2) : 

l(t -f- 0^)^ (t, + a')^} ^ lit + è'j" (^ + b-r] 

divisant par t — ti'. 

3) a^a^ 1- 6'3* ^ = 0, 

équation du troisième degré qui admet pour racines les valeurs de t correspondantes aux trois pieds de 
normales en question. 

Soit maintenant un cercle 

■T- + y'' + kx -h By + C = 0. 

Les points oli il coupe H sont déterminés par 



(t -+- a^)^ (t -+■ b^f t + a-" t -h b' 



-4-0 = 0. 



58 GÉOMÉTRIE AxNALY TIQUE 



Débarrassons l'équation (4) de la racine /', en retranchant membre à membre cette équation et 
la suivante : 

il vient 

a^a'i-!. î— U è^a^f-J î_^ + Ka^jJ^ 1-^ + Bè^sf-J L_\ = o- 

V(/+a>)« (r+o»)V '^V(« + 6«)« (r+6')«y^^"°'\/+a» r+a'^ '^U + fe» t'+b*) ' 

divisant par t ~ t' : 

,^, ,,/ + /'+ :2«« ^^„., / H- /' + â6" Aa«a B6»3 

^ ' {/' + a'^^i + a^y ^ (f + 6»)«(« + 6")« (< + ««)(/' + o') (/ + b*){l' + 6') 

On aura la relation qui lie T et/,, en écrivant qne (3) et (5) ont mêmes racines, et éliminant A, B, C. 

Pour faire aisément ce calcul, nous nous appuierons sur ce fait qu'une fraction rationnelle n'est 
décomposable que d'une seule manière en fractions simples. Pour que (3) et (51 aient mêmes racines. 
il faut que les premiers membres, qui sont des fractions rationnelles, soient identiques, à un facteur 
constant près. En effet, les dénominateurs sont identiques, à un facteur constant près, et il doit en être 
de même des numérateurs pour que les deux équations aient mêmes racines. 

Alors, en décomposant les deux premiers membres en fractions simples, les coetHcients devront 

1 I 

être proportionnels. N'écrivons cette propoitionnalité que pour les fractions ST«®''7ï *^i' '^o^' 

les coefficients s'aperçoivent aisément; il vient 



{t + a»)« (/ + 6V' 




t' + a' t' 



(t, + a*)a^ (/, + b-)b^ 
C + a'' 

Divisant par a' — b', il vient 

(6) t'ti + r(a' + 6=) + a'b' = : 

c'est la relation cherchée entre t' et /,. 

Or, les quatre valeurs de /, sont données par 

éliminant /, entre (6) et (7), j'aurai l'équation du quatrième degré donnant les quatre valeurs de /'. 
De (6) on tire 

l^ + a'' ^ ^—^, , t^ +b' ^ !— , 

d'où _j_^j^ ^ "^'^^ i = 

bHf -+- a»)» a\t' + 6'')' 

ou -—-(I - —- .) H Ç-(l -1=0. 

6' \ r + aV a» \ l -h b^J 

x', y' désignant les coordonnées du point t', on a 

X — > u = —- • 

t'+a' " t -h b^ 



a' ^ 




' + a») 
t' 


t 
b'h^t 


1 + 

'2 



On aura donc 1 i h — [i ——] —1=0 

6' \ a / a' \ 8/ 



CHIMIE S9 



ou F ^"^ ~ '^^' "^ ^ *^ - [3)' - 1 = 0, 

ce qui démontre le théorème, attendu que les quatre points x', y sont situés sur l'ellipse 

(X - ay (q - 



& iï: 



1 =0, 



6^ a* 
de demi-axes — > — . de centre P, et ayant des axes parallèles aux axes de l'ellipse donnée. 
a 



CHIMIE 



Concours général de mathématique spéciales (1890). 

I. — Acide sulfureux. Propriétés. — Décrire les réactions oii cet acide intervient, soit directement, 
soit par ses sels, dans la préparation des différents composés oxygénés du soufre (abstraction, faite de tous les 
détails de préparation industrielle). 

II. — 47. On chauffe avec un excès d'acide sulfurique concentré 3^',320 d'oxalate neutre de potasse. 

Le produit gazeux de la réaction est dirigé dans une enceinte en verre, close, communiquant d'une 
part avec un manomètre à mercure, d'autre part avec un matras en porcelaine vernie à l'intérieur contenant 
20^' de chaux vive et 20^' de carbonate de chaux. L'espace total offert au gaz est de P"-,SOO. 

On demande quelle sera la force élastique finale et la composition du gaz, l'enceinte étant maintenue à 
0° et le matras en porcelaine étant chauffé à SOO". On ne tiendra pas compte de la dilatation du gaz contenu 
dans le matras chauffé à 860°, le volume de ce gaz étant assez petit par rapport à la capacité de l'enceinte 
pour que cette correction soit négligeable . 

La formule de l'oxalate neutre de potasse est G*0', 2K0. 

La tension de dissociation du carbonate de chaux à 860° est 85"'"^ 

L'équivalent du potassium est 39. 

1 

La quantité d'oxalate employée étant u^ d équivalent, comme on s'en assure facilement, la 

réaction peut se formuler ainsi : 

^(G*0«, 2K0 + S*U«) = 4(-^0- S'O" + G»0» + C"0»). 

4 
Elle donne lieu à un dégagement de — de volume d'oxyde de carbone et d'autant d'acido 

carbonique; un volume correspondant à 3''',5a, il se produit le même volume : 

22,20 

' = 0'" 444 

de C^O' et de C'O* (si l'on fait le cali;ul avec les densités pratiques, on trouve des volumes différents : 
0'",485 de C»0'; 0'",448 de C"0»). Il y a donc eu tout 0''',888 de gaz à 0», pression 7dO. 



60 CHIMIE 



Dirigé dans une enceiule de d''',300, ce gaz prend une pression H donnée par la loi de Mariotte : 

0.888 X -60 
" - i,300 ~ ^'^ '^^^- 

Les deux gaz étant mélangés à volumes égaux, la pression de chacun d'eux est primitivement 

■pr- , c'est-à-dire 2o9,S60. Mais l'acide carbonique, en vertu des lois de la dissociation, s'unit à la cbaux 

jusqu'à ce que sa pression se soit abaissée à 83°"" (il est facile de voir qu'il y a plus de chaux qu'il 
n'en faut), et la pression totale des deux gaz est alors 

259,569 -)- 83 = 344""",569 : 
c'est la pression qu'indiquera le manomètre. 

Il reste alors un volume V d'acide carbonique, qui, mesuré à 0", "60"'"', est 

^,^i.300x83^ 
"60 

L'enceinte contient donc, une fois l'équilibre établi : 

0'",145 d'acide carbonique, qui pèsent O'",14o X 1,98 = 0«^28"; 
0''',444 d'oxyde de carbone, qui pèsent 0'",444 X 1,74 = 08'',333. 

Ou trouve facilement pour la composition en centièmes : 
i" En poids : Acide carbonique. . . . 34,085 

Oxyde de carbone. . . . 63,914 

99,999 

1" En volume : Acide carbonique. . . . 24,617 

Oxyde de carbone. . . . 73,382 

99,999 
(Henri Niewenclowski, élève au lycée Louis-le-Grand.) 

III. — 48. L'action de l'eau sur un équivalent de trichlorure de phosphore dégage 6:i^'\6; celle de la 
potasse étendue sur un équivalent de trichlorure de phosphore dégage /32"\'i; celle de la potasse étendue sur 
un équivalent d'acide chlorhydrique étendu dégage I.T''\7. 

On demande la chaleur de formation à l'état dissous du phosphite lii potassique. 

I PCI' -+- 6H0 = PO', 3H0 + 3HC1 + 03^6 
Les deux cycles ) 3(HG1 + KO) = 3(KC1 + HO) + 3 x 13^^ 

( PO», 3H0 -H 2K0 = PO', 2K0, HO + 2H0 + x'= 
et PCI» + 5K0 + Aq = PO», 2K0, HO + 3KC1 + 132s4 

étant équivalents au point de vue thermique, on a 

63,6 + 41.1 + .V = 1.32,4. 
d'où l'on tire x = 27,7. 

Le phosphite bipotassiquc dissous est donc formé, à partir de l'acide phosphoreux et de la potasse, 

avec un dégagement de chaleur de 27"', 7. 

(Henri Niewenglowski.) 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 61 



QUESTIONS POSEES AUK EXAMENS ORAUX 



École polytechnique (1890) — (Suite). 

II. — GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 

Construction de courbes. 



- I. Coordonnées cartésiennes. 
1 

1 



/ 1 
y = X'' — 3x + 2 ± i/ — --. — Trouver le foyer de la parabole diamétrale. 



± \Jx' — 3a; 
P — 1 



± va;' — 3a; + 2- 



y 


= 


2 


t 


t'- - 


- 1 


'x^ 


- 


3a,' 


+ 2 



4. y' = x^+^^ ^ 

5. 8x' — ily' + 6a;- — bxy — ùy^ — 2a; + 3i/ ;= 0. — Trouver les points d'inflexiou. 

6. y = :ii^Jx' — 3x-h^ ± v/'x^ — 1. 

7. X' — y' + 3^ — y =0. — Asymptotes. — Points d'inflexion. 

8. 3x' — a' + 3a;' — xy + 'ix — y ^ 0. — Trouver la classe. 

9. x=(2 + 'J« + 2, y = t'' — l. 

10. ofiy* + (x — yf = 0. — Points de contact des tangentes parallèles à Oy. — Nombre de ces tangentes. 

11 . a;' + !/■ ^ o'. — Étudier l'asymptote. 

17. — II. Coordonnées polaires. 
_i 

1. p^e ". — Asymptote. — Points d'inflexion. 

2. p^ cos — + 2p cos 2m — (1+2 cos w) =; 0. — Asymptotes. Sens de la concavité. 

1 M 

3. fip" tg - (û — 3p sin w + cos x = 0. 

4. pMg w — 2p(l + cos a)) + cos u = 0. 

5. p= -t- 3p tg oj + 2 = 0. 

Vsin u v'cos w 
7. p- sin o) — 2p cos (w — a) + 2 cos m = 0. 
„ 3 cos oj — sin M 

'^ 2 cos 2 w — 1 

Ae""' 



Trouver les points doubles. Équation de la tangente en un point. On joint ce point au 
1 + e-"'" 
pôle. Trouver l'équation générale de la tangente en chacun des points d'intersection de la droite obtenue et de la courbe . 
10. p"" ^ a"* cos niM. — Podaire du pôle. 

Problèmes. 

18. — Équation d'une directrice de la conique représentée par l'équation générale du sjcoud degré. 

19. — Équation de l'ensemble des six sécantes communes à deux coniques. 

20. — Lieu du sommet il'une parabole qui se déplace en restant tangente à une droite donnée en un point donné 
et qui passe par un point fixe. 

21.. — Construire une conique connaissant une asymptote et trois tangentes. 

22. — On considère toutes les coniques ayant un foyer donné (a, fi) et la directrice correspondante donnée 
(ux + yy-t- 1 = 0); on mène à ces coniques des tangentes faisant avec Oa; un angle donne; liea du point de contact. 



62 CONCOURS DE 1890 



23 _ Lieu du point de concours des tangentes communes à une ellipse et à un cercle de rayon constant qui se 
déplace en restant tangent à l'ellipse. 

24. _ Lieu du centre dune ellipse variable d'aire constante dont l'un des sommets et les deux foyers décrivent trois 
droites données. 

25. — Équation de l'ensemble des diamètres conjugués égaux d'une ellipse rapportée à deux axes quelconques. 

26. — D'un point M pris sur une ellipse on peut mener, outre la normale en M, trois normales dont les pieds sont 
ABC. Par les points A, B, C, M on peut faire passer deux paraboles. Lieu du point de rencontre de leurs axe^ et lieu 
des loyers de ces paraboles, quand le point M décrit l'ellipse. 

(A suivre.) 



CONCOURS DE 1890 



ÉCOLE NORMALE SUPERIEURE 

Épreuves d'admissibilité. 

Matlu'inutiques. 
49. — Entre les coordonnées ,r, y d'un point A et les coordonnées u et r d'un point B, on établit les relations 

y- 



~ u^ + r^ u^ + v'- 

où X est un nombre positif donné. 

Après avoir déduit de ces relations l'équation qui relie les coefficients angulaires a, p des droites qui 
joignent l'origine aux points A, B, on montrera que, en général, à chaque point A correspondent troi.s positions 
du point B : ces points Bi, B2, B3 peuvent-ils être réels et distincts? Où le point A doit-il se trouver pour ([u'il 
en soit ainsi? Sur quel lieu doit-il être situé pour que deux de ces points, B) et B3, par exemple, soient confon- 
dus? Si le point A décrit ce lieu, quels sont les lieux décrits par les points confondus B), B3 et par le point Bj? 

50. — Étant donnés deux axes rectangulaires Ox, Oy, on prend sur l'axe des x un point fixe A, sur l'axe 
des y un point fixe B, et Ton mène par le point O une parallèle à la droite AB. On considère un système de 
trois cercles assujettis à avoir même axe radical et à ftre tangents, le premier en A à l'axe des x, le second 
en B à l'axe des y, le troisième en O à la parallèle à AB. 

Démontrer que l'axe radical des trois cercles passe par un point fixe. 

Trouver le lieu des points communs à ces trois cercles : on indiquera quelle est en général la forme de 

cette courbo, et l'en examinera en particulier le cas où l'angle A du triangle GAB est égal à^- 

(Dxtree de l'épreuve : (i heures.) 
Physique. 

I. — Montrer ((ue la différence constatée par Regnault entre les deux coefficients de dilatation d'un même 
gaz est d'accord avec la manière dont le gaz s'écarte de la loi de Mariotte. 

II. — Voir le numéro de novembre, page 23. 

(Durée : 6 heures.) 

Épreuve d'admission. 

Epure. 

51. — Trouver la méridienne principale d'une surface de révolution. 
L'axe de révolution passe par les points 

(à, a') ayant pour coordonnées : x = 0, y = 10*^"', z = 7™. 

(p, fi') - — X = - 7, 1/ = 10 , s = . 

La courbe qui décrit la surface est une ellipse, contenue dans le plan horizontal z = 7"™ . Sa projection 
horizontale a pour sommets opposés les points 

a X = 0, y = 10, 

i> X = 6, y — 16. 



QUESTIONS PROPOSÉES 63 



Elle passe de plus par le point c x = 9, 1/ = 10. 

Oq établira la ponctuation de la surface engendrée, seulement en projection verticale. 
Faire les constructions pour un point quelconque, la tangente en ce point, et les points remarquables. 

(Durée: i heures.) 

ÉCOLE POLYTECHNIQUE 

Physique et Chimie. 

I. — Achromatisme des lentilles. 

II. — Dilatation de l'eau. 

III. — Oxyde de carbone. 

N. B. — On tiendra compte de la concision avec laquelle sera rédigée la composition. 

(3 heures.) 
Mathématiques. 
Voir le numéro d'octobre, page 1. 

(4 heures.) 
Calcul trigonométrique. 

Dans un triangle ABC, on donne : 6 = 5828">,73o, c = 4734'",824, A = 7S» 3o 45". 
Calculer le côté a, les angles B et C, et la surface du triangle. 

Il h. i/i.) 
Résultùts : a = eSil^.TâS, B = 59° 39' 19",9, C = 44° 44' 53",1, S = 1342" 17= oO^ 

Géométrie descriptive. 

52. — Un cube de 15"" de côté a l'une de ses trois directions d'arêtes verticale, et une autre perpendiculaire 
au plan vertical . 

Dans la face postérieure, considérons l'arête de gauche, l'arête inférieure et le sommet situé à l'intersection 
des deux autres arêtes. 

La droite passant par ce sommet et par le sommet opposé du cube, engendrerait, si elle tournait successi- 
vement autour des deux arêtes considérées, deux hyperboloïdes qu'on suppose remplis. 

Représenter, par ses projections, le corps formé par la partie commune aux deux solides ainsi obtenus, en 
le limitant en haut et en bas par les plans des deux faces horizontales du cube, et en arrière par celui de la 
face postérieure. 

On placera au centre du cadre de l'épure la projection horizontale du point de rencontre des axes des deux 
hyperboloïdes, et, à un centimètre au-dessus, sur une parallèle aux petits côtés, la projection verticale du 
même point. 

En fait de constructions, et en dehors de celles qui se rapportent aux points remarquables, on ne laissera 
subsister, dans le tracé à l'encre, que la détermination d'un point de chaque courbe et celle de la tangente en 
ce point. 

On n'indiquera aucune asymptote. 

(i heures.) 



QUESTIONS PROPOSÉES 



53. — Vraie valeur de l'expression (x 4- 1) ^+' — a; ^ pour x — 00. 

*54. — On donne une circonférence de centre et de rayon a. Sur un de ses diamètres, on prend 

un point M, et de ce point on mène une des tangentes à la circonférence; soit P le point de contact. 

On demande le lieu des points X et X' qui partagent le segment de droite PM en moyenne et extrême 

raison quaml le point JI parcourt le diamètre A_B. 

(A. AuDOLiN, élève de marine, lycée de Cherbourg.) 

Plus généralement, lieu du point qui partage le segment PM dans un rapport donné. 



64 QUESTIONS PROPOSÉES 



55. — On douue deux cercles fixes C, C et l'eu considère deux cercles variables S, S' tangents 
aux premiers. Lieu des points de Poacelet relatifs aux cercles S, S'. 

(PiLLEUx, élève au lycée Louis-le-Grand.) 

56. — Lieu des pieds des normales issues de l'origine à une parabole de grandeur constante qui 
se déplace en restant tangente aux axes de coordonnées supposés rectangulaires. 

57. — Lieu des sommets des cônes circonscrits à un ellipsoïde et qui sont coupés par un plan 
donné suivant un cercle. 

58. — Étant donné un syslèrae d'axes rectangulaires 0.>;, 0^, 0;;, ou décrit de l'origine comme 
centre, dans le plan des xy, un cercle G de rayon R, et on prend sur l'axe des x un point A, à une distance 
a de l'origine. On mène par A une sécante rencontrant le cercle aux points M et N. Sur MN comme 
diamètre, dans un plan perpendiculaire au plan des xy, ou décrit un cercle C. 

1° Lieu des centres des quadriques S qui passent par les cercles C et C, quand la sécante tourne 
autour du point A. 

2" Séparer sur la surface obtenue les régions qui correspoudeul aux centres des différents genres 
de quadriques. 

3" Trouver la surface S, lieu des axes des paraboloïdes passaut par les cercles C et C. 

4" Étudier la surface S, en la coupant par des plans parallèles aux plans de coordonnées. Trouver 
son contour apparent sur le plan des zx. 

6° Indiquer un mode de génération simple de la surface il, basé sur des considérations élémentaires. 

(Concours académique, Xancy et liesançun, IS'O.) 

*59. — Un point S, de cote 9™, est le sommet d'un cône ([ui a pour directrice dans le plan bori- 
zontal de projection un cercle de rayon 4"", 3 tangent à xy et dont le centre est eu avant de xy. Un 
second cône, dont le sommet T a pour cote 6*^"', a pour directrice dans le plan horizontal de projection 
un cercle de rayon 3'^'", qui coupe orthogonalemeut le cercle et dont le centre I est dans le plan de 
profil de eu avant de 0. Ces deux cônes ont une génératrice commune verticale située a gauche du 
plan de profil de I. 

1° Couslruire les projectious de l'intersection des deux cônes limités d'une part au ulau horizontal 
de projection et d'autre part au plau horizontal ([ui a pour cote 11'"'. 

2" Représenter le cône de sommet T supposé plein et existant seul en culevantla portion comprise 
dans le cône de sommet S. 

Ou placera le point sur la ligne de rappel du milieu de la feuille et la ligue de terre parallèle 
aux petits côtés de la feuille, à égale distance de chacun d'eux. 



ERRATA (lu u" 3. — Page 46, liKUR "2. en remoulant : au lieu de e , lire e'. — Page 47, ligne 3, eu remoulanl ; au 
lieu de: rapport, lire produit. — Page 47, oxcrcice 13, au lieu de : S + 4>,, lire 5 + 4),. — Page 48, ligue 4, au lieu de: m„ + 1, 
lire )'.,,,. 



Le licdiicteur-Ucraiil : 11. VUIBERT. 

■ 28382-12-90. 



Ire Année. No 5. Février 1891. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



ALGEBRE 



37. — On sail que .•>(, quond n croH indé/inimenl, -^ a une limile, y u„ a la même limite fu,, 

II „ 

étant supposé positif quel que sait l'entier ii ;. Démontrer que si '\/u„ a une limite l, et si, en outre, en 
fiosanl v'u„— X + ï„, le produit nz„ n une limite finieet déterminée quand n croit indéfiniment, dans 
ce CAS-. ^ "'^- a aussi pour limite À quand u croit indéfiniment. 

Appliquer la régie précédente à la séiie 1. a. ab, a^'b, a'-b-, . . . a"b", a"^'b", . . . 

Si l'on pose {■ v,, = ^ -i- ''■„■ ou a, en supposant À = U. 



\ 



Posons -— — M,,; ou peut écrire 



t/„ + ( \ u + 1/ 



= X 



V n , 



Donc si w„ a une limite oj quand n grandit indéfiniment, on a 

,. M>,+i - e" 

Iim = A — = /. 

Un e" 

Si n-j,, oscille entre des limites liuies, -^— n'a pas de limite. 

Si )iz„ grandit indéliuimeut. ce qui précède ne suffit plus pour décider si ^^ a une limite. 

Supposons maiuteuaut que '{/ v„ ait pour limite zéro, et posons y «„ == a,„ ni„ — fl,„ de 

sorte que 

w„+i «" (|5„ + r)"+' 



u„ (n + 1)" + ' (fi„V' 
Supposons lim ,3„ = /c quand n grandit indéfiniment, et soit /i >; 0. 
Posons u,, = ((;„)", de sorte ({ue lim \ i'„ = /e. Soit (/i;,, = /i + y..- 
Si le produit «•;„ a une limite finie et déterminée ou seulement s'il reste fini quand n grandd 

indéfiniment, on voit que restera fini; or lim ; — ~t = U et -= r:;rf["— — ! ^o"*^ 

' r„ (n + 1)"+' _ M„ («+i)"+ t'„ 

ou a luen lim -^ 0. 



66 ALGEBRE 



Dans l'hypothèse ^ =* 0, le théorème ne tombe en défaut que si n-(„ croit indéfiniment avec h. 
Si t = 0, on fera pour r„ ce qu'on a fait pour m„, et ainsi de suite. 

Application. — Considérons la série 

a. ab, a-b, «^6-, . . . a''bf, a''+'6''. . . . 

On a M, = a, u, = ab, . . . «jp =a''bi', «2^+1 — W^'b'', . . . 

Donc '\/u2,, = \/ab et ^^u^p^t =a^p**. b^^, de sorte que lim"*" \/w2,,+i = \ a6; on peut donc 
dire que lim \/u„ — \/ab tandis que -^' oscille entre a et b. 
Or on voit que ?ia„ = si « = 2/) ; quand Ji ^ 2p + ) , on a 

na„ = (2p + i)\_jF¥i bév\ - aibi\ = a^bï . (2p + 1) v/ v/ï ~ * ' 
Mais ou sait que m.\\/x — l) a pour limite L.x quand m grandit indéfiniment, donc, dans le cas 

' i /rî 1 i ' rt 

présent, quand n grandit indétiniraent par valeurs impaires, lim ?ia„ - 0-6-' L t/- ^ - a'ib- h -• 

V 2 

Donc si a est différent de b, n-x„ n'a pas de limite; si a = b, «a,, a pour limite zéro et alors 

lim = lim \/u„ = a. 

w„ 

(C. BounLET.) 
Nous avons reçu une solution exacte, mais incomplète, de M. J. vigneaux, élève du lycée de Toulouse. 



40. — On donne n points dans un plan; par cinq de ces points on fait passer des conique.i de toutes /es 
façons possibles; trouver le nombre de points de rencontre de ces coniques, autres que les u points donnés. 

On suppose que parmi ces n points, il n'y en a pas plus de cinq sur une même conique. Il y a en 
tout C,; coniques. 

Chaque combinaison de deux coniques donne quatre points eu général, 

X = 4C" -, - nz, 

; étant ic nombre de fois que chacun des n points a été compté. Or par l'un de ces poiuts passent C,',_| 
coniques, et chaque l'ois que j'ai pris deux de ces coniques, j'ai compté ce point une fois, je l'ai donc 
compté C' 1 fois. 

D'où X ~ iC^s — nC'^, . 

H. Pii-ixi X, élève au Ij-céc Louis-Ie-Grand. 

[Solutions semblables par MM. Auzcrara (lycée de Toulouse); E. Jossinet (Ivcéc de Tiovcs); Auguste Ucoquierrc ilycée de llouens rcrrée 
(lycée Condorccljl. 

M. lIussoD, élève au Ijcée de Nancy, généralise la question et considère des courbes de degré />; en posant 
., ' — r, il fait passer par r des n points donnés une courbe de degré p; le nombre des points communs 
à toutes les courbes ainsi obtenues est égal ;i 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 67 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



13. — Si des milieux des côtés d'un triangle comme centres, on décrit trois circonférences avec des 
rayons tels que l'un d'eux soit égal à la somme ou à la différence des deux autres, le.< trois points de rencontre 
des trois couples de polaires de deux des cercles par rapport à un sommet commun pris comme pôle sont 
trois points en ligne droite. 

Soient M, N, P les milieux des côtés du triaugie ABC; R, R', R" les rayons respectifs des cercles 
décrits de ces points comme centres. 

Prenons BG pour axe des x, et la hauleur AD pour axe des y. Soient & et v les abscisses des 
sommets B et C, et h l'ordonnée de A. Le cercle (N) ayant pour équation 

(-i)"-(»-î)' = «-' 

l'équation de la polaire de A est 



ou thg - Svo; = A^ - y' + 4R'=. (1) 

Pareillement, la polaire de A par rapport au cercle (P) a pour équation 

'ihy - 2;3.r = h^ - ^^ + 4R"^ ("2) 

Les coordonnées du point de rencontre S de ces deux droites sont 



J ^,^1^^ 



T 



2/i — ~q7 I" ^ 



(S) 



La polaire de C par rapport au cercle (N) a pour équation 

%(X - ^Ihg =--- f -h^ + 4R'-. (3) 

La polaire du même point par rapport au cercle (M) qui a peur équation 

est déterminée par l'équation ' (oc — ' j = R^ 

P -f- r '2R* , ,, 

ou x = -—^+ -• (4) 

2 Y - p 

En portant cette valeur de x dans l'équation (3), on obtient les coordonnées aj^, y^ du point de ren- 
contre S" des polaires de G par rapport aux cercles (M), (N) et l'on aura de même x^, y.,, coordonnées 
du point de rencontre S' des polaires de B par rapport aux cercles (M), (P). de sorte que 

â + Y 2R= 



2 Y - P 

^S ) 



68 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



p + r 2R' 

) (S ) 

__ A' + py ^R'v + KH? -r) ^ 

Prenons pour axes deux nouveaux axes parallèles aux premiers et ayant pour origine le point de 

3 -H Y h^ -i- Sv 

coordonnées .Tj — ■ — - — , j/,, = — — , c'est-à-dire le centre du cercle circonscrit au triangle 

ABC; les nouvelles coordonnées seront données par les formules 

R'î _ R'2 sR'« - yR"2 2R' ^ R-S. - R"={3 - v) 

~ 2/'=^-h:7^ 4-"' ^-^ = 7, ' 2/2-'' ■ 



- Y /'(P - r) ' P - Y ^ KP - y) 

2R« ^ R»Y + R'V,3 - y) 



f>-Y •'^ HP -y) 

La condition pour que ces points soient en ligne droite est 

I R'» - R"= ^R'» - yR"' 1 I 

R2 + Rî p _ K"2(,3 _ y) 11=0 

1 - R« - R» Y - R''(? - y) 1 i 

ce qui donne, en développant suivant les éléments de la seconde colonne, 

(|5 - yHR + R' -1- R")(R - '<' + ï^")(R + R' - R')(R' + R' - R) = <^- 

3 — Y est difTérentde zéro, les rayons sont supposés positifs, donc la condition demandée est birn 
que l'un des rayons soit égal à la somme ou à la différence des deux autres. 



15. — 0/1 considère /es droites dont, l'équation générale est, en coordonnées rectani/ulaires. 

(1 - ).^)x + 2/y -r (À" - 2>, - 3)a = 0, (1 ) 

À di'signanl un paramétre variable. 

i° Trouver le lieu des points d'oii l'on peut mener deux droites rectangulaires. 

2° Trouver le lieu, des points tels que les deux droites issues de chacun d'eux, interceptent une lonqueur 
donnée sur l'axe des x. 

3" Trouver les coordonnées du point Q où se coupent les sécantes qui Joignent les points d'intersection des 
axes avec les droites issues du point P, et en déduire le lieu des points P tels que les points V et Q soient viif 
de l'origine sous un angle droit. 

1° Les droites considérées sont définies par l'équation 

(1 -X^).r-i-2/.î/ + (À^-2X-3)a 0. - (I) 

Les valeurs de l qui correspondent aux droites passant par le polul M (.c. ij) sont h^s racines de 

(« - xjX''' + 2(!/ - a]X -(- X - 3a - 0. {"2i 

Appelons/., et À, ces racine.-. La condition d'orthogonalité de deux droites passant par le point M est 

(l-/î)(l-/.5) + 4>,Àj^0 
ou (ÀiX^)^ - ()., -I- /J^ + G/,Àj -i- 1 ^ 0, 

d'oii {x — 'àaY — 4(// — aY + (J(a; — :!«)(« - .-r) + (a — x,- - ; 0, 

ce qui, après réduction, peut s'écrire 

j^:2 + xf — \ax — 'huj + 3a' 
ou {x-''laY + ^\j- af ^-{a\ltY. (3) 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 69 



Le lieu est donc un cercle. 

j ç)) q ) 3 

2" Le point où la droite (1) coupe l'axe des x a pour abscisse x = a-^ ^^^—. — = n ; • 

Xj — 1 A — 1 

Si 2aa est la lonsrueur donnée, nous devrons avoir : ~ ~ = ± 2a. 

d'où, en chassant les dénominateurs et réduisant, 

X, - X, = ± ;4x,x, - (X, + ),} + 1]. 

d'où (X, + X,)^ - -iXjX^ = ;j.'-[X,X, - (X, + X,) + iy, 

d'où 'l'u - a]" - \{.r - 3o) (« - œ) = 'i%x - 3a) + 2(// - n) + (a - x)]\ 

ou, après réduction, (x — 2a)^ + y{ij — 'ia) — 'j.'^{tj — laV — 0. (4) 

Cette équation leprésente une conique qui passe, quel que soiLa, au point de coordonnées j:;=!/ = 2r(, 
la tangente en ce point étant parallèle à l'axe des x. On voit que les deux droites définies par l'équation 
(1) issues de ce peint sont parallèles aussi à l'axe des .)■, car en supposant x = y — 2a, l'équation (^2) a 
ses deux racines égales à I, et cette valeur de X annule le coefficient de x dans l'équation (1). 

En discutant l'équation (i) ou trouve facilement que pour u. > 1 on a une liypcrbole ; pour |j. = 1 
on a une parabole dont l'axe est a; = 2a et qui passe par l'origine: pour ;j. < 1 en a une ellipse. Enfin 
pour \i. = on a un cercle, dont l'équation peut s'écrire 

(.T - 2rt)'= +{y- af = a». (o) 

Ce lieu correspond au cas où Xj = X,, c'est-à-dire au cas oîi les deux droites issues du point (x, y) 
se confondent; c'est donc l'enveloppe des droites (1). 

3° Soient X, y les coordonnées de P, et soient x', y' les coordonnées de Q; la condition d'orthogo- 

nalité des droites OP et OQ est 

xx' + y y' — 0. 

D'autre pari, le point O est sur la pobiirc de P par rapport aux axes, donc on a aussi 

yx' -t- xy' = 0. 

Eliminant x' et //', on a //^ — x^ — 0; 

on a aussi y"' — x'- — 0, 

donc les points P et Q décrivent les deux bissectrices des angles des axes. 

Ce résultat reste le môme si l'on considère les droites représentées par l'équation 

Ao,'' -h Ba; + G = 0, 

oîi A, B, C sont des tiinomes quelconques du second degré en X. 

Pour calculer les coordonnées du point Q, dans le cas particulier donné, remarquons que la 

X — 3 

l'roite (X,) coupe l'axe des j; au point x^ — a — -, //i — et la droite (\) coupe l'axe des y au 

„ X^-2X, -3 , , ' 

point CTj - 0. yç, - 



Mais l'équation (-1) donne 
donc 



-sk, ' "" '^"' '' 


' 


X,-l 2X, 


a — 


"^ 1^-3 ^ X^ - 2à, - 


-3 " "• 


2X,;/ X, - 1 




"""'^ >.|-2X,-3 ''x,-3 




, >. -i y',' 5».-ï 


-ci\-a =0 


A, — ô y \ Ag — 


. >i"l / >2-l 


— a\ — ay ■=-- 0. 


^^X,,-3 ^V^X,-3 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



, À, — 1 ,/ ),, — 1 \ „ 

On a de inôme x y — _ — // ( .r , _ — a j — fly = 0. 

En retranchant membre ;i membre (6) et ("), on retrouve d'abord 

x'y + y'jc = 0, 
puis, posant x'. - «juc, y' --^ — \i.y et portant dans l'équation (6), on obtient 



(■) 



!^h(b^-"v^)-H^"^- 



>., -1 Xj - 1 _ 2X,X, - 4(À, + x.) 4- 6 2a; - 4.1/ 4- 4rt 



d'où l'on tire 



X, — a Aj — 3 X,Àj — 3(^Xj + Xj) -f- 9 4a; — 3i/ 

4a; -3)/ 



2a;- — ^yx + 3a^ 

et par conséquent a;' et //' sont connues. 

L. Randon, élève du lycée Louis-le-Grand. 

[Autres bonnes solutions : MM. Pf rrée (Condoroet) ; Geneix-Chabanier (Marseille).! 

M. J.-G. Darboux remarque que les droites considérées sont tangentes au cercle ayant pour équation : 
(x — 2a)2 + {y — af ~ a^. 11 en résulte immédiRtement que le premier lieu est un cercle concentrique et de 
raj'on a\'-2. 

18. — ÈUinl données deux coniques homo focales, trouver le lieu des sommets des angles droits AM.\' dont 
les côtés MA, MA' touchent respectivement les deux courbes. 

Les deux autres tangentes MB et 5IB' menées de M atix deux coniques se coupent aussi à angle droit. 

Les droites qui joignent deux à deux les points de contact des tangentes MA et MA' ou MB et MB' 
enveloppent une conique homo focale aux proposées. 

Le diamètre qui passe par te point M passe aussi par les milieux des cordes de contact des tangentes MA 
et MA' ou MB et MB'. 

Soient a-u- + bH-- — u» =0, (1) 

(a» + X)i<« + (6» + ly - w^ ^ (2) 

les équations tangentielics des deux coniques. L'équation aux paramètres angulaires «, v des tangentes 

à )a première conique issues du point M (.r, rj), s'obtiendra en éliminant iv entre l'équation (1) et 

l'équation tangentielle du point M 

ux + vy -+-w = 0. 

On obtient i«* - a;-)M' + 2uvxy n- {b'- — y-)v^ ^-- 0. (3) 

L'équation aux paramètres angulaires des perpendiculaires aux tangentes à la seconde conique 

issues de M sera alors 

(6= + X - ij-:u- - luvxy + (a- -4- X - ,x»)f'' = 0. (4) 

Ou aura ré(|Uâtion du lieu, en écrivant que ces deux équations ont une solution commune en - ^ 
c'est-à dire en éliminant u cl r entre ces deux équations. Si on les ajoute, il vient 

(a- -i- b- + 1- x^ - !/')(«' + î;=) = 0. 

L'équation du lieu cherché est donc x^ + y^ — o* + 6' + X. 

C'est un cercle qui a son centre à l'origine ; il passe par les points communs aux deux coniques, 
ce qui était facile à prévoir, puisque en ces points les deux coniques se coupent à angle droit. 

On peut observer que le fact':ur «' + r- correspond aux foyers des deux coniques, qui. analyliquc- 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



ment font partie du lieu, car les tangentes menées de ces points aux deux conique; sont les droites 
isotropes, et ces droites sont perpendiculaires sur elles-mêmes. 

Pour tout point du cercle, les équations (3) et (4) sont les mêmes, elles ont mêmes racines ; cla 
démontre la deuxième partie, qui résulte d'ailleurs d'un théorème bien connu. 

Cherchons maintenant l'enveloppe de la droite AA'. Soient w,,, f,,, ii\ ses coordonnées. Nous allons 
former l'équation aux paramètres angulaires des tangentes menées à la conique (1) aux points de 
rencontre avec AA'. Soient (u, v, ic) les coordonnées de l'une de ces tangentes ; ou doit avoir 

rt'îf- -h b-v^ — w- = 
et «-((«„ + b-vi\ — iLii\ = 0. 

Cette dernière équation s'obtient en écrivant que les deux droites {u, v, io) et (m„, v^, «■„) sont- 
conjuguées par rapport à la conique (Ij. 

Éliminant w, on a l'équation cherchée: 

(o'uuo 4- b-vv„)- — ui{a-ii- -h b-v^) = 0, 
ou a^u-(a^uf, — ivl) -h ''2a-b^uvu„Vo -h b^v^(b^vl — wl) — 0. (5; 

Remplaçant a- et i^ par a- + /. et 6- -f- /,, puis, dans cette dernière équation, remplaçant -par 

, on aura l'équation aux paramètres angulaires des perpendiculaires menées aux tangentes à la 

deuxième conique aux points de rencontre avec la droite («„, v„, w^). Cette équation est 

(6* + l)u^[{b- + X)i'5 - îci{ — 2(a= -+- X)(b- + l)uvu„v„ + {a- + l)v^[(a- + l)ul — iv^] :^ 0. (6) 
Éliminant m et y entre (5) et (6), on aura l'enveloppe de la droite (w,,, v^, lo^). Si nous multiplions 
(o) par (a- + X)(6* + X), (6) par a'6' et ajoutons, il vient 

[a^{b^ + >>* -i- b"-(a- -(- l)v^][{a^i4 + b^vl - wl)(a^ + b- + 1) - a''h^{ul + vl)] = 0, 

ce qui montre que l'enveloppe cherchée est la conique ayant pour équation tangentielle 

(«'Mo + b'^vt — tii){a'' + 6= + 1) — a-b^vl -h li) = 0. 

Cette conique est homofoeale à la conique (1). 

Remarquons que le facteur a*(6' + ),)u^ + b^{a^ + À)i-^ nous donne, comme faisant partie de l'enve- 
loppe, les quatre points de rencontre des deux coniques. Éliminant, en effet, u ett; entre (o) et (7) 

a^ (6= + >.)«' + b-{n'- 4- l)v"- = 0, (7) . 

on obtient une condition exprimant que la droite («o, v„, ?<•„) passe par l'un des quatre points de 
rencontre des deux coniques. Ce résultat se prévoyait aisément, puisqu'on ces points les coniques sont 
orthogonales. 

Il nous reste à élablir que le diamètre du point M passe par le milieu de AA'. Pour cela, soient Xi, !/,; 
./",,, (/j les coordonnées des points A et A'. Écrivons que la droitequi joiotTorigineau point de rencontre 
des tangentes aux deux coniques en A et A', passe par le milieu de AA'; on obtient la relation à établir ■ 

Xj + X. , r.r, _ x^ 1 ;/, + ?/., r^i _ p., 1 ^ ^. 
i ' L«- a- 4- xj "^ "2 [b- 6» + xj 

on peut sans peine la mettre sous la forme 

f^^g'-l\_f_^-.^L_iUJ- ^^^' + , y-^' 1 = 0. (3) 

\rt-^ 6= / W + X 6^-t-X y La^a^ + X) 6'(6^ + X)J 

laquelle est évidemment satisfaite, puisque les points A et A' sont respectivement sur les coniques (I j 
et (2), et que les tangentes en ces points sont perpendiculaires. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQr]' 



REUAitoiKS. — I. — Cetlc dernière partie peut s'établir gcométriquemeut; soit en effet A,MiAÎ une 
posiliou infiniment voisine de l'angle droit AMA', a et a' les points d'intersection de MA, M,A,; M'A', 
M, A,'; le quadrilatère aMM,a' est inscriptible; soit C, le cercle correspondant. A la limite, les points 
a, a' sont venus en A et A'; le cercle C, devient le cercle C de diamètre AA'et louchant en M le cercle, 
lieu de M. On voit donc que lu normale eu M au cercle C, c'est-à-dire le dibniMre passant par M, passe 
aussi par le milieu de AA'. 

II- — Iransformonsla ligure donnée par polaires réciproques, en prenant comme conique directrice 
un cercle quclcoDque ayant pour centre un des foyers communs F. Aux deux coniques correspoudent 
deux cercles, de, plus lu droite de l'infini ayant même pôle par rapport aux coniques, l'origine F aura 
mùnic polaire par rapport aux cercles transformés. Ce sera l'un des points limites. Ou est ramené à un 
problème concernant les cercles; ce problrmc se trouve résolu dans la Géométrie supérieure do Charles, 
chapitre xxxi. 

(Henri Larose, élève au l>ccc de Carn.l 

[Soliilions analogues p,nr MU. .I.-ii. narboux rLouis-lo-fiitind), firin (Ivcéc do Lille). H. Uiforgiic fi .Monlaubani/ 



27. — Etant donnés (,icatte poinli en ligne droite A, B, C, D, peut-on tracer une parabole passant p ir 
les jiuinls C et D, dont l'axe passe par .\ et la tangente au sommet par B? 

Montrer qu'en (jénéral le problème est impossible. Trouver dans quel cas il est possible, et montrer que 
dans ce cas il est possible d'une infinité de manières, et trouver le lieu des points de contact des tangentes menées 
à toutes ces paraboles, parallèlement à la droite donnée. 

Prenons la droite donnée pour a\e c!cs x, le point A pour origine, et pour axe des y une perpendi- 
culaire à AB. 

Soient b, c, d les abscisses des points B, C, 1). 

Par le point A, je mène une droite quelconque de coeliicient angulaire wi; et par B une perpendicu- 
laire à cette droite. L'équation générale dos paraboles ayant ces doux druite.s icspeclivomt nt pour axe 
et [)our tangente au sommet est 

(y — mxj- + 2l'x + mi/ — b) — 0. (H ■ 

J'écris que celle parulule passe par les points C et 1), c'est-à-dire (juc l'cqualion obicnue en faisant 
y — l) a pour racines c el (/. On obliont 

- -': c-d. - ^'^ ^ cd ; (2) 

m- ni- 

11 ts: impossi])le on général de trouver îles valeurs de X et do «f- salis-faisanl à ces doux équations: 

par conséquent il n'cxisle pas en général de parabole répondant à la question. 

Pour quo le piol)lcmo soi' possible, il r;uit([ne les éciualious (2) doniiont la mô no valeur pour 

c'est-à-dire (jue 

i c + d III 

o C(t h c d 

Ce résultat s'interprète très simploinent. Soit en eil'ol B', d'abscisse //, le point conjugué harmo- 
nique de A par rapport à C et D: on a 

2 1 1 

J) "^ f "^ d ' 

Ou doit tlonc avoir h - , co qui inonUv (juo lo point B doit ôlre le milieu ilu segment AB'. 

Supposons celle condiliou remplie, les équations (2) sont compatibles; prenons la prcmièro, ol 
soit /j l'abscisse du milieu Pde CD. On a alors À = — m^p , et l'équalion générale des paraboles devient 
(y — vhr)- — ^2m-p{x 4- m y — b) — 0. 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



Le point de contact de la tangente parallèle à Ox est à l'intersection de la parabole et du diamètre 
conjugué de Ox, qui a pour équation 

U - '«>■ - p) =^0. (4) 

Eliminant m entre (3) et (4\ ou a l'équation du lieu qu'on obtient aisément sous» la forme 

2y^- + (X - p)(±c - % - p) _ : 0. 
C'est un cercle qui a son centre sur Ox, et qui rencouiro cet axe aux deux points d'abscisse p et 

~;j, — • Si I est le milieu de PB', on voit que le cercle est 

décrit sur PI comme diamètre. 

(Camille Rech, à Nancy.) 
(Solutions analogues par MM. A. l'nuillard.Runzel, élèvi-s aulycéede CU-rmonl.) 

Solution géométrique. — Imaginons une parabole 
répondant à la question; la polaire de A coupe CD en un 
point B' conjugué harmonique de A par rapport à CD, et 
tel en même temps que B soit le milieu de AB'. Donc 
pour que le problème soit possible, il faut que le point B 
soit le milieu de AB'. Si cette condition est remplie, il y 
a une infmilé de paraboles satisfaisant aux conditions 
données. 

Considérons l'une de ces paraboles et menons-lui la tangente ME parallèle à AB. 
Menons MP parallèle et MK perpendiculaire à l'axe. Le point P est le milieu de CD; d'autre pari, 
comme est le milieu de AH et de EK, on a HK = AE — MP ; par suite I est le milieu de PB'. Les deux 
points P et I étant fixes, le lieu du point M est le cercle décrit sur PI comme diamètre. 

(Ernest Duponcy, élève à l'c'cole Mongc.) 




QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS ORAUX 



École polytechnique (1890). — (Suite) 

27. — Où doit êlre placé le point (:i, ,'^1 pour que les deux coniques ayant pour équations 

ciX- — 2a!/ + (3i/- — X = 0, 
œ- + 3«(3x!/ — ?/- — 1 = 
soient tangentes? 

28. — Former réqualion générale d'une cubique ayant une asymptote double donne'e. 

29. — Une conique se déplace dans son plan et se déforme de façon que deux sommets décrivent deux côtés non 
parallèles d'un rectangle et que les deux foyers se déplacent sur les deux autres côtes. Lieu du centre et des deux autres 
sommets. 

30. — Lieu des centres des cercles tangents à une ellipse et passant par son centre. 

31. — On considère une conique et une parabole variable tangente à cette conique en un point donné C; ou donne 
en outre la direction de l'axe de celte parabole et l'on demande le lieu du centre du cercle passant par le point G et les 
deux autres points de rencontre de la conique et de la parabole. 

32. — Lieu du point tel que l'une des trois normales menées de ce point à une parabole soit bissectrice de l'augle 
formé par les deux autres. 

33. — On donne la conique représentée par l'équation Xx^ + iB.cij + Cif = 1. Trouver les longueurs des diamètres 
conjugués qui font entre eux un angle de 45°. 

34. — Former l'équation géuérale des hyperboles ayant une asymptote donnée, dont l'axe trausverse passe par un 
point donné, l'axe imaginaire ayant une longueur donnée 26. 



CONGO LRS DE 1890 



35. — Dans une conique on donne un foyer, un point de l'axe non focal et un point de la tangente en un sommet 
do l'axe local. — Former l'équalion générale des coniques satisfaisant aux conditions donndes et construire l'hyperbole 
équilalère faisant partie de cette famille de coniques. 

36. — Lieu du centre d'un cercle langent à une hyperbole équilalère et à une de ses asymptotes. 

37. _ En un point M d'une ellipse, on mène la normale, qui rencontre la courbe en un second point .M ; lieu du 
ccDlre du cercle passant par les points M, M' et par le centre de l'ellipse. 

38. — Lieu des foyers des coniques tangentes à deux droites reclangulaifcs, passant par un point fixe et ayant une 
aire couslanle. 

39. — Lieu du centre des coniques d'aire constante et inscrites dans un triangle. 

40. — Former l'équation de la conique tangente aux cinq droites ayant pour équations ; 

x = 0, y = 0, X — -2, y= — i, 2x — j/ — 2 = 0. 

41. — Aux exlrémités A, B de deux diamèlres conjugués d'une conique, on mène les normales, qui se coupent 
en M. Lieu de M et lieu du centre du cercle circonscrit au triangle ABM. 

42. — Une parabole de grandeur constante passe par deux points fixes .\, B. Sur AB comme diamètre on décrit un 
cercle. Lieu des points de concours des tangentes communes à la parabole et au cercle. 

43. — Lieu des points tels que les tangentes issues de ces points à deux coniques données forment un faisceau 
harmonique. — Problème corrélatif. 

44. — Lieu du sommet d'une parabole de grandeur constante tangente à une droite et dont le foyer décrit une 
autre droite. 



CONCOURS DE 1890 (Svile), 



KCOLE GENTRAI^E 



Première session. 

Groméirie analytique. 
Voir le numéro de décembre, page 3if. 

(Durée de l'épreuve : 4 heures.! 
Calcul Irigonométrique. 

l" Calculer les angles d'un triangle dans lequel y = j-^ — j-_„ • 

liésullaU: A = .'U<'4f)' 19",0i, B = 08° 48"i0",9o, C = 86"2à'0",02. 

2» Calculer la surface et le rayon du cercle inscrit d'un triangle semblable au précédent et dans lequel 

a — 2o675'",-2.i. 

Résultats : S = iOa.UT.OOO™"", r — 004i"', 135. 

(Durée : I h. ijî) 

Physique et Chimie. 

60. — Une bouteille en fer munie d'uu robinet contient un gaz liquéfié; on en laisse échapper par ébul- 
lition un poids p. On demande : 

1° De calculer le volume V occupé par le gaz sorti sous la pression II et à la température t", d,j étant sa 
densité à 0° et à 760; 

2° D'exprimor le poids m de gaz formé tant à l'intérieur qu'à l'extérieur de la bouteille: on désignera par 
d, et (/( les poids spécifiques du gaz et du liquide dans les conditions où ils se trouvent dans le récipient; 

3» Quelle sera la température finale a' de l'appareil, son équivalent en eau étant P, sa température initiale /. 
si l'on suppose qu'il n'emprunte pas de chaleur au milieu ambiant et si l'on représente par / la chaleur latente 
de vaporisation dans les conditions de l'expérience. 

p^iMH', P=^12o8'', H -754""», « — 15», / = 90'^»>, di ^ 1,43, rf„ =2,234, rft =0,0014. 

a, poids du litre d'air à et 760 = U'','i.^Z. 



CONCOURS DE 1890 



II. — Donner, sous forme de tableau, les formules chimiques qui expriment les propriétés comparai ives 
du gaz des marais et du gaz oléliant. 

Chaque formule devra être écrite : 1° en notation eu é(]uivalents ; •î" en notation atomique. 

III. — Un gaz, composé oxygéné de l'azote, possède une densilé égale à 1,039. 
On fait passer deux litres de ce gaz sur du sulfure de baryam chauffé au rouge. 

On recueille un litre de gaz azote pur, dont la densité est égale à 0,972. Établir, d après cela: 1° la com- 
position en volume du gaz donné: 2" la formule de ce gaz, sachant que la densité de l'oxygèue est 1,1056. 

(Durée : 3 heures.) 
Géoiiirlrir descriptive. 
Voir le numéro d'octobre, page (i. 

(Durée : i heures. ) 

Deuxième session. 

Géométrie analytique. 

61. — On donne une parabole rapportée à deux axes rectangulaires Ox et Oy; cette parabole a son 
axe parallèle à l'axe des y, elle passe par l'origine et le point de l'axe des j dont l'abtcisse est /, enlin elle 
admet une ordonnée maxima égale à /". 

On donne, en outre, une droite passant par l'origine et un point A (x — !, y = h). 

1" Démontrer que, si, pour une abscisse déterminée, on porte en ordonnée la somme algébrique de 
l'ordonnée de la droite et de celle di- la parabole correspondantes à cette abscisse, l'extrémité de celte ordonnée 
est sur une parabole (P) éyale à la première. 

2" Démocjirer que les axes des coniques qui passent par l'intersection d'un cercle et d'une conique sont 
parallèles aux axes de celle-ci. 

.3" Une circonférence de cercle décrite sur OA comme diamètre coupant la parabole iP) en quatre points 
O, A, B, C, chercher le lieu du point d'intersection des sécantes communes OA, BG quand on Idit varier h, et 
construire ce lieu qui n'est pas du deuxième degré. 

i° Chercher la valeur du rapport - pour laquelle le cercle décrit sur OA comme diamètre est tangent à 

la parabole, quel que soit h. 

Calcul trigonomi'trique . 

On donne a = 34o6,7-i2, b = biU, 823, G = 118" 37' 43",4. 

Calculer les angles A, B, le côté c, et le rayon du cercle inscrit. 

lUmltats: A = 23° 40' 19",99, B = 37» 41' 56",61, c = 7536,915, r = 98I,.'J03 

Éjmre. 

INTERSECTION DE DEUX CONES DE RÉVOLUTION 

62. — Placer la ligne de terre pardllèlement aux petits côtés du cadre, à 0"",253 du petit côté supérieur. 
La ligue de rappel oo' du centre du cercle de base du premier cône est à égale distance des grands côtés 

du cadre. La cote du point (o, o'j est 103'"'" cl son éloignement 93'"'". La ligne de rappel ss du sommet du 
premier cône est à 87'"'" de oo' vers la droite. La cote du point (■«, s') est 210""" et son éloignement 162""". Le 
rayon du cercle de base est de SO""". 

On prend le diamètre horizontal de ce cercle de base et on fait tourner de 90'' le premier cône autour do 
cette horizontale, de manière que la cote du sommet reste supérieure à celle du centre de la base: on a ainsi 
le second cône. 

On demande de représenter par ses deux projections le corps solide formé par l'ensemble des deux cônes 
supposés pleins et limités chacun à son sommet et a sa base. On indiquera à l'encre rouge les constructions 
employées pour placer les données et pour déterminer : 

1° Un point quelconque de chacune des bases et les tangentes eu ces points ; 

2» Un point quelconque de l'iateriiection des deux cônes et la tangente en ce point: 

3" Les génératrices de contour apparent des deux cônes et les points des bases et de l'intersection situés 
sur CCS génératrices. On n'indiquera pas d'autre construction. 

Titre extérieur : INTERSECTION DE SURFACES. 

Titre intérieur : A ssemblage de deux cônes. 

Ces titres, en lettres dessinées, sont de rigueur. • 



QUESTION l'ROPOSËE 



Phijsiijue cl cliiinie. 

I. — Un récipient de volume invariable renferme, à la température de 0", 10 kilogr. do gaz comprime. 
On fait sortir du récipicnl 3 kilogr. du gaz qu'il contient et on cliaulTe pour rétablir dans l'appareil la 

mémo pression qu'au début. A quelle température faut-il chauffer? 
On donne « == 0,00367. 

II. — De l'inlluence électrique. — Kloctroscope. 

in. — Conimenl liquélle-t-on dans un tube de Faradaj le gaz ammoniac, l'acide sulfhydri(iue et le 
chlore? El comment prépare-t-on les substances destinées à ces liquéfactions? 

IV. — Déterminer la composition de l'oxyde do carbone à l'aide de l'eudiomèlre à mercure. 



BOURSES DE I.ICENGE 



Licence es sciences naathématiques. 

63. — En désignant par m un nombre entier positif, on considère deux polynômes o{x), ■!f(.r) entiers 
eu .r, de degré inférieur à m, et tels que l'on ait identiquement 

(i — j)"'^(j;) + x-u-Ki-) :-: I. 
1° Démontrer que l'on a iduniiquement 

J;(a-) — ç>(l — a-), o(x) = t^l — .v), (l — a:)o'(x) — m?(a5)=ox'»-'; 

dans celle dernière égalité, a désigne une constante et <f'{x) la dérivée de o(a;) : en déduire, à l'aide du théo- 
rème deRolle, que le polynôme o(j) ne peut pas avoir deux racines négatives. 

2" Déterminer en fonction de m la conslante a et les coefRcienls du polynôme 9(xi; démontrer que ce 
polynôme a au plus une racine réelle. 

64. — Étant donnés deux axes rectangulaires O.c, Ui/, on considère un losangj POl''(j' ayant les deux 
sommets P, P' sur l'axe des x et les deux sommets n, Q' sur l'axe des ;j. Ou supposera OP = p, On r^q. 

i" Par un point M, de coordonnées x, //, passent deux coniques inscrites dans le losange; former l'équation 
du second degré en m, qui adm< t pour racines les coefficients angulaires des tangentes en M à ces deux coniques. 

2" Trouver le lieu des i)oinls M où se coupent sous un angle donné deux coni [ues inscrites dans le 
losange. 

3» Déduire de l'équation aux coetlicienls angulaires que ce dernier lieu doit se composer d'hyperboles. 



QUESTION PROPOSEE 



65. — 'J'rouver l'aire coulouuc dans la porLioii fennec de la courbe .-c' + y' — "'•^'i/ = " f]"' ^° 
trouve dans l'angle des coordonnées posilives. 

(A. lIuGiioN, lycée do Nantes.) 



_ Le Kcdacleur ■Ocrant : H. VUIBEHl'. 

nllAIx. — 2201.1-1 -!il. 



l^^e Année. N° 6. Mars 1891. 

REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 

ALGÈBRE 



12. — Sur chacune des faces d'un cube d'arête variable '2x, on construit une pyramide régulière, de 
telle façon que les six pyramides soient toutes extérieures ou toutes intérieures au cube el aient même hauteur. 
On donne l'aire totale 24a= du polijihlre ainsi obtenu. Etudier la variation de son volume. 

Désignons par h la hauteur de l'une des pyramides; la hauteur de l'un des triangles isocèles qui 

forment les faces sera évidemment égale à \/h'^ + x'; il résulte de l'énoncé que la surface totale du solide 

est formée de 24 triangles identiques, de sorte que l'aire de chacun d'eux 

^-rjî^jv>^^]77:7~~~.__,^ vaut a'-. D'autre part cette aire a aussi pour mesure u3\//i* + x^; il en résulte 



x\/h^ ■+- x'' — a'', d'où h'^ = 



^ et h. — ~\/a^ — x^. 

I I X 

Le volume du solide, quand les pyramides sont extérieures, a pour mesure 

to' + Sx''h ou bien Sx' + 8aî \/a* — a;'. 

Si les pyramides sont intérieures, l'expression du volume est 

Sx^ — 8a; y/a* — a;*. 

Il faut toutefois remarquer que le solide dont cette expression mesure lo volume n'existe l'éellement 

que si /( n'atteint pas. r, ce qui arrive quanda; surpasse t-t- Sil'ona x = —-z, la hauteur /( est égale 

v/2 v/2 

à X, les six pyiamides ont leur sommet commun au centre du cube et le remplissent exactement; le 

volume est donc nul. Si l'on a a;<^^, les pyrami'lcs empiètent l'une sur l'autre et l'expression algé- 

\/2 
brique précédente devient négative; sa valeur absolue représente l'excès de la somme des volumes des 

pyramides sur le volume du cube. Dans ce qui suit nous étudions les variations des expressions algé- 
briques écrites plus haut sans nous préoccuper de l'existence du solide. 

I. — Étudions d'abord les variations de la fonction 



y = x^ + X v^a' — a;* 
qui représente lo huitième du volume du solide formé quand les pyramides sont extérieures. 

Cette fonction est réelle pourvu que x soit compris entre — a et -ha; elle est finie et continue 
pour toutes ces valeurs de la variable. Nous ne ferons variera; que de zéro à a; car ce sont les seules 
valeurs qui correspondent au problème proposé; d'ailleurs quaud x varie de zéro à — a, la fonction y 
reprend dans le même ordre les mêmes valeurs changées de >igne. 

Pour X ~ Q, la fonction est nulle; pour x = a elle vaut a^. Calculons la dérivée de cette fonction : 

2a;* 3.r'V"* — ce* -1- a* — 3a;* 



y' = 'Sx'' + \/a' — J.* 



\/ a^ — x^ \/a^ — x^ 

Celte dérivée est réelle aux mêmes conditions que la fonction ; elle est finie et continue sauf pour 

X = a, valeur pour laquelle elle est inliuie. Quand x part de zéro et croît, la dérivée part de la valeur 

a", et elle est d'abord positive; il est visible que quand x est un pou inférieure à a, le numérateur est 

né^atir;_ainsi la dérivée s'est annulée au moins une fois dans l'intervalle. Cherchons les valeurs de x 



ALGEBRE 



pour lesquelles elle est uuUe. et pour cela résolvous l'équation 

3xVa* - a:* = 3a;' - a'. (1) 

Nous sommes obligés d'élever les deux membres au carré et d'introduire ainsi les racines de l'équation 

3xVa' - a;' = a» - 3a;'. (2) 

Nous obtenons l'équatiou ISx* — lua'x' + a* = 0, (3) 

que nous regardons comme du second degré en a;'; les racines sont 

.15=rv/Î53 -. //3±v/n 

a;' = a' — ou bu'n x = n \/ :z 

m V 12 

Ces racines sont toutes deux réelles, positives et inférieures à a. Mais nous ne pouvons accepter 

... 1 
pour a;' qu'une valeur supérieure a - a': car une valeur inférieure rend négatif le second membre de 

l'équation (1) et, par suite, ne peut satisfaire à cette équation. Or, la somme - a' des deux valeurs de .c' 

2 , 1 a" /o'\^ 

surpasse - a'; donc l'une au moins des racines surpasse - o': le produit— est inférieur à I — ) : donc 

(7* 

l'une au moins de ces valeurs est inférieure à ~. Ainsi, à linspeclion de réejuatiou, nous constatons 

que la plus grande racine seule appartient à l'équation (I) et la plus petite à l'équation (2). On vérifie 

a' , 
d'ailleurs aisément qu'en substituant .y a a;' dans le trinôme on obtient 

i' 
un résultat negali/, ce qui montre que - est compris entre les racines. 



X 


!/' 


.'/ 





a'' 







+ 


croît 


a 





Maxim. 




— 


décroit 


a 


co 


a» 



Posons 






Cette valeur est la seule pour laquelle la dérivée s'annule, j:; variant de 
zéro à a. Dans l'inlervalle de zéro à a, la dérivée est positive, et la fonc- 
tion croit; x variant de a à a la dérivée est négative et la fonction décroît: 
Elle passe donc par un maximun pour x ^ o:. Ces variations sont inscrites dans le tableau ci-contre. 
II. — Occupons-nous maintenant de la fonction 

y - x^ — x\/a^ — a;'. 
Cette fonction est réelle dans les mêmes conditions que la précédente, et, pour les valeurs extrêmes 
de X, zéro et o, elle prend aussi les valeurs zéro et a'. Sa dérivée est 

.3.r*v/a' — a;' -f- Sx' — «' 
y ir — a;' 
Pour a* = 0, elle a pour valeur — fi^. et prend d'abord dos valeurs négalives; pour x un peu 
inférieure à a, elle est visiblement positive; elle s'est donc annulée au 
moins une fois puisque c'est une fonction continue pour toutes les valeurs 
de X comprises entre zéro et a. Si on égale son numérateur à zéro, on 
trouve l'équation (2) écrite plus liant. Il en résulte que la seule valeur 
de x pour huiuelle ci4te dérivée s'annule est 




«y/^ 



-v/l- 



12 

Cette valeur correspontl à un minimum de la fonction, puisque la 
dérivée, d'abord négative, devient positive après s'être annulée. En 
appelant [i ictlo valeur de ,t, les variations de la fonction sont indiquées dans le tableau ci-contre. 

CiiÉUEVii.LK, élève au lycée Saint-L<)uis (cours de marine). 



ALGEBRE 



Nous pouvons représenter par une courbe les variations de ces fonctions; mais il convient de 

remarquer que y désignait jusqu'ici un volume; nous avons 
donc construit la courbe ayant pour équation 

a'^y = x^ ± xsj a'^ — x\ 
de sorte que le volume correspondant à une abscisse donnée 
sera représenté par a'^y. 

lad, première fonction correspond à l'arc en trait plein, 
la seconde à l'urc on pointillé. Dans le cas des pyramides 
intérieures, la variation de volume du solide, quand il 
existe, est figurée par l'are CB. L'arc OC correspond au 
cas où les pyramides empiètent l'une sur l'autre. 

La courbe est symétrique par rapport à l'origine; les 
tangentes à l'origine sont les bissectrices des angles des 
axes, et ces tangentes sont des tangentes d'inflexion. La 
courbe présente encore deux points d'inilesion, l'un sur 
l'arc OM et l'autre symclrique par rapport à l'origine. On 
vérifie aisément que l'abscisse a est plus grande que OC et 

P plus grande que ^; a est représenté sur la figure par OA. 

Enfin pour faire la construction on s'est aidé de la courbe 
diamétrale représeuiiéo par l'équation n'^y = x^. On n'a tracé que la jjartie (jui correspond aux abscisses 
positives. 




25. — Deux bassins à parois verticales, dont les sections horizontales S et S' sont connues, sont mis 
en communication pa?- un orifice dont le débit pendant l'élément de temps dt est proportionnel au produit de 
dt par la racine carrée de la différence des hauteurs de l'eau dans les deux bassins. Au moment oii la commu- 
nication est établie, le bassin S' est vide et la hauteur de l'eau dans le bassin S est h. On demande comment 
varieront en fonction du temps les hauteurs x et y du liquide dans les deux bassins et à quelle époque 
l'équilibre sera établi. 

(École des i'imls et Chaiisscts, concours de ISOO.) 



On a d'abord Sx + S'y = Sh. (1) 

Soit dy l'accroissement de y pendant le temps dt. On aura 

ë'dy = l;dt \l x - y, (-2) 

k étant une constante, déterminée par l'expérience. Remplaçant dans (2), x par sa valeur tirée 

S 4- S' 
de (1), et posant — - — = \j., il vient 

d., k 

—=^= =■ — dt . 
Vh-^y S' 



Intégrant, on a 



C- - s/h~ij. 



-,t; 



C est une constante que nous déterminons en observant que pour t = 0, on a (/ — 0. On obtient 
- \/li ; par suite 



C) _ ;. 

-yh-^h-ij.y]^~t; 
[t. 6 



(3) 



80 ALGEBRE 



d'où y=^^. 



kut rV h _ kl '] 



kt{S + S') rïS\/h kl] 

y= 4sy LsT^--^J' 

, kl(S +S') fiSi/fl kt'\ 

cl par suite x = n r— . — 7rr \- 

' 4S» LS + S' S'J 

On voit ainsi que x et y sont des fonctions entières du deuxième degré par rapport à /; par suite, 
X décroit, y croit, et les deux mouvements sont uniformément variés. 

L'équilibre a lieu quand x = y — ^ — — ; on obtient la valeur de / correspoudaute en reni- 

plaçant y par cette valeur dans l'équation (3); on trouve ainsi 

__ 2SSVÂ 

~ /.-(S + S') ' 

C. H. 
(Solutions semblables par MM. : E. Baudran, lycée de Rouen ; L. Ilandon, Louis-le-c'.raiid ; E. Honzel, lycée de Clermonl.] 



36. — Èlunt donnée une série positive convergente 

U,, U2, ... Un 

on peut toujours trouver des entiers positifs croissant indéfiniment 

Vu P2, ..-p.. 
tels qu'en posant v„ = Up^_,+t + Up__|+2 + . . . + u,,^ 

on ait ■ < k, 

v„ 

k étant un nombre ponlif arbitraire, que l'on peut supposer inférieur à l'unité. 

En elfet, soient /i un nombre positif arbitraire et m ua entier positif donné; je dis que l'on peut 
toujours déterminer un uoinbrc q entier et au moins égal à 1, tel que l'on ait 

Um + ,j + Um+Q+\ + . . . + Vm-i ./ + .■ < /«(«m + Um + \ + . . . + Um+q-i) {i ) 

quelque grand que soit l'entier positif r. 

Elïectiveniont, la série proposée étant co:ivcrgente, on peut sup[)Oser n assez grand pour que le 
reste R„, en posant 

Rh = Î<7M1 + Un+î + . .. , 

soit moindre qu'un nombre arbitraire donné d'avance ku,,,, de sorte que l'inégalité 

R„<Au„. (2) 

soit vérifiée. 

Trois cas peuvent se présenter : soit d'abord n > m. Si l'on pose n= m -\- q — I, l'entier q sera 

plus grand que 1, et comme on suppose 

l'm I 7 + Mnn 7 ( I + ... < />«,„, 
OU a, a fortiori, i/m + 7 + Um+q+i + . . . < k(Um + Wm+t + . . . + W„H-,_|). 

lin second lieu, si n — m, on a Um + t + «m+j + . . . < ku,,,; 
et si n est i)lus petit que m, soit n — m ■- li — l : 

U,n—h + Um—l, + i + . . . + «m + i + «ml 2 + . • • < /iM« ■ 



ALGÈBRE 81 



Dans ces deux derniers cas, l'inégalilé (1) sera évidemment vériflce en posant 7 = 1. 
Cela posé, désignons par (/i la valeur de q qui correspond à m — \, de sorte que 

Ml +7, + U-i^q, + ... < /i(Ml + 1*2 + ... + W./,). 

Si 7)1 = 1 + f/i, on aura pareillement g = (/j et 

Hr,, + ry,,+ | + Uq^ + q.^i + . . . < A;(l',,, + 1 + %,H-2 "r • . . î*<;,+f/o). 

De môme : 

U,i^ + q.,+q^+\ + M,/,+,,,, + ,;, + o + . . . < /(:(«,;, +r,,4 1 + Mr;, + f/, + 2 + . . . + Mfy,+^,+,3), 

et ainsi de suite. En posant Pt = qi, P> = '/i + '/,- Ps^Ç'i +?2 + îs • • • > de sorte (jue ji,, — pi,-i + '/n 
on voit que les nombres /Jj, ;)„, . . . p„ vont en croissant, et que l'on a 

"p„+i + "/'„+2 + • • • < 'c(M/>„_,+i + "P„_l+2 + • • • + iii',X 
et n fortiori, "/'„+i + "/'„^ '.i + • ■ + **/'„+i < ''(";'„_i+i + "/>„_i+2+ • • • + m,,^^), 

c'est-à-dire v„ + i < kv,, 



!:^<L 



38. — Zî'/i désignaiil par >„ /a partie enlicre de logn, n, étudier la série dont le terme général 
Un = a" '". b- "''" ' en supposant < a < 1 < b. Montrer que la série est convergente, et qu'il ij a une 
infinité de valeurs de n pour lesquelles -^ peut dépasser un nombre donné d'avance, quelque grand qu'il sait. 

Supposons 10'' < »i < 10''+' — 1 ; dans ce cas 'k„=p et ^.^.^ = p, de sorte que 

M„ = a"-'\ l>^'"'*'' 

et par suite — a. 

Mais si l'on suppose »i = 10''"+' — 1, on a ^„=/> et ^„+, = p + 1, de sorte que dans ce cas 
„.„ = a"-", h^''"-"", M,.+, =. a"-". 6^'''+'^"'+^', 
et par suite -^=b'''^\ 

Un 

Si p augmente indéfiniment, &/'+' augmente aussi indéfiniment, puisque l'on a supposé b > 1. Il y 
a donc une infinité de valeurs de n pour lesquelles grandit indéfiniment avec n. Néanmoins, la 



série proposée est convergente. 



En efTet, \/u„=a " . b 2" . 

Or, on sait que, a élant positif, — —" tend vers zéro quand n grandit indéfiniment; il on est 

?! 

le même a plus forte raison do ; donc — et — tendant vers zéro, ^ = — ; \- rr 

' n 11 n '•in. "In In 



82 ALGEBRE 



tend aussi vers zéro, et il en résulte que 

Jim \ Un = a < 1, 
ce qui démonlrc la convergence de la série. 

Cela posé, appliquons la règle de M. C. Bourlel (voir R. M. S., n" 5); pour cela, posons 

\ »„ =: rt H- a„, 

d'où 7)r„=i>n[a ".b ^" ~^\- 

r >n 'n('.„+ll I 

Le produit r,in " . b -" — 1 | augiiionle indéfiniment avec »i. En effet, supposons 

10''<?i<10''+'; 

a^o''+* . iiu''+' — 1 
il sullil (le prouver que '- augmente iudélinimont avec p. Or, eu prenant le rapport des 

dérivées par rapport à p et simplifiant, on doit chercher la limite de 

p_ pip+\ ) 

a iofHj,io,Mi[L^(_ j ^piAO)+Lbfèp+i)-p(p 4- DLIO] 

- IdLIO 

— P pip+i) 

Le facteur a"""*^'. 6'»'"''' tend vers l'unité, et l'expression entre crochets, qui est un trinôme du 
second degré eu p, croit indéfiniment; donc le produit ?!«„ augmente indéfiniment; on voit d'après 

cela que -^ ne ilevait pas avoir la môme limite que \/«„. 

J . Vir.NKAiix (lycée de Toulouse.) 

39. — Étudier la série dont le terme yc'néral est 

u„ rr, a"-'', b''' (0 < a < 1 < b) 
p étant te nombre de chiffres de n. 

Soit n = W — 1; 11 a p chili'rcs, n+ \ eu a » + 1; doue -^ = 6-'"+', ce qui prouve que -^ 

peut augmenter indéfiniment avec /(. 

V- 

La série est convergente; en (diet, \/u„ = a . — - • 

a" 



Supposons 10''-' < n < 10''; 

lOP n "*^ 10'-'' 



p p 

ce qui donne -r— < - 



d'où il résulte que - tend vers zéro, quand n augmente indéfiniment; on a aussi 

f . 1^ . - J^ . 
lU'' n "^ 10''-'' 

donc - tend égalementvers zéro. Par suite \ «„ a pour limilo n. et comme a est suppose plus petit 
n 

que l'unité, la série est convergente. 

J. Vic.NKAUx (Toulouse). 

(Autres solii lions par MM. L. IVrrée (Coiidorcet), Auzeram (Toulouse).] 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



83 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



22. — Élant donné un cercle fixe C dont le centre est en un point de l'axe des y, et une série de circon- 
férences tangentes à l'axe des x à l'origine, on mène des tangentes communes à ces circonférences et au cercle 
fixe, et on demande le lieu des points de contact M. 

On examinera en particulier le cas où le cercle fixe se réduit à un point et celui oli le centre de ce cercle 

coïncide avec l'origine. 

(Ecole des Ponts cl Chaussées, cours préparatoires, 'IS!)0.) 

Désignons par R le rayon du cercle fixe, et par a rordounée de son centre C. L'équation de ce 
cercle est 

,1-= + {y- af - R-^ = 0. (1) 

Observons que l'on peut supposer le point G sur le demi-axe Oij et par suite 
regarder l'ordonnée a comme positive. 

D'ailleurs, si l'on représente par A un paramétre variable pouvant prendre 
toutes les valeurs de — oo à + oo , l'équation du cercle variable est 

X- + if' - 2Ài/ = 0. (2) 

Soit niaiulenant un point M du lieu cherché, de coordonnées x et y. La 
tangente en ce point au cercle variable correspondant a pour équation 
X.X + Y {y - \ -ly = 0. 
Cette droite devant être tangente au cercle (1), sa distance au point C (0, a) doit être égale à R. 
Cela donne 

\a{y - À) - lyY 



y 

C 

( 


G V 
JM 









u. 



R^ 



(^) 



x^ + (y - Xj^ 

Ainsi les coordonnées x eX y d'un point quelconque du lieu satisfont aux équations (2) et (3). 
Comme on déduit de ces équations l'équation 

[aiy -X) - -Ay]' = R^X% 
qui s'écrit ay — \(a -h y ± B.) = 0, (4) 

l'équation du lieu s'obtiendra eu éliminant X entre les équations (2) et (4l. On trouve ainsi l'équation 

2a7/^ - (x'' + )/^)(rt + y rir R) = 0, 
qui se décompose en (a + y + R)x^ — [a — y — R)7y' = 0, (5) 

et (a + y _ R)a;2 - (a - y + Kjy'' = 0. (G) 

Le lieu se compose donc de deux courbes du troisième degré qui admettent l'axe des y pour axe 
de symétrie et out l'origine pour point double, de sorte que l'origine est en détinilive un point 
quadruple. 
Les deux couples de tangentes à l'origine ont respectivement pour équations 
?/*_a-t-R ly^o — R_ 

x^ ~ a — R ° âî^ "" a + H ' 

les deux tangentes d'un couple sont perpendiculaires aux tangentes de l'autre. 

Nous distinguerons plusieurs cas selon que les tangentes de chacun de ces couples qui sont en 
même temps réelles ou imaginaires, seront réelles et distinctes, réelles et confondues, ou imaginaires; 
c'est-à-dire selon que l'on aura 

B. < a , R = a, R>fl, 

et nous y joindrons les deux cas particuliers 

l\ -^ et a = 

que l'on nous demande d'examiner. 



8i 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



i" R < a. — Les quatre tangentes à l'origine sont réelles. La courbe représentée par l'éiiuation 
(o) est comprise entre les deux droites 

y = — (a + R) et y — a — R. 

La première de ces droites est une asymptote et la seconde une tangente qui louche la courbe en 

un point de l'axe Oy. 

La courbe représentée par 
l'équation (6) admet pour 
asymptote la droite y = R — a 
et pour tangente en un point 
de l'axe Oi/, j/ = a+R;elle 
est comprise entre ces deux 
droites. 

2° R — a. — Les équations 
(5) et (6) deviennent 

2ax* + ij{x^ + y'') - (7) 
et ;/(.T" + j/^-9rtj/)r.O. (8) 
L'équation (7) représente une cissoïde droite ayant pour asymplole la droite ia + y - 0. 
L'équation (S) représente l'axe des x, qui correspond au cas où le centre du cercle variable s'éloigne 
à l'infini, et le cercle C qui correspond au cas où le cercle variable coïncide avec lui. 






3" R >a. — Les tangentes à l'origine sont imaginaires; l'origine est un point quadruple isolé. 
On trouve pour asymptotes et pour tangentes en des points de l'axe des y, les mêmes droites que 
dans le cas précédent; mais les régions où se trouvent les deux courbes n'empiètent plus l'une sur 

l'autre. 

i" R 0. — L-s é(iuations (fJ) et ((i) se confomleut et 
donnent l'équation 

)/(x'- + y^) -t~ rt(,r'' — ;(y2) — 0, 
qui représente une stroidioïde droite. Cette strophoïde a 
son point double à l'origine. Elle passe par le point C et 
admet la droite a + y = pour asymptote. 

fS" a ^ 0. — Les équations (fi) et (G) deviennent 
(y + R)(.x' + 2/^ = et (y - R)(a;« + ^f) = 0. 
Elles représentent deux droites parallèles à l'axe des r cl tangentes au cercle G. L'origine est en 
outre un point du lieu (juadruple isolé. 




GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



85 




SOLUTIONS GÉOMÉTRIQUES DU SECOND, DU QUATRIÈME ET DU (:iNQi;iÈME CAS 

1° R = a. — Le problème revient au suivant : Étaut donné un cercle fixe 0, on considère un 
cercle variable co, tangent au cercle en un point fixe A; trouver le lieu des points de contact des 

tangentes communes. 

Soit la tangente PM. Menons wM, OP ; construisons la circon- 
férence 0' égale à la circonférence et tangente à celle-ci en A, 
et menons à cette circonférence la tangente BQ au point B diamé- 
tralement opposé au point A. Traçons enfin AM, qui rencontre 
cette tangente en Q et la circonférence 0' en R et menons O'R, 
RB, AP et la tangente AT. 

Je dis que l'on a AR = MQ. En effet OP et uM sont paral- 
lèles comme perpendiculaires h PM; ou sait aussi que O'R et wM 
sont parallèles, puisque A est le centre de similitude directe des 
cercles 0' et w. Donc OP et O'R sont parallèles et par suite les 
triangles OPA et O'RB sont égaux; d'oîi PA= RB; de plus ces deux droites sont parallèles. D'ailleurs 
une propriété connue nous apprend que l'angle PAR est droit; il eu résulte que BRQ est aussi droit. 
En outre SfPA = PAT = RÏQ. Les deux triangles PAM et QRB sont donc égaux; d'oîi AM = RQ 
etAR = MQ. 

Ainsi, le lieu du point M est une cissoïde droite ayant 00' pour axe 
de symétrie, A pour point de rebroussement et BQ pour asymptote. 

2° R = 0. — Le problème revient à celui-ci : Trouver le lieu des 
points de coutact des tangentes issues d'un point fixe 0, à un cercle w qui 
passe par un point fixe A et dont le centre w parcourt la droite OA. 

Si nous menons en A la tangente AT au cercle w qui rencontre en P 
la tangente OM, nous avons PM = PA ; ce qui montre que le lieu du point M 
est une stropboïde droite qui passe en et a le point A pour jjoint double. 
Il est d'ailleurs évident que OA est un axe de symétrie. 

3° a = 0. — Le problème peut s'énoncer : Trouver le lieu des points 
de contact des tangentes communes à une circonférence fixe et à une 
circonférence variable o) qui passe par et dont le centre décrit uae droite A 
passant par 0. 

Soient M et P les points de contact, A et B les points de rencontre de A et du cercle lixe. Menons 
MA et abaissons OC perpendiculaire sur <oM. Nous avons 

OC = MP, CM = OP 

et oiG = ojM - cm == «M - OP = <oO - OA = «A . 

Les deux triangles loMA et loCO sont égaux; par suite 

MA = CO = MP. 
MA est donc tangente à la circonférence 0, et le lieu du point M 
est la tangente en A à cette cirrconférenco. 

Si on avait supposé le point m sur la portion de la droite A à 
droite de 0, on aurait trouvé poar lieu la tangente en B à la circonférence 0. 

(L. P. Raxdon, lycée Louis-le-Grand.) 

[Ont résolu la même question : MM. Auzeram, lycée de Toulouse ; E. Baurlr^n, A. Lecotiuicrre, Ivoc'e de Rouen ; C. Iluïon : E. Jossinet, lvc<;e de 
Troyes; A. PouiUart, E. Ronzel, lycéedeClennont.] i > . 





86 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



29. — D'un point P du plan d'une ellipse, on mène les quatre norma'e.i, et l'on coiuidère le quadrilatère 
formé par les tangentes aux points d'incidence. 

4° Sur quelle courbe doit élre siluô le point P poar que le quadrilatère soit circonscrijHible à un cercle? 

2° Trouver le lieu du centre du cercle inscrit, el le lieu des sommets du quadrilatère, lorsque le point P 
décrit la courbe précédemment trouvée. 

L'équation tanijonUelle tic l'ellipse rapportée à ses axes est 

n'u- + bhi' — ir- =0. (1) 

Soieut X, y les coordoiiuées du point P. On aura une relation entre les coordonnées u, v, w 
d'une tangente en un point d'incidence, en écrivant que la tlroite qui joint P au point de contact 

( j I est perpendiculaire Ji cette tancreule. On obtient ainsi 

\ IV w J ^ ^ ° 

c-uv — mcy -t- vw.r — 0, (2) 

équation tangentielle d'une parabole, tangente aux quatre tangentes à l'ellipse aux points d'incidence. 
Observons que cette parabole reste la même quand l'ellipse se déforme en conservant les mêmes foyers. 
Le quadrilatère dont il s'agit est le (juadrilatèrc formé par les tangentes communes aux courbes 
(1) et (2); l'équation générale des couiquis inscrites à ce quadrilatère sera donc 

/"(m, V, ir) — a-u- -+- b'^L-'' — ii<- + l[c''uv — uwy + vw.v^ — 0. (3) 

Exprimons que cette équation représente un cercle, et pour cela il faut écrire que les asymptotes 
sont parallèles aux droites isotropes. On sait que les coordonnées des asymiJtotes sont données par les 
équations (3) et (4) 

/■,',.(«, V, w) n: — "Iw + /.[ — uy + vx] = 0. (4) 

Eliminons w entre (3) et (4), et écrivons que le premier membre de l'équation obtenue est 
identique, à un facteur constant près, à m^ + v"^. On a ainsi 

.^=^(.^-,^), l^^. (5) 



En éliminant \ entre ces deux équations, on a le premier lieu demandé 

1 I I 

(/" ./•* C'' 



(«) 



courbe du quatrième degré que l'on construit aisément, en résolvant par rapport à y. Elle a un point 

double à l'origine, avec tangentes d'inflexion et deux asymptotes 
(y — ± c) parallèles à O.r. Elle est d'ailleurs symétrique par 
rapport aux deux axes. 

2° Les coordonnées du centre de la courbe (.'^) sont 

Ail , \x 

et la première des équations (5) montre que ce point décrit 
l'hyperbole équilatère ayant pour équation 
)y* — x"^ = C-. 
Enfin, si a, (î désignent les coordonnées d'un sommet Q du (juadrilatère, on peut considérer le 
point P comme le pôle normal de la polaire du point Q, ce (jui donne 




— c'aip - b'- 



y 






GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



87 



Remplaçons x et y par ces valeurs dans l'équation (6); on obtient le lieu du point Q : 
c^x''if{x^ — a^)''(jf — b^y — {b'-x^ + a^y')^[x^(if — b^)- - ifix" - a'^f] = 0, 

courbe du douzième degré. Nous allons donner une idée de sa forme. On peut construire les deux 

courbes du troisième degré 

xHif - 6^)* - j/^x' - a'^Y = [x{if- - b') + i/'x'' - a'')][x{f - /;-) - y(x^ - a^)] = 0, 

qui ont pour asymptotes les deux 
axes et respectivement les deux 
bissectrices; elles passent toutes 
deux par l'origine et les sommets 
du rectangle construit sur les 
axes. On obtient ainsi des régions 
du plan (couvertes de hachures) 
dans lesquelles il ne peut y avoir 
aucun poiut de la courbe. 

Comme l'équation de cette 
courbe peut s'écrire 

A{x^ - a^y- + B(y- - b'^f = 0, 
on voit que les quatre sommets 
du rectangle sont des points dou- 
bles, et on vérifie sans peine que 
les tangentes en ces points sont 
parallèles aux bissectrices des 
axes. En outre, l'origine est un 
point quadruple, mais nous n'a- 
vonsquedcuxbranchesde courbe 
réelles tangentes à Ox. Enfin on 
peut déterminer les branches 
infinies; on reconnaît que Ox et 

Oy sont asymptotes, et qu'où a des branches paraboliques parallèles à Qy. A l'aide de ces données, 

on peut tracer la courbe. 




(Solutions analogues par MM. Andrû Larondo, lycée l.ouis-le-Grand; Caiiiil 

Seconde solution. • — Soit — -+- ^ — 1 



Descombes, maître répétiteur au lycée d'Annecy. 

! Rcch, à Nancy.) 

= 0) 



l'équation de l'ellipse donnée. Exprimons que la tangente au poiut {x, y) est tangente à un cercle de 
centre (Xf,, i/o) et de rayon R, ce qui donne la condition 



m. 



1 - R'^ 



(2) 



Cette équation représente une conique coupant l'ellipse eu quatre points tels que les tangentes eu 
ces points soient tangentes au cercle considéré. Les pieds des normales issues du point P (j:, ?) sont 
sur l'hyperbole d'Apollonius ayant pour équation 

c''x>j -+- b''f,x — a'^o.ij = 0. • (3) 

Pour écrire que cette hyperbole passe par l'intersection des coniques (1) et (2), il suffît de déter- 
miner X de manière que l'équation 



88 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



\a- b' I \a* 67 \a- b- I 



(4) 



soit identique à l'cquation (3). 

Le terme constant devant être nul, on a À = 1 . 
Annulons les coefficients de a' et de y-, ce qui donne 

xl - R» + a» ==0. 2/5 - R- + 6' = . 

Ces équations donnent j/o — ^o = a- — 6- = c^, (5) 

de sorte que le lieu du centre Cest une hyperbole cquilatère. 

Pour achever d'identifier les équations (3) et('i), écrivons que les coefficients des termes semblables 
sont proportionnels, ce qui donne immédiatement 



et par suite, à cause de l'équation (t\). 



2/0 = - 
1 



\ 



(6) 



Telle est l'équation du lieu rlu point P. 

Les courbes obtenues (o) et (7) restent les mêmes pour toutes les conif[ues hoiiiofocales à l'ellipse 
donnée. 

RKMAityiiKS. — 1" Les équations ((i) donnent 

fiy„ + a.r, = 0, 
ce qui démontre que les droites OC et OP sont perpendiculaires. 

2" Le point C étant supposé connu, on en déduit le point P; pour cela, abaissons du point C la per- 
pendiculaire CQ sur le petit axe de l'ellipse et joignons le point 
Q à l'un des foyers F; enfin menons FQ' perpendiculaire à QF, 
jusqu'à sa rencontre avec le petit axe, eu Q'; le point P sera à 
l'intersection de la perpendiculaire OP à OC, et de la parallèle 
à l'axe focal, menée par Q'; la même construction exécutée en 
ordre inverse permet de trouver le point C quand le point P est 
donné. 

3» On peut déterminer géométriquement la tangente eu P 
au lieu décrit par ce point. Pour cela rappelons le théorème de 
Frégier généralisé : Si par un point <•> pris sur une conique on fait 
panser deux droites wm, (oui' formant deux faiiceaua: en involution 
et rencontrant la conique en m et m', la droite mm' passe par un 
point fixe r el la lawjenle en m à la conique correspondu la droite lor. 
La réciproque est vraie. Cela étant, supposons que deux courbes (C) et (C) se correspondent point par 
point, de sorte que la corde »nm' joignant deux points correspondants passe par un point fixe r et que les 
droites om, <oj«' forment une involution; soient ?«, un point infiniment voisin de m sur (C)etmi' un point 
infiniment voisin de m' sur (C); la conique passant par les cinq points»!, m,, m', JWi , «oest déterminée; 
en passant à la limite on obtient une conique tangente en m à la droile vil, en m' à la droite m't\ mt 
étant la tangente en m à la courbe (C) elni'l' la tangente en m' à (C), et de plus cette conique est 
tangente en c» à la droite <o.s- qui correspond à (or dans l'involution déterminée par <.>m. Min'. 

Cela posé, les droites CQ, MQ' forment une involution; elles passent par un point fixe rejeté à 
l'infini dans la direction de Ox, CM passe par un point fixe 0, la droite («'" est confondue avec Ox et 
le rayon conjugué est rejeté à l'infini; la conique auxiliaire est une parabole ayant son axe parallèle 
à Oa;. Le point C décrit une hyperbole équilatèrc; il est donc facile de construire la tangente en C, soit 



y 

Q 


G/" 


K / 




D\\ ~\ 


/ ' \ 


\l\/ 


^xT"" 


M 


Q' P ^^ 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



CD. La tangente MD à la courbe décrite par M s'obtient très aisément ea prenant I au milieu de CM et 
menant par I la parallèle à Oœ qui coupe CD au point D; il suflit de tirer MD. Cela étaut, l'angle 
MOP est droit, PM passe par uu point fixe, à l'infini sur Ox; la conique auxiliaire est tangente en à 
l'axe des y, eu M à la droite MD, en P à la droite cherchée. Donc, en se rappelant que si une conique 
est circonscrite à un triangle OMP les tangentes aux sommets du triangle coupent les côtés opposés 
en trois points eu ligne droite, on prendra le point de renconlie K de OP avec la tangente MD, le point 
de rencontre Q' de MP avec la tangente Oy; KQ' coupe OM au point L qui appartient à la tangente 
cherchée PL. 

11 reste à trouver le lieu des sommets du quadrilatère. 11 suffit pour cela de remplacer tlans l'équa- 
tiou (1), a et (B par leurs expressions connues en fonction des coordonnées {x, y) de l'un des sommets 
(formules de Desboves), ce qui donne 

1 1 c' 



y^[x' — a-}'^ x\ij'^ — b''f {b'x^ + a''y-)- 



H. PiLLEUx Uycée Louis-le-Grand). 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



24. — Un cylindre de révolution a pour axe la droite horizontale ab, a'b'; il est tangent au plan 
horizontal et il est limité par deux plans de section droite passant par les etlrémilés a, a' et b, b' de l'axe. 

Un cône, également de récolution, a pour sommet le point s, s' situé sur te 
plan horizontal; son axe passe pur le point o,o', milieu de l'axe du cylindre et 
il est, lui aussi, tangent au plan horizontal. En projection horizontale, les axes 
des deux surfaces sont perpendiculaires l'un sur l'autre. 

On demande de chercher l'intersection des deux surfaces et de représenter le 
cylindre seul en supposant le cône enlevé après avoir fait son entaille dans le 
cylindre. 

L'épure devra indiquer la marche suivie pour trouver un point courant de 
l'intersection et la tangente en ce point. Elle comportei'a également les constructions 
faites pour trouver les points les plus remarquables de l'intersection. 

Le cône et le cylindre sont circonscrits à une même sphère qui a pour 
centre le point de rencontre o, o' des axes; donc leur intersection se compose 
de deux courbes planes. Ces courbes, sections planes du cylindre de révolu- 
tion, sont des ellipses dont les projections horizontales et verticales seront des ellipses. De plus, le 
plan vertical passant par l'axe SO du cône étant un plan de symétrie, les deux ellipses projections 
horizontales de l'intersection seront symétriques l'une de l'autre par rapport à la trace horizontale so 
de ce plan. 

Pour déterminer uu point (juclcouque de l'intersection, faisons uu changement île plau vertical et 
prenons pour nouveau plan vertical de projection le plan projetant horizontalement SO; la nouvelle 
ligne de terre x",y, coïncidera avec so. Le plan de la courbe de contact du cône et de la sphère inscrite 





Echelle -.4- 



■^^w. 



QUESTIONS PROPOSÉES 91 



dans les deux surfaces données est alors ao)c\; la base du cylindre sur le nouveau plan vertical est le 
cercle de centre o'i et qui passe par o> ; la projection verticale de l'intersection des deux surfaces coïncide 
avec ce cercle. Prenons un point quelconque m'i de ce cercle; la projection horizontale de la génératrice 
du cylindre qui passe par ce point est my.;. La projection verticale de la génératrice du cône qui passe 
par lepoint m.Wi'i de l'intersection est sm'i; cherchons sa projection horizontale. Cette génératrice SM 
rencontre la courhe de contact du cône et de la sphère au point n, 7iî ; on a n'i point de rencontre de sm[ et 
de wc'i, et pour en déduire n ou rabat le cercle de contact sur le plan horizontal ; son centre i, i'i est rabattu 
en Ij. Le point cherché n, n'i est rabattu en N^ et dans le relèvement vient en n, n[; donc sn est la 
projection horizontale de SN. Elle rencontre wiiu., au point m et m, m'i est un point quelconque de l'inter- 
section des deux surfaces. Le plan tangent en m, m\ au cylindre a pour trace horizontale tt'i et le plan 
tangent au cône en ce point a pour trace horizontale «/•, d'où la tangente mt, m't' au point m, m' de la 
courbe d'intersection. Cette intersection présente deux points doubles réels: le point c,c' et le point 
to'(o, que l'on a immédiatement. 

Déterminons les points doubles en projection; l'intersection des plans de contour apparent hori- 
zontal dans les deux surfaces a pour projection horizontale éd. Le plan projetant horizontalement cette 
droite coupe le cylindre suivant deux génératrices; dans le système x,!/i le point d, d\ se déduit de ce 
ce que l'on a d'i, et on procède comme pour obtenir précédemment m connaissant m[. 

Pour la ligne dus points doubles en projection verticale on prend l'intersection mq, o/ç' des plans 
de contour apparent vertical. 

Les autres points remarquables sont ceux situés sur les contours apparents des deux surfaces. On 
a les projections verticales de ces points dans le système auxiliaire x^y^ en cherchant les projections 
verticales dans ce système des génératrices du cône qui passent par ces points ; on en déduit de suite 
les projections de ces points remarquables .dans le système xy. On a ainsi 91, d'où on arrive à g, g' situé 
sur une génératrice de contour apparent horizontal du cylindre; de même pour l, l'i,pouTj,j' et pour/j,p' 

N. Charrl'It. 
(A fait l'épure juste : 51. Ronzel, du lycée de Clermonl.) 



QUESTIONS PROPOSEES 



66. — Étant données les équations des trois côtés d'un triangle et les coordonnées d'un point du 
plan de ce triangle, reconnaître dans quelle région se trouve ce point par rapport au triangle. 

(B. N.) 

67. — On considère une ellipse E et un point P situé dans son plan. Trouver le lieu du point M 

tel que les tangentes menées du point P et du point M à l'ellipse E, forment un quadrilatère circon- 

scriptible à un cercle. 

(y. PuiG, professeur au lycée de Belfort.) 

68. — Construire la courbe ayant pour équation 

tij — :+: \/&x —x*± \/iix + a;» 3r v/3b — .x*. 



92 



QUESTIONS PROPOSÉES 



69. Ou donne une elliiise nipporlce à ses axes : 

1" Trouver l'équatiou dusysl.èuie des taugentcs meuées 

à cette courbe par un point donné P. — On prolonge ces 
tangentes PM, PM' jusqu'à la rencontre de la directrice DL 
en T et T'; trouver le lieu des posilions du point P pour que 
le point D soit le milieu de TT'. — Expliquer géométrique- 
ment le résultat. 

2" Lieu du point P pour que l'angle TFT' soit droit. — 
Montrer que ce lieu est une conique C qui a aussi pour foyer 
F et pour directrice DL — Discuter cette conique. 

3" L'ellipse donnée ayant ses foyers fixes et la eouique 
C étant une hyperbole, trouver le lieu des projections du 
fuycr F de toutes ces hyperboles sur leurs asymptotes. 

'i" Trouver l'enveloppe de la conique C quand l'ellipse 

donnée est variable, mais a ses foyers fixes. 

(Certiftcat d'aptitude à l'enseignement siiécial, IS'JO. I" sifssiun.) 

70. — Deux droites passent respectivementpar les points fixes A et B, cl interceptent une longueur 

donnée h sur l'axe y'y. 

1" Trouver le lieu géométrique du point de rencontre M de ces droites. 
2" Cette courbe C passe par A et B, on mène les tangentes en A et B 
qui se coupent en P; lieu de ce point P quand on fait varier h. 
\^ 3» Si le point B reste fixe cl si le point A se déplace sur x'x, la lon- 

\^ ^^ . gueur II étant constante, quelle ligne décriront les points de la courbe (J 

B A "^ pour lesquels la tangente est parallèle à AB? 

4" Trouver le lieu des foyers de cette nouvelle courbe, quand ou 
fait varier li. — Construire et indiquer la disposition paiticulière des 




lignes dont se compose ce dernier lieu. 



(Ceiii/iriil li'aplitml': à l'enseignement spccid, IS!H), 2' session.) 



71. — Démontrer qu'il existe sur toute strophoïde oblique dont le point double est 0, deux points 
A, B tels que, M étant un point quelconque de la courbe, le rayon vecteur OM partage en deux parties 
égales l'angle ÂMB. Déterminer la position despoinls Aet B. Démontrer ensuite que, si l'on décrit do 
comme centre, avec un rayon donné R, un cercle qui coupe la strophoïde en N, ce point est, de tous 
ceux du cercle, celui pour lequel la somme des distances aux points A etB est maximum ou minimum. 

(l>. iJAiiiiAuiN, professeur au lyc^u de Toulon.) 



Le Ih-ducleur -Gérant : H. VnHI'.RT. 



Ire Année. N" 7. Avril 1891. 



REVUE DE MÂ.THÉMA.TIQUES SPÉCIALES 



ALGEBRE 



35. — Le déterminant pj-incipal déduit du tableau des éléments d'un déterminant symétrique gauche 
est de degré pair. 

Le théorème à démontrer revient à ceci : dans un déterminant symétrique gauche A, si tous les 
mineurs de degré 2/i sont nuls, il en est de même de tous les mineurs de degré 2/î — I . 
Je poserai 2/i: — 1 = r et je désignerai un mineur de degré "ik — l par 

ûc,, Oj, ... «r désignant les rangs des ligues et B,, fl^, ... [3^ les rangs des colonnes de A auxquelles 
les éléments de D appartiennent. 

Soit p le nombre des (3 qui sont égaux à l'un des a; je puis supposer par exemple 

«1 = Pi. '^1 = %, • ■ ■ S -= Pi" aj.+t ?^ Py+fc- 

Le mineur D contient alors p éléments de la diagonale principale du déterminant gauche; je dirai 
alors que 1) renferme p zéros et je vais démontrer que, si l'on suppose nuls fous les mineurs D qui 
renferment plus de p zéros, il en est de même de ceux qui renferment j} zéros. 

Soit d'abord p <, r — \ . Je considère le mineur de degré r + '1 = 2A" 

... X,, a,,+ i fi,,+ i aj,_^2 . • • '■'•A 



^'Ip, f,...p„a,„,fV.13„+. ... p,. 

C'est un miueur du déterminant, car [î^, ^,i est différent de tous les a et a^.)_i de tous les p. Il est nul 
puiscjne tous les mineurs de degré %k sont supposés uuls. Je considère les mineurs de Dj relatifs à la 
ligne a,,4.2, c'est-à-dire qui s'obtiennent en supprimant la ligne (x,,^2 et une colonne arbitraire; ce sont 
des mineurs D de degré r renfermant au moins p + i zéros, et par suite nuls par hypothèse. Il en est de 
môme des mineurs de D, relatifs aux éléments de la colonne pp+o. Les mineurs du premier ordre de 
D, relatifs à tous les éléments d'une ligne et d'une colonne étant nuls, tous les mineurs de Dj et en 
particulier D sont nuls. 

La démonstration suppose p < r — \ ou p + 2 < )', puisqu'elle repose sur l'existence de 
aj,^.2 et de pp+2. Il reste à démontrer que les mineurs D qui renferment ?• — 1 et r zéros sont nuls; c'est 
ce qui résulte immédiatement des propriétés élémentaires des déterminants gauches; ceux qui 
renferment r zéros sont nuls comme déterminants gauches de degré impair et ceux qui en renferment 
r — 1 comme mineurs du premier ordre de déterminants gauches de degré pair nuls par hypothèse. 
La proposition est donc complètement établie. 



94 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



28. — On donne deux axes de coordonnées rectangulaires Ox. Oy, un cercle de centre et de rayon a 
et une droite PQ qui passe par le point et dont le coe/ficient angulaire est m. 

/° Trouver l'équation générale des coniques S qui passent par les points d'intersection de la droite PQ et 
du cercle et qui sont tangentes à ce cercle, au point A oii il rencontre le demi-axe Ox. 

2" Trouver le lieu des centres de toutes ces coniques. Ce lieu est une conique G. Déterminer son centre, 
ses axes et les tangentes aux points situés sur l'axe des x. Enfin construire celle conique C. 

3° Séparer sur la conique G les centres d'ellipse des centres d'hyperbole. 

4° Dans l'hypothèse où PQ tourne autour du point 0, trouver le lieu du pôle de la droite PQ par rapport 
« la conique G, puis le lieu du point d'intersection de la droite PQ avec les asymptotes de la conique G, enfin le 
lieu des sommets et le lieu des foyers de la conique G. 

t" Équation générale. — Les coniques S passant par l'inlersecliou du cercle rcpréseutépar l'équation 

a;' + y= — a* = 0, 

avec le système des deux droites définies par les équations 

// — mx = et X — a — 0, 

leur équation générale est l(x^ + y'' — a^) + (y — mx){x — a) — 0. 

2" Lieu des centres. — Les équations qui définissent le centime d'une conique S sont 

2Xcc + {y — mx) — m(x — a) = 0, 

et "lly + X — a ^ 0. 

Ou aura donc l'équation du lieu des centres des coniques S eu éliminant À entre ces deux équations. 

On trouve ainsi l'équation 

yiy — ma:) — {x — a){x + my) = 0, 

que l'on peut écrire ainsi : y'- — Imxy — x' + a (ce + my) —- 0. 

Le lieu est donc une hyperbole équilatère qui passe par l'origine et par le point A. 

On voit de plus que la tangente OT à l'origine, qui a pour 

équation 

X + my — 0, 

est perpcudiculaire à PQ et que le centre a pour coordonnées 

// 

0. 




v) ' 



>J 



C'est le point G milieu de OA. 

Cherchons les asymptotes. Le centre étant sur OA, les deux 
directions OT et OA sont conjuguées. Comme l'hyperbole est équi- 
latère, les asymptotes sont parallèles aux bissectrices desaugles 
formés par les deux droites OT et OA, ou encore éviilcmment 
pur les deux droites Oy et PQ. En menant par le point G des paral- 
lèles à ces bissectrices, on a donc les asymptotes. La construction de la coni(iue G n'ollVc plus de 
difficulté. 

3° Séparation des centres d'ellipse des centres d'hyperbole. — Soit un point (x,, y,) de la conique G, 
c'est-à-dire un point pour lequel ou a 

y'i - 2»w,i/, - xi + a(x, -i- m!/,) — 0. (1) 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



93 



Le genre de la couique S qui a pour centre {Xy, y,) dépend du signe de 

1 - 4X(À - m), 
a — -i:, 



-'Z/i 



sous la condition 

Il dépend donc du signe de l'expression 

a~ Xi a— Xf — 2my 
1 — 4 ^-^ 



(Voir les équations du centre.) 



21/1 %i 

ou de la suivante : yi — (a — x,)^ + 2m(/i(a — a;,), 

qui s'écrit encore, quand on tient compte de l'identité (1), 

a{xi 4- miji — a). 

Ainsi, le genre de la conique S dépend du signe de 

Xi + myi — a, 
car a est positif, par hypothèse. 

Or l'équation x + my — a = 

représente la droite menée par A perpendiculairement à PQ, c'est-à-dire la tangente en A à la conique G. 

Par conséquent, si le point (as,, i/i) est sur la branche de droite, comme x^ -+- mjji — a est positif, ce point 

est un centre d'hyperbole; s'il est sur la branche de gauche, comme Xi + mj/i — a est négatif, c'est un 

centre d'ellipse. 

4" Lieu du pôle de la droite PQ. — Le pôle de PQ est donné par 

2a; + 2my — a '2mx — '2ij — am — ax — nmy 
m "" ^1 "" () ' 

il est alors à l'intersection des droites représentées par 

X + my — 
et (1 + m*)(2a; - a) = 0. 

Le lieu de ce point est donc la droite ayant pour équation x— ^ ; c'est-à-dire la parallèle à 0^ 
menée par le milieu de OA . 

0° Lieu des points d'intersection de PQ avec les asymptotes de C— Transportons l'origine au point U, 
en conservant aux axes leurs directions. L'équation de la droite PQ est 

y = mix + 

celle des asymptotes de l'hyperbole G est 

î/^ — a;" — tmxy — 0. 

L'équation du lieu s'obtiendra eu éliminant m entre ces deux équations. 

On trouve ainsi 

a 

tf- = a,' • • 

•' a 

^""^ 
et l'on voit que le iiou est la strophoïde droite représentée parla figure. 

6'" Lieu des sommets de l'hyperbole C. — Conservons le nouveau système d'axes. L'équation de 

l'hyperbole G est 

«■^ 
y'' — a;^ — ^mxy -f- — = 0. 




96 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 




On aura l'équation du lieu eu cliiuinaut m entre cette équation et celle des axes, qui est 

m{x- — y*) — ^xy -^ 0. 

o- 
Ou oLlieut (!/■- -h x'^y- -^. — (x* — y-). 

Le lieu est une lemniscate qui pusse par les points et A. 

7° Lieu des foyers. — Prenons toujours les mêmes axes. Désignons 
j)ar X et y les coordonnées d'un sommet et par X et Y celles du foyer voisin. On a les relations 

œ _ y 1 

11 résulte de la que le lieu des foyers est une seconde lemniscate homothétique à la précédente. 
Le centre d'homolhétie est le point (! et le rapport d'iiomothétie — =. 

A. PouiLLART, lycée de Clermont. 

(Autres bonnes solutions par MM. A. Amlouin, élève Je marine au Kcee de Clierlwurg ; Auzeram (lycée de Toulouse); A. Dcipicrrc. élève île 
manne au coUèî,'e de Dieppe ; L. Gambey (Louis-lc-Grand) ; K. Ceneix-Chabànier, à Slarseilic ; G. 11.; L. Jossinet (lycée de Troyes/ ; K. N'au, A. de 
séguins, à Paris: L I>erréc (Condorcct'; Ed. Husson (.Nancy). En outre, MM. Ferrée et Joyant (Condorcet) ont envoyé une solution entièrement 
.lîéométrique.) ' " . 



30. — On considère les coniques citvonserites à un triangle et telles que les normales à ces coniques 
menées par l&i sommets du triangle soient concourantes. Lieu de leur point de concours: même question pour 
lei coniquci inscrites, les normales étant menées aux points de contact des côtés du trian;/le. 

Prenons le triangle donné pour triangle de référence. L'équation générale des coniques circon- 
scrites est 

/i/s + O.ZX + wxy = t.). 

Cherchons l'équation de la normale au sommet A. L'équation de la tangente en ce point est 

y.3 + Vl/ = 0. 

Colle de la normale sera do la forme |j.'z + •^'y — 0. 
Or, on sait que pour que les deux droites représentées par 

/.'• + my -i- nz = , l'x -h m'y -+- n'z = , 

soient perpendiculaires, il faut qu'on ait 

//' + mm' + nn — {mn' -+- 7i»(')cos A — inl' + In') cos li — {Ini + mi) co.s C ^ . 
On aura doue ;/,«.' + w' — (av' + v;/) cos A == , 

(l'oit 



jji cos A — V (ji — V cos A 

L'équation de la uorniitle est donc 

(y. cos A — v)5 + (jj. — V cos A)^ — 
ou \i.{y + z cos A) — v(3 + y cos A) . 

Les équations des normales aux points B et G sei'ont de même 
vc; + .r cos B) = À(cc + z cos B) , 
l{x + y cos C) = y-iy -\- x cos C) . 



GÉOMÉTRIE ANALYT.QUE 



97 



Élimiuons X, ;x, v entre ces trois équations, nous aurons l'équation du lieu. Il suffît de les multiplier 
membre à membre : 

(y + z cos A)(; + X cos B){x + ij rosC) = {z + y cos k)[x + : ces B')(j/ + .r cos G) . 

Le lieu chorclié est donc une cubique que nous allons construire. Observons pour cela que la 

droite y + z cos A = passe par le point A et 
e?t perpendiculaire au côté AB. et ainsi des droites 
semblables. Construisons toutes ces droites, et 
comme le centre du cercle circonscrit au triangle 
ABC est un point du lieu, on détermine des régions 
du plan (couvertes de hachures sur la figure) dans 
lesquelles ne peuvent se trouver aucun point de la 
courbe. Les points A, B, G, M, N, P appartiennent 
au lieu; de plus la cubique a trois points à FinfiDi 
dans les directions perpendiculaires aux côtés du 
triangle. Les droites AM, BN, GP passent par le 
centre du cercle circonscrit; on a ainsi trois cordes 
de la courbequisont divisées eu deux parties égales 
par le point de cette môme courbe; il en résulte 
que le point est centre de la cubique. Les asymp- 
totes passent par ce centre et sont perpendiculaires 
aux côtés du triangle. 

On peut mettre l'équation sous la forme 
x{if~z-){m'Qm G - cosA)+?/(s'— a;=')(fosGcos A — cosB) 
+ .3(x-= — rf){mt, A cos B — cos G) = 0, 

ce qui montre que la cubique passe parles centres des cercles inscrit et ex-inscrits au triangle ABG. 
On peut vérifier également qu'elle passe par l'orthocentre du même triangle. 
Ces données sont plus que suffisantes pour tracer la courbe. 

Remarque. — Si le triangle ABG est isocèle, le lieu se décompose eu une droite : la hauteur issue 
du sommet, et une hyperbole ayant pour asymptotes les perpendiculaires aux milieux des côtés égaux 
et passant par les extrémités de la base. 

Si le triangle est équilatéral, le lieu se réduit aux trois hauteurs. 
Considérons maintenant les coniques inscrites, dont l'équation générale est 

\/\x + sj \i.y + \J'^Z = 0. 
La droite qui joint A au point de contact du côté BG a pour équation 

\,.]] - ^,z = 0. 
Une droite quelconque passant par ce poiut de contact aura donc pour équation 

\>.y — v3 + /j; = 0. 
En exprimant que cette droile est perpendiculaire à BG, on obtient 

/ - ;j. COS G — V cos B, 
d'où l'équation de la normale, 

a(// -I X COS G) = v(; + X COS B). 

Les deux autres seront 

•^{z + y cos A) = A(cc + y cos G), 

},(a; + s cos B) = ;/(i/ + ; cos A). 




i)8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Éliminons /, y., v; on obtient 

(z + y ces A)(x + ; cos li){y + x cos C) -= (y + z cos A)(s + a; ces B)(x + y cos C) ; 

on obtient le même lieu que précédemment. 

On voit ainsi que l'orthocentre et les centres dos cercles inscrit et cx-inscrits au triangle ABC 

sont sur cette courbe. 

E. Jacquest, lycée de Dijon. 

(Ont résolu la mime question : MM. Tli. r.nt. lycée do Montpellier; I.cmnult, soldat au 93» de ligne. ;i La Uoche-sur-Yon; Perrée, lycée Condoroel: 
lionzel, lycée de Clermonl.; 

M. J.-G. Darboux, élève au lycée Louis-le-Graud, observe qti'ou pouvait démontrer a jn-iori 
l'identité des deux lieux. 

En efTet, la condition nécessaire et suffisante pour que les normales en A, B, G à une conique 

circonscrite concourent en un point M, est que les perpendiculaires menées par A, B, G respectivement 

aux droites MA, MB, MG rencontrent les côtés opposés en trois points a, b, c en ligne droite; et celte 

condition s'écrit 

sin rtAB sin /iBG siu cCA 



sin oAG sin 6bA sin cGB 



= 1. (1) 



D'autre part, pour que les normales à une conique inscrite menées aux points de contact avec les 
côtés du triangle concourent au même point M, il faut et il suffît qu'on projetant M en a, 8, y respec- 
tivement sur les côtés BC, CA, AB du triangle, les droites A-/, B8, G/ soient concourantes, c'est-à-dire 

aB êG vA 

qu'on ait T'-h-u''--^- ^ 

' aLi pA. ya 

Il est aisé de voir que ces deux relations sont conséquences l'une de l'autre. 
En efTet, ou a, au signe près. 

A Y A 6 

-—V = sin AMy = siu «AB, ■—— — siu AMS = sin «AC, 

AM ' ' AM ' 

Av sin oÂB 

il oii tÎ = —■ rr, ■ 

Afl sm aAG 

On a trois relations analogues, et eu les multipliant membre ù menibre, ou voit que les premiers 
membres des r(^latious (1) et (2) ont la même valeur absolue; on constate aisément qu'ils ont des 
signes contraires. Les deux relations sont donc conséquences l'une de l'autre, et tout point M tl'un des 
lieux est situé sur l'autre. 



Menons par les sommets A, B. G du triangle les tangentes à la conique circonscrite. On sait que 
les points I),E, F, où elles rcucontreut les côtés opposés, sont en ligne droite. On a donc la relaliou 

sin DAB sin EBG sin FGA 

sinDAG ' siu ÈBA ' sin'EGB " ' ^ ' 

Soit M un point du lieu ; les angles que fait la droite AD avec AB et AG sont, à un multiple près 

tlo -K, égaux à ceux que fait AM avec les perpendiculaires élevées en A sur AB et AG. 

Or, si l'on prend le triangle ABG pour triangle de référence, en supposant les coordonnées trili- 

néaires normales, les é(iualious des ])erpeudiculaires élevées en A, sur AB et AG, sont t/ + r cos A — 

i » A TA ■ !.. , - , , sin DAB i/+5C0sA , 

et z -h y cos A — (). Donc si M a pour coordonnées x, y. :■, les rapports . ,— -^ et ~ --ont même 

'■ .,/ > Il sin DAG z+y cos A. 

valeur absolue. De plus ils ont même signe : eu effet, il en est évidemment ainsi quand M est sur la 

bissectrice intérieure de l'angle en A ; il en est donc de même pour toute position de M, car ces rapports 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 99 



ne peuvent changer de signe qu'en même temps, quand M se déplace dans le plan. Par suite l'équation 
du lieu est 

y -i- 3 cos A. z -h X cos B a; 4- y cos C 
z -h y cos A. a;+;;cosB y-i-xcoslJi~ 

Le lieu est donc une cubique qui passe par les sommets du triangle, par le centre du 
cercle circonscrit, parles centres I. J„, I,,, l, des cercles inscrit et es-iascrits, et par les points a, ^, y, 
diamétralement opposés à A, B, C sur le cercle circonscrit. Tous ces résultats sont évidents 
également par la géométrie. 

On voit aussi que la courbe est sa propre transformée par points inversas, ce qu'on peut démontrer 
a priori de la manière suivante. A la droite D E F correspond, dans la transformation inverse, une 
conique I circonscrite au triangle ; l'angle droit des transversales AM, AD se conserve ; donc les normales 
en A, B. G à la conique S ont pour transformées les normales en A, B, C à la conique -. Ces dernières 
concourent en un point M,, inverse de M; le point M, est donc assujetti à la même condition que le 
point M, et appartient au même lieu. 

Par suite la cubique passe par le point inverse du centre du cercle circonscrit, c'est-à-dire par 
lorthocentre H, et par des points inverses de a, f , y, c'est-a-dire par les points à l'infini sur les hauteurs. 

Considérons maintenant une conique tangente à BC, CA,AB en A,, Aj, A^, et telle que les normales 

en Al. A,, Aj concourent en un point X. Le théorème de Garnot donne alors 

AJÎ_B^C^^_ 

AiC B,A GjB ' ^ ' 

Ig A,NB fg B.XG tg C.XA 

ou — — ^ — ^î — î = — 1. 

tgA.^U tgB.XA tgCiXB 

D'autre pari, on a évidemment 

sinNAB sin NCA sin NBC 
sinNAG ' sin NUB ' sin NBA ~ ' 

Les angles de sommet N sont, à des multiples de - près, les compléments des angles formés aux 
sommets du triangle par AN, BN, GX. Donc les conditions (1) et (2) s'équivalent, car les compléments de 
ces angles aux sommets ne sont autres que les angles formés aux sommets du triangle par AD, BE, CF. 

Ce second mode de génération du lieu montre évidemment que le point est centre de la courbe. 
Il résulte de cette symétrie que les asymptotes sont nécessairement les médiatrices, quand la cubique 
ne se décompose pas, et qu'il y a inflexion en 0. 

La courbe ne se décompose d'ailleurs que si le triangle est équilatéral. Il suffit de remarquer que, 
si la cubique se décompose en une conique et une droite, ces dernières seraient inverses l'une de 
l'autre, et l'équation de la cubique aurait la forme 

{Ix + my + nz}{lyz + mzx -h nxy) = 0, 
qu'on ne peut identifier avec celle qu'on a déjà trouvée, qu'en posant Z = m = n = 0. Ce raison- 
nement n'est en défaut que si la courbe est composée de trois des six bissectrices du triangle. Mais 
comme elle doit passer par 0, il faut que les points I et se confondent, c'est-à-dire que le triangle 
soit équilatéral. Dans ce cas, en effet, la cubique se réduit aux trois bissectrices intérieures. 

Elle ne peut dans aucun autre cas être unieursale et pourvue d'un seul point double, puisque de 
celui-là on en pourrait toujours déduire un second. 

(Cette cubique est connue; elle a été complètement étudiée dans la Nouvelle Correspondance 
mathématique (1878), et présente plusieurs autres modes de génération.) 

H. DE MoNTiLLE, Ivccc Louis-le-Grand. 



100 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



41. — Soil ABGD un quadrilatère inscriptiblc; soit E le point de concours des cotés opposés AB, DC et 
soit F le point de concours des côtés AD, BC; on prend sur EA, EG = AB et sur ED, EH = CD. 

Démontrer que GH est le double de la droite qui joint les milieux des diar/onales AC. BD et que V.V est 
tangente au cercle circonscrit au triangle EGH. 

Prenons pour axes les droites EA et ED. Soient a, b les abscisses des points A et B; f, </ les 

ordonnées des points G et D. 

Les coordonnées du point M, milieu de AC. sout - • ^ ; 

2 2 

celles du point N, milieu de BD, sont ^i -; par suite 

2 2' 

\ , 

MN = - \/(rt - b)- + (c — dy- + 2(a - b)(c — d\ cos 0, 

étant r&ngle des axes. D'autre part, l'abscisse de G est 
b — a, l'ordonnée de H est c — d; par suite 

GH = \/[a — 6i^ + (c — df + 2(a — b){c — d\ cos 0; 

'■ donc GH ::= 2MX. 

La droite EF joint l'origine E au point de rencontre des droites AD et BC, qui ont respectivement 
pour équation 




■V , y 



*s-' 



0, 



y 



i -=0. 



Retranchons membre à membre ces deux équations; on a l'équation de EF : 



(»-^'G-à)-«. 



qui peut s'écrire, en observant que ab = cd, 

x{b — a) ■\- y{c — d) — 0. 
D'autre part, le cercle circonscrit au triangle EGH a pour équation 

x^ + y- + "^xy cos — xib — o)— y{c — d) = 0, 

et l'on voit que la tangente à l'origine est la droite EF. 

Remarquons que la première propriété démontrée subsiste pour un quadrilatère quelconque. 

C. II. 

Solution GÉOMÉTniQUE. — Joignons les points M et N au milieu P de AD. Les deux triangles EHG et 
MNP sont semblables comme ayant uu angle égal compris entre deux côtés proportionnels; en efTet, MP 
est parallèle à CD et égal à sa moitié, NP est parallèle à AB el égal à sa moitié. Comme EH = 2MP, 
il en résulte que GH = 2MN. 

L'axe radical du cercle donné et du cercle circonscrit au triangle EGH est la droite RS (jui joint 
les milieux R et S de EC et EB, puisqu'on a visiblement 

RH X RE = RD X RG , 

SG X SE =. SA X SB . 

Or les polaires d'un point quelconque par rapport à tous les cercles passant par l'intersection du 

cercle donné et du cercle EGH passent par un point fixe. La polaire du point E par rapport au cercle 

donné est la droite FK; la polaire du môme point E par rapport au cercle formé par l'axe radical RS 

et la droite de l'infini est la droite BC; KF el BCsecoupentcu F; et c'est par ce point F que passeront 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 101 



les polaires du point E par rapport à tous les cercles du faisceau. Il en résulte que EF est la polaire 

de E par rapport au cercle EGH, c'est-à-dire que cette droite est tangente en E à ce cercle. 

AizERAM, lycCc de Toulouse. 

[Solut'ons analogues par M™'" Vve PriniP (Bruxelles); par MM. Audouin (lycée de Cherbourg); G. Cuny (école Sainl-Sigisbert, à Nancy); 
D.-J. (Ijcéede Troyes) ; Auguste Lecoquierre ilycCe de Itouen): Gaston Leverve (lycée de Houen); L. Perrée (Condorcel); L.-t'. Raiidon (Louis- 
le-GMn'd).] 



43. — Lieu du centre de (/ravilé d'un triangle équitatéral inscrit ou circonscrit à une coniciue donnée. 
Supposons que la conique donnée soit une ellipse définie par l'équation 

S = b°-x'' + ay - a^6* = 0. 
Si R est le rayon du cercle inscrit à un triangle équilatéral de centre (a, S), ce cercle a pour équation 

S' = (X - aY + (2/ - [if - H^ = 0. 
Le cercle circonscrit a même centre et un rayon double ; son équation est donc 

s; = (x - ay + (y - p)^ - 4R' = 0. 
Enfin, le cercle par rapport auquel le triangle est autopolaire a même centre et pour rayon R/y/i; 

son équation est 

^ S. := (x - a)2 -h {y - fi]^ + 2R^ ^ 0. 

Nous observerons que, réciproquement, tout triangle circonscrit à S' et autopolaire par rapport à S;,, 
est un triangle équilatéral de centre (a, S); de même tout triangle inscrit dans Si et aulopolaire par rap- 
port à Sô est aussi un triangle équilatéral de centre (a, |i). 

1". — Cherchons le lieu des centres des triangles équilatéraux inscrits dans la conique S. Si (a, (5) 
est un point du lieu, le triangle correspondant est autopolairc par rapport à Sî et inscrit dans S; donc 
en prenant les invariants simultanés de S et S^, ou aura <-/ = 0, c'est-à-dire 

6«(a^ + 2R^) + a^p- -*- 2R=j - a=6"- = 
ou b'y} + a^p'' - a'b^ = - 2(a^ + b'')R~. (1) 

D'autre part, le même triangle est circonscrit à S' et inscrit dans S; donc les invariants relatifs à 

S et S' donnent ,„ , ., „ 

(-)'2 _ 4A'i-) = 

ou [b\x^ - R«) 4- a'ip- - R«) - a-b'Y - ARV-b'[{a- -+- b^) - i^^ + ft- - Rv] ^^ 0. (2) 

Eliminant R* entre (1) et (2), on aura l'équation du lieu. On peut poser pour cela 

b^x^ + ay - a^b-" = H; 
on tire alors de (1) ^^ 

R^ " 



2(a^ -^ 6^j' 
en remplaçant dans (2), on voit aisément que H est en facteur, et en le supprimant, il vient 

6«a^(a'» -t- 36^)^ + a-p-'ip'' + 3a^)'^ - a'^b^c' = 0, 
qui représente une ellipse ayant mêmes axes que l'ellipso donnée. 

2°. — Soient (a, p) le centre d'un triangle équilatéral circonscrit à S. Comme ce triangle est aussi 
autopolaire à S2, en calculant les invariants relatifs à S et Sj, on aura == 0, ou 

a'-b\a- + b^) - a^b\o,^ + p^ + 2R') = 
ou 2R'^ -^ a' + b^ - T.'' - p\ (3) 

Ce même triangle est circonscrit à S et inscrit dans Si; on a donc, entre les invariants de ces deux 

coniques, _ ... „ 

^ ' (-)^ - 4M-)' = 0, 

[0*6^ + «■■'6' - a'b«(a2 + fj2 - 4R^)]^ = - 4a'6*[6Va'' - 4R^) + a^(p^ - 4R^) - a^6«] (4) 



102 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Éliminant R* entre (3) et (4), on aura l'équation du lieu. On obtient ainsi, en remplaçant a et ^ 

par X et y, 

{x* + y* - a' - b')[9{x* -4- i/«) - a» - 6"] + .4(ô»a;' + o'«/« - a*b^) = 0. (S) 

C't.'st une courbe du quatrième degré, bicirculaire, qu'on peut couBtruire aisément en passant en 
coordonnées polaires. 

On obtient 9p' - 2c«(.ort' + .36- - 2c"- siu' u) + c' = 0, 

et l'on voit aisément qu'on a toujours quatre racinas réelles, deux à deux égales et de signes contraires. 
La courbe se compose donc de deux ovales symétriques par rapport aux axes de coordonnées. 




En se reportant à l'équation (S), on remarque que l'ellipse donnée et les deux cercles 

x^ + y- = a'' + b-, 

a» + b* 
x- + y^ ^ — g- - 

déterminent des régions du plan où peut se trouver la courbe. Le premier de ces cercles est le cercle 

orthoptique, le deuxième est un cercle de rayon trois fois moindre qui ne rencontre l'ellipse que si 

o" > 86». 

On a donc les deux formes de courbe ci-contre, correspondant: la première au cas de a» < 86», 

et la deuxième au cas de a» > 86-. 

(H. PiLLEUx, lycée Louis-le-Grand.) 

Ont résolu la mrme question ; MM. J.-G. Darboux, lyc«!e Louis-le-Grand ; L. Ferrée, lycée Condorcel.] 

Remarque. — On peut obtenir très simplement le lieu du centre de gravité d'un triangle équilatéral 
inscrit dans une conique donnée. 

Supposons d'abord que la conique soit à centre, et pour fixer les idées, soit une ellipse. 

Rapportons la courbe à ses axes de symétrie et soient (a, f) les coordonnées du centre de gravité 
d'un triangle équilatéral inscrit à l'ellipse, R étant le rayon du cercle circonscrit à ce triangle. 

L'équation de ce cercle est 

a;»+j/» - 2ï.T - 2,31/ + a» + ^» - R» = 0. 
Celle de l'ellipse est 

a* 6» 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 103 



Par suite l'équation aux abscisses des points d'intersection de ces deux courbes est la suivante ; 
c^x' - 'm'^c'ax' + . . . = 0, 

de sorte que la somme des racines est égale a — ~ ■ 

Trois des points communs à l'ellipse et au cercle sont les sommets du triangle équilatéral considéré; 
si l'on désigne par x l'abscisse du quatrième point d'intersection, en remarquant que la somme des 

abscisses des sommets du triangle équilatéral est égale à 3a. on a 'ây. -h x -- ' < 

c- 
2a^ - 3c' 3ù' + a- 

d'oli X = ~ a =• a . , - 

C' C* 

On trouve de même pour l'ordonnée correspondante 

3a'' + 6^ 

Donc ou obtient l'équation du lieu eu écrivant que le point {x, y) est sur l'ellipse, ce qui donne 

(36'' + ttM'- — + (3a^ + ÔM' ^ = c'. 
a'' b'- 

Si la conique donnée est une parabole, {y- — 2px = 0), l'équation aux abscisses des points 

d'intersection avec le cercle circonscrit à un triangle équilatéral inscrit lui-même à la parabole est 

ce' + i(p — x)x'' + . . . =0. 

d'où, en raisonnant comme plus haut, x = ol — Ip; puis, en remarquant que la somme des ordonnées 
est nulle : y — — 3p. De sorte que 

est l'équation du lieu. 



S sin cp 
44. — L'aire latérale d'un cône derévolulion limilé par une section elliptique a pour mesure --. > 

S désignant l'aire de la base, 9 l'angle que fait son plan avec l'axe du cône et 7. le demi-angle d'ouverture du 
cône. 

Désignons par V le volume du cône, par S l'aire de la base elliptique et par /( la hauteur ; on sait que 

V=^^. (1) 

Soit P la trace de l'axe du cône sur le plan de la base; le point P est à égale distance K de toutes 
les génératrices. Il en résulte que l'on a aussi, en désignant par S' l'aire lalérale, 

V=^-^. (2) 

3 

La comparaison des formules (1) et (2) donne 

S'- S - • 

Mais en désignant par A le sommet du cône, par a le demi-angle d'ouverture et par cp l'angle que le 
plan de la section elliptique fait avec l'axe AP, on a immédiatement h = AP.sin 9, K = AP sin a; 

sincp 

donc S = S. -• 

sin a 

V (M. G.-B. Vehrina, k Voltn.) 

Autres solutions: M. E. Jossinct, maître lî'pétiteiir au lyci^e de Troyes ; E. Marey-Monge (lycée Lûuis-Ie-Grand) ; Parrde, lyc& (Condorcel); 
Cl Wavranl (lycée de Toulon). 



lOi 



PHYSIQIE 



jjme Y" p_ Prime (Bruxelles) s'appuie sur le Ihéorome suivant : 

Si l'on porte, sur tes normales en chacun des points d'une surface fermée convexe, des longueurs propor- 
tionnelles aux éléments de surface qui se trouvent aux pieds de ces normales et, si l'on donne à toutes les longururs 
la direction de l'intérieur vers l'extérieur de la surface, la somme algébrique de leurs projections sur un axe 
quelconque est identiquement nulle. 

Dans le cas du théorème do M. Jamet, la surface peut être regardée comme fermée par une face 
elliptique et une iufmitc do facettes triangulaires. Les perpendiculaires à !a face elliptique étant 
parallèles et de môme sens, peuvent être remplacées par une perpendiculaire unique égale à S et 



gulaires font, avec le même axe. un angle constant égal à - — a. Désignons l'une quelconque de ces 

perpendiculaires par s, nous aurons alors, en projetant sur l'axe de cùne et en remarquant que la 
projection de s est opposée à celle de S : 

S sin 9 - il 5.sin a. 
Mais 1 s. sin a - siu ï.'ils; 

S. sin C5 
donc ils — ^• 



PlIVSIOUE 



45. — Un appareil à eau de Sell: (système D. Fèvre) est formé de deux vases A et B. Soit a le volume 
du récipient A, et h celui du récipient B. On demande quel poids minimum de 
bicarbonate de soude il faudra employer pour qxie le liquide s'éeoulc de l'appareil 
très lentement et complètement. 

On donne le coe/ficienl de solubilité c de l'acide carbonique ii la température 
de l'appareil. Cas particulier : c = 1 (coefficient à iS"). 

examiner ce qui se produit quand le rapport - est négligeable. On prendra 

a 

parllculièrement a = ^litres, h ^ i/2litre, h = 54"", la pression étant de~i6"" 




et la température de l-'i". 

Les équivalents du bicarbonate de soude et de l'acide carbonique 
étant 81 et 44, si l'on désigne par /) le poids d'acide carbonique qui se 
dégagoetpara; le poidsde bicarbonate de soude qu'il faut introduire, on a 

a; _ 84 21 

p-U' ^-Pu' 

Si nous désignons par P, la pression de l'acide carbonique dans l'appareil la réaction terminée 
et avant que l'écoulement commence, on a 

(a 4- 6)1,293 X 1,5-29 P, 
p = : X 



1 + lOï 



76 



PHYSIQUE lOo 



Tout revient à calculer P,. 

Considérons l'appareil à un certain moment, oli le volume d'eau gazeuse est V et la pression 
P; il s'écoule un certain volume AV qui emporte avec lui une certaine massedegaz AV.c.P; il se produit 
une diminution de pression AP. 

AV.c.P Oit la différence des quantités d'acide carbonique contenues dans l'appareil avant et après 
l'ccoulemeut; ou a donc 

AV.c.P - (Vc + a + b - VjP - [(Y - AYjc + a + 6 - (V - AYj][P - APJ. 

Si noiis faisons tendre AV et AP vers 0. et si nous prenons AV ou AP comme infiniment petit 
princip.d, AP.AV est uu infiniment petit du second ordre que nous pourrons négliger. Ou peut alor-s 
écrire 

\ dV I 



P rfV V(c - 1) + a + 6 

Intégrant, il vient L.P — L.[Y(c — I) + a+ 6] + C*. 

Pour V = fl, P — P,, et pour V — 0. P prend la valeur V^, pression du gaz dans l'appareil quaud 
toute l'eau est écoulée. On a donc 

L.Pi = -L(ac + 6)+iy; L.P, = — *- - L'a + è) + C'^; 

c — 1 c — 1 

p, 1 nr- -u h 

d'où L-i^— ^L. 



Pj c — 1 a + b 
Remontant à la fonction exponentielle, ou a 

Galculous maintenant Pj. L'air qui occupait le volume 6 à la pression "(>'" occupe à la fin le 

volume a + 6; il supportera donc une pression égale à "6 y . Par suite F désignant la force 

élasli(iue maxima de la vapeur d'eau à 15°, on a 

ià,b a + b 

Pour le cas où c— i, Pi prend la forme !'•; nous pouvons faire disparaître cette indétermination. 

Nous avons 

ac + al) ac + b + n — a . aie — 1 ) 
1 + 



a + b a + b a+b 

„ a(c — \) \ ,, , I a 

Posons j— = — > d ou — 7 = m r ■ 

a+b m c — i a + b 

Par suite, Pj = P.f 1 h — ) "^^ et, en passant à lu limite. 

Pi = l\t^r^> . 

Si ~ est néffliceable, c'est-à-dire si b est sensiblement nul, 

a ^ ^ 

P — P p 



106 



CONCOURS DE 1890 



Application numérique. — On trouve, en appliquant les formules précédentes 

P, = 72™, P, ^ ilS'"' 
5,3x1,293x1,529 178 
' 7tt 



Par suite, 



P=- 



et 



1 + loa 

21 5,5x1,293x1,529 178 



11 



1 + io% 



(0 



(E. MAnEY-MoNGE, lycée Louis-le-Grand.) 



Remauqle. — Dans la pratique, on ne lire de l'appareil (ju'une petite quantité d'eau à la fois; l'eau 
s'écoulant dans celte opération coniienl plus de gnz que si l'écoulement était lent; il faudra donc un excès 
d'acide carbonique, ce qui entraîne l'emploi d'un poids de bicarbonate de soude supérieur à ■'iGs''; on prend 
i^'énéralemenl environ 02 grammes de bicarbonate avec 50 grammes d'acide larlrique, afin que l'eau gazeuse 
j aillisse jusqu'au bout. 



CONCOURS DE 1890 (Suite). 



ECOLE DES MINES DE SAINT-ETIENNE 



Concours principal. 



Cruiii'Hrie (tmiltjliqtu:. 

72. — On considore les coniques en nombre infini qui passent par doux points A et B et qui sont telles 

que pour chacune d'elles la droite AB soit l'un des deux diamètres conjugués égaux. On demande de déterminer : 

1" Le lieu des foyers ; 

2'^ Le lieu des sommets de ces coniques. 

(I" août. — i heures.} 

Calcul. 



Résoudre le triangle : 



20l6n>,2.'i.'; 
lirsullats 




A' 



c - 1602-",309, C = 22° 37' li",52. 

1" A =: 45» 00' 31 ",23 B = 112» 22' 17",23 (» = 3832">,i5 
S = SlsaTSl'ni.lO 

I3i" 59' 2>s","7 B' = 22° 23' 19",71 b' = 1386'",79 
S' =: 89905i""i,35 



( ;■' août. — / heure.) 



Dessin (jraiihiqii 



l'Itant donné uu cène oblique à base circulaire, on mène par un point de 
son axe SO une droite D et par cette droite deux plans quelconques. 
Construire l'intersection de ces plans avec la surface dudit cono. 

; ï am'it. — :i heures.) 
l'Inisique et cliiiiiie. 

I. — Déliuition et mesure de la température. Thermomètre à mercure, thermomètre à air, pyromètres. 

II. — Propriétés, fabrication et principaux usages industriels de l'acide sulfurique. 

i août. — -'i heures. ) 



QUESTIONS PROPOSÉES 



107 



Concours supplémentaire (1). 

Géométrie analytique. 



j^2 _j_ Q^ _|_ [ 

73. — Discuter l'équation y = — ^-—^^ — . Rapporter cette courbe à ses axes, sachant que les axes 
primitifs des coordonnées sont rectangulaires. 

74. — Construire la courbe représentée en coordonnées polaires par l'équation 

w = f(,o+ l)(p + '2). 

I 55 octobre.) 
Dessin. 

Intersection d'une sphère avec un cône de révolution droit. 

L'épure servant de composition de dessin devra être passée à l'encre de Chine. 

Calcul. 

Résoudre le triangle : A = io", b = lQ'26''\Wi, c = SOl^'/lM. 
liésuUats : B = 112° 23' 4", 20 C = 22° 36' 55",80 a = UlZ^,il S — 545653'"i,32. 

Physique et chimie. 

I. — Préparation et propriétés du phosphore. Ses principaux composés avec les autres métalloïdes. 

II. — Détermination des indices de réfraction. 

III. — Réglage et mise en service d'une balance de précision. Exécution d'une double pesée. 




QUESTIONS PROPOSÉES 



75. — Étant dounces les deux équations 

ax^ + hx'^ + ca; + d — 0, 
a'x'' + b'x + c' =0, 

quelle relatiou doit exister entre les coefficients pour que les deux équalious ne puissent avoir une 
racine commune sans en avoir deux? 

76. — Étant données les équations de quatre droites situées dans un même plan, trouver les 
coordonnées de ceux des six points d'intersection qui sont les sommets d'un quadrilatère convexe. 

(Emile BoREL.) 

77. — Ou donne une conique (C) et un cercle qui a sou centre en l'un des foyers de la coui(iue. 
Par les points A et B où une tangente mobile au cercle rencontre la conique (G), on mène les deux autres 
tangentes au cercle. Trouver le lieu de leur point de rencontre. 

(P. AiuERT, professeur au lyccc d'Orléans.) 



(1) Ce concours, qui était réservé aux candidats admissibles et non admis à l'école polytechnique, ainsi qu'aux élèves 
de l'école des mines de Saint-Étienne renvoyés après une première année d'études, n'aura plus lieu à l'avenir. 



108 QUESTIONS PROPOSÉES 



78. — Ou abaisse d'un poiut du plan d'une ellipse les quatre normales à cette ellipse et l'on 

considère le quadrilatère formé par les taugentes à l'ellipse menées aux pieds des normales. Le lieu 

des points P tels que ce quadrilatère soit inscriptible dans un cercle se compose: l°des diagonales du 

rectangle construit sur los axes de l'ellipse; 2° des perpendiculaires à ces diagonales passant par le 

centre do l'ellipse; 3° de la podaire du centre d'une hyperbole ayant même centre et mêmes directions 

d'axes que l'ellipse. 

(E.-N. Bahisien, capitaine au service géographique de l'armée.) 

79. — Au milieu d'une enceinte entourée de glace fondante est placé un vase solide en laiton, 
entièrement clos, qui contient un certain poids d'eau privée d'air. Le vase et l'eau qu'il contient ayant 
été chaufTés, on demande de décrire les difl'érenles phases du refroidissement, et d'indiquer les parti- 
cularités présentées par la vitesse du refroidissement suivant la quantité d'eau contenue dans le vase. 

On admettra : que le rayonnement obéit à la loi de Newtou; — que la densité de la vapeur d'eau 
reste constante et égale à 0,62:^. 

On négligera les variations du volume du vase ainsi que les variations du poids spécifique et de la 
chaleur spécifique de l'eau avec la température. Ou négligera aussi la ditrérence des deux chaleurs 
spécifiques de la vapeur d'eau. 

Données numériques générales : 

Chaleur spécifique de la vapeur d'eau 0,37 par gramme. 

Chaleur latente de vaporisation 006,5 — 0,09o(. 

Tension maximum de la vapeur d'eau eu millimèlres de mercure : 

. o^ . .-•• diS , , , 

a bO" : îi) = .i>.j. —, - 1 1, i- 
dt 

à 100": i6^ T60, — := 27,2 
itt 

ài20«: îrf^ 1491. ^=17,0. 
dt 

A/iplicalion numcrir/uc. — Calculer les vitesses de refroidissement à 100' et 120', eu prenant pour 
unité lu vitesse de refroidissement à SO". dans le cas suivant : 

Poids du vase 1 kilograiiimmo. 

Chaleur spécifique du laiton 0,080. 

Volume intérieur 1 litre. 

Poids de l'eau contenue 0s',.jS86 

{École normale, I8S9.) 



Le ncddcteur-GcraiH : U. Vl'IBKHT. 
PARIS — iMi>. (iiAix. — iioii-a-sd. 



1" Année. 



N" 8. 



Mai 1891. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



SOLUTION GÉOMÉTRIQUE DU PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 

DONNÉ AU CONCOURS d'aGRÉGATIOX (1890)' 



On donne un triangle ABC et un point P dans son plan. Trouver le Heu des centres des coniques i: inscrites 
au triangle ABC et vues du point P sous un angle donné m. 

Soit XPX' une position quelconque de l'angle co; il s'agit do déterminer le centre delà conique 
tangente aux trois côtés du triangle ABC et aux droites PX, PX'. Ou sait, d'après un théorème de Newtou, 

que toutes les coniques inscrites à 
un quadrilatère ont leurs centres 
sur la droite qui joint les milieux 
des diagonales de ce quadrilatère. 
Donc le point est à l'intersection 
des droites çv), i'vi' qui correspondent 
aux quadrilatères ABXY et ABX'Y'. 
Si l'angle donné co tourne autour 
de son sommet P, ses deux côtés 
PX, PX' décriront deux faisceaux 
homographiques. Les points de ren- 
contre X, Y du côté PX avec AG et 
BG décrivent deux divisions homo- 
graphiques; il suit de là que les 
faisceaux engendrés par BX et AY 
sont homographiques. Coupons ces deux faisceaux respectivement par les droites DF et EF joignant 
les milieux des côtés du triangle ABC; les points de rencontre ;, r^ qui sont précisément les milieux 
des diagonales du quadrilatère ABGD, décriront encore deux divisions homographiques. Par suite, la 
droite ;yi enveloppe une conique tangente aux droites DF, EF. On reconnaît immédiatement que la 
droite DE est aussi tangente à cette conique déterminée F qui est ainsi inscrite au triangle DEF. 
Effectivement, quand la droite PXY passe par le point G, les points X et Y se confondent avec le point C, 
de sorte que ; vient en D et -^ en E ; DE est donc bien une tangente à T. D'ailleurs il convient de remarquer 
que la droite ;r, coupe DE précisément au na-ilieu de la troisième diagonale du quadrilatère ABXY, et par 
conséquent le côté DE du triangle DEF doit être traité comme les deux autres. 

Lorsque X vient en A, le point ; se confond avec F, et ■f\ est alors le point de concours G des 
droites PA, EF; donc G est le point de contact de EF avec la conique F. Pour la même raison DF 
touche F au point de rencontre I de PB avec DF; le point de contact de DE est par suite déterminé et 
il se trouve au point de rencontre H des droites DE et PC. 

Cela posé, il est évident que la conique F est aussi l'enveloppe des droites l'q. D'autre part, les 
points; et ;' tracent sur DF deux divisions homographiques; nous pouvons donc faire usage de ce 




{*) Celle sululion nous a él(5 envoyiîe au mois de novembre. 



110 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 



ihéorème de Chasles [Traité des sections coniques, 473, corollaire) : Si l'on a, sur une tanç/ente fixe d'une 
conique, deux divisions homographiquc^, les tangentes menées par chaque couple de points homologues des deux 
divisions se coupent sur une conique qui a un double contact avec la proposée. D'où il suit que : 

Le lieu des ceutres des coniques inscrites au triangle ABC et vues du point fixe P sous un angle 
donné o) est une conique S qui a un double contact avec une conique déterminée V. Cette dernière 
courbe est tangente, en des points que nous avons déterminés plus haut, aux droites joignant les 
milieux des côtés du triangle ABC. 

Si l'angle m est droit, les points ;, ;' tracent deux divisions en involution, et dans ce cas le point de 
concours de deux tangentes homologues ;r,, \'-r{ décrit une droite. Le lieu du point se réduit ainsi, 
dans ce cas, à une droite. 

Faisons maintenant varier la grandeur de w. La conique 1" reste invariable; en outre, les faisceaux 
homographiques engendrés par les côtés PX et PX'de l'angle lo ont toujours les mêmes rayons doubles, 
savoir les droites isotropes issues du point P. Ou conclut de là que les ponctuelles engendrées par ; et 
^' ont toujours les mêmes points doubles imaginaires, quelle que soit la grandeur de u. Nous pouvons 
maintenant faire usage d'un autre Ihéorèaïc de Chasles : Quand deux divisions homographiques sont /'ar- 
mées sur une tangent' à um conique, si par chaque couple de points homologues des deux divisions, on mène 
des tangentes à la conique, les deux points de contact marqueront sur la courbe deux divisions homographiques, 
dont les points doubles sei-ont les points de contact des tangentes issues des points doubles des deux divisions 
rectilignes (Trailc dos sections coniques, 237). 

On reconnaît aisément que les points doubles imaginaires des deux divisions homographiques sur 
la courbe sont les points de contact de la conique variable S et de la conique fixe F. Donc, en faisant 
varier la grandeur de l'angle to, on obtient une infinité de coniques S dont chacune a un double contact 
imao-inaire avec F, la corde des contacts étant toujours la môme. Nous dirons donc que : 

Toutes les coniques S que l'on obtient en faisant varier la grandeur de l'angle u qui tourne autour du 
point fixe P, ont un double contact imaginaire avec une conique déterminée T; la corde des contacts est toujours 
la même, quelle que soit la grandeur de co. Celte droite représente aussi une conique ayant un double contact 
avec V; elle correspond au cas ou l'angle u> est droit. 

On peut résoudre d'une manière analogue ce problème plus général : Ou donne un triangle ABC 
et deux faisceaux homographiques qui ont uu centre commun P. Quel est le lieu des centres des coniques 
inscrites au triangle ABC et tangentes à deux rayons homologues des deux faisceaux. On trouve une 
conique ayant un double contact avec la conique T. 

^ D' 0. tiLTSClIE 

(Breslau). 



ECOLE NORMALE SUPERIEURE (Coiu-onrs dv i8!)0). 



49. — lînlre les coordonnées x. y d'un point .A et les coordonnées u et v d'un point B, on établit les relations 

U' + ÀUVî v' + Xvu» 

^ ^ u" + V' ' ^ ~ u= + \' ' 
où X est un nombre positif donné. 

Après avoir déduit de ces relations l'équation qui relie les coelfieients angulaires a, [3 da droites qui joignent 
l'origine aux points A, B, on montrera que, en général, à chaque point A correspondent trois positions du 
point B .• ces points B,, Bj. B, peuvent-ils être réels et distincts? Oii le point A doit-il se trouver pour qu'il en 
soit ainsi? Sur quel lieu doit-il être .situé pour que deux de ces points, B, et B,, par exemple, soient confondus? 
Si le point A décrit ce lieu, quels sont les lieux décrits par les points confondus B, , B, et /mr le jKiint B,? 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 



111 



On a 



Ivu'' 






- luv^ 1 

d'où P' - Xsîi« + Xp - a = 0. ' (1) 

A chaque valeur de a correspondeut trois valeurs de p; à chaque détermination de p correspond 

un seul système de valeurs de m et « données par les équations 

x(i + P) 

V = iu. u ^ ~ ■ 

1 + A'y 

Ainsi, à chaque valeur de [i correspond un seul point B; donc à chaque point A correspondent 
trois points B,, B^, B3. Parmi ces derniers il y en a autant de réels qu'il y a de valeurs réelles de p. 
Le discriminant de l'équation (1) est, à un facteur positif près, égal à 

ilH' - (}.'• + 18/.' - 27 b.^ + 4/.'. 
Désignons par A ce polynôme bicarré et réciproque en a. A est nul quand le point A est sur l'une 
des quatre droites passant par l'origine et dont les coefficients angulaires vérifient l'équation 

4X3,4 _ Qj ^ 18X2 _ 27)a' + il' = 0. (2) 

Ou a (À' 4- 18à'^ - 27)^ - 6iÀ« s (À' + Sà^ + 18X' - ^27)(X' - Hi' + \8}:- - "21). 

Or À» + 8À-' + 18V- - 27 = (X - 1 j(X + 3)' ; 

donc X' - 8X'^ + 18X» - 27 = (X -h l)(X - 3)\ 

de sorte que (X' 4- ISX^ - 27)' - GiX» = (X - 1)(X - 3)^1 + 1)(X + 3f. 

Comme on suppose X > 0, ou voit que la réalité des racines do l'équation {"!) dépend tlu signe de 
(X-l)(X-3). 

Si l'on suppose 1 < X < 3, les racines sont imaginaires et par suite A est positif, île sorte que daus 
ce cas un seul point B est réel. 

Supposons eu second lieu que X soit compris entre et 1 ou qu'il soit plus grand que 3; les valeurs 
de a' fournies par l'équation (2) sont réelles; leur produit est égal à 1 et leur somme a le signe de 
X' + ISX^ — 27. Or l'équation X' + 18X' — 27 = a une seule racine positive qui est comprise entre 
1 et 3; donc si l'on suppose X < 1 la somme des racines est négative et par suite les quatre racines 

de l'équaliou (2) sont imaginaires. 

Si l'on suppose X > 3 la somme des valeurs de 7.* 
est positive; ces valeurs sont donc toutes deux posi- 
tives, de sorte que les quatre racines de l'équation (2) 
sont réelles. Par suite, si l'on trace quatre droites 
passant par l'origine et dont les coefficients angu- 
laires soient égau^ aux racines de l'équation (2), en 
remarquant que si a est l'une de ces racines, les quatre 

racines sont 

1 1 

y. , -, ^ ^ ) • 

on voit que ces quatre droites sont deux à deux 
symétriques par rapport aux axes et aux bissectrices 
des axes, de sorte que l'on obtient la figure 1. 

Les droites OA, et OA, sont perpendiculaires, ainsi 
que les droites OAj et OA,. Si X = 3 ces droites se 
confondent avec les bissectrices des axes. Pour 
a = 0, on a A > 0; donc les régions couvertes de 
hachures correspondeut à un seul point B réel, les autres donnent chacune trois points B réels. 




112 ÉCOLR NORMALE SUPÉRIEURE 



Deux points B swont confondus lorsque le point A décrira l'une des quatre droites UA,,OAj, OA3. 
OA,. Désignons par Bj et B, les deux points confondus, et par B, le point isolé. 

Si l'on suppose que l'équation (1) ait une racine double p, en désignant par S, la racine simple, on 
aura f, + 2^ == À:c, ^i^ + 2pp, ^ /, S'?, = x. 

En éliminant pi et a on aura le lieu décrit par les points Bj et B3 confondus; eu éliminant 3 et il 
on aura le lieu décrit par le point isolé B,; on obtient immédiatement 

(è- - À)(),i'- 1) + 43^ ^0 
ou >?' - {'■' - 3jâ^ + / = (3) 

4Àfi| + [3 + 6à^ - X'],^î + 4à = 0. (4) 

Chacune de ces équations définit un faisceau de quatre droites disposées de la môme fanon que 
les droites OA. 

Chacun de ces faisceaux est réel si a > 3; imaginaire si À < I . 

Quand >. = 3, ou obtient, pour chacun d'eux, deux droites doubles confondues avec les deux bissec- 
trices des axes. 

Il convient encore de remarquer que si l'on donne une racine a de l'équation (2), la racine double 

a(À' — 9) 
p correspondante est déterminée par l'équation ,S = 9- p , _ -j» ^^ ^^ racine simple p, = /.a — "2} 

[Ont résolu la question 49 : MM. Ch. H. (Chaumonl) ; E. Baudran (Rouen) ; J. G. Darbohx {lycée Louis-le Grand).] 

Si l'on se donne le coefficient angulaire p de OB,, on a 

fi' + ),? _ 
1 + >.[i^ ~ "' 
et si t désigne le coefficient angulaire de OBj ou de OB3, ou a encore 

l' -h It 



donc 



1 + X<» 
t' + Il f,' + >S 



1 + W i + ),j5> 

Apres avoir supprimé la racine S, on obtient l'équation du second degré 

r-(.i + Àji') + ,î(i - >.'j< + ^^^ + 1 — 0. 

Pour que OBj soit confondu avec OB, ou OB,, il faut que cette équation aduiette encore la racine 

6, ce que donne l'équation 

P(l + /,!i=) + ?»( 1 - >') + fc- + ). = 

ou ),S* + (3 -),»)? + X = 0; 

c'est l'équation (3). 

Pour que OB^ et OB, soient confondus, on doit avoir 

[i'^ 1 - l'f - 4(fi' + ■a)(1 + XS») = ; 
c'est l'équation (4) correspondant aux points B isolés associés à deux points confondus. 

Éinilc BoKEL. 

Il reste encore à trouver les positions relatives des droites des faisceaux (x), (|i). Vfii)- Or chacune 
des équations (2), (3), (i) est bicarrée et réciproque; on a 

1 X' 4- 18X« - 27 

a* + - = , 

oc» 4X' 



ECOLE NORMALE SUPÉRIEUBE 



113 



1 r- - H 



f^vr — ^^ — 

Cela posé, quand x varie de à 1, la fonction x -\ — décroît de + c» à 2; donc, si l'on suppose 
xety compris entre et 1, l'inégalité 

X -{ — > Il + ~ entraîne x < y et inversement. 

^ !/ - 

Nous pouvons supposer a\ p'^ et ff compris chacun entre et 1. 

Considérons la différence 

X' - Cà' - 3 À» - 3 




qui a le même signe que X' — lOX^ + 9. 
Or l'identité 

X' - 10À= + 9 = (X^ - I) Ça' 4- 9) 
montre qu'en supposant X > 3, on a 
X'- iOX^ + 9 > 0; 

1 1 

donc ou a ^I + 77, > r'' + ;-2 ' 

et par suite pf < S^. 

Comparons maintenant ,3- h — ;ct -j.- h — ;, ; 
on a 
r- _ 3 X» + 18X^ - 27 3X' - 30X= -1- Ti 



Al' 
3(X' - lOX'^ + 9) 



donc, à cause de l'hypothèse X > 3, celle dill'érence est positive, et par suite 



, 1 1 

P + ", > 5.^ + -, ' 

donc jL* < a»; 

OU a ainsi fe'y ^ ^1 ^^i.^ 

donc en représentant par OB,, OB,, ÙB^, OB, les ihoites lieux de? poiuls B confondus, pjr OC,, 00^, 

OC3, OCi les droites lieux des points B isolés, ces droites sont disposées comme sur la ligure 2. 



50. — Éianl donnés deux uxcs rcclmvjulaires Ox, Oy, on prend sur l'are des x un point fixe A, sur 
l'axe des y un point fixe B, et l'on mène par le point une parallèle à la droite AB. On considère un si/stème 
de trois cercks assujettis à avoir même axe radical et à être tangents, le premier en A à l'axe des x, le second 
enB à l'axe des y, le troisième en à la purallèle à AB. 

Démonlrer que l'axe radical des trois cercles ])assc par un point fiie. 

Trouver le lieu des points communs à ces trois cercles: on indiquera quelle est en général la forme de 

cette courbe, et l'on examinera en particulier 'e cas où l'angle A du triangle OAB est égal à, -. • 



114 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 



Les cercles tangents respectivement en A à Taxe des x et en B à l'axe des y ont pour équations 
•'•' -I- J/' - '^ax - 2X// + a* = 0, (1) 

JL^ + y2 _ 2;xj; - 26^ + b^ =^ 0, (2) 

en supposant OA ~ a, OB — b. 

Le cercle passant par les points communs aux cercles représentés par (1) et (2) et passant par 
l'origine est défini par l'équation 

b-(ji- + y- — iax — 2ly) — «*{.r- + y" — 2;ax — iby) = 0. 
La tangente à l'origine à ce cercle sera parallèle à AB si les paramètres /. et a sont liés par 

l'équation 

Ib' + <ja' - 2a"-6» = 0. (3) 

L'axe radical des cercles (1) et (2) a pour équation 

2(0 - u.)x + 2(X - b)y + 6- - 0^ = 0; 

l'équation (3) exprime que cette droite passe par un point fixe; en écrivant la condition trouvée de 

cette manière : 

([A - a)a^ + (X - 6)6' - (a' + 6°-j» = 0, 

on voit immédiatement que ce point fixe a pour coordonnées 

a' - b' 



t[a^ - b^) ■' 2(a« - 6») 

2° Pour avoir l'équation du lieu des points communs aux cercles considérés, il suffit d'éliminer À 
et [A entre les équations (1), (2) et (3). On trouve ainsi 

(x- + y-)(b'x + a'y) — 2ab[bx + ay)- + a'^ù'{bx -h ay) = 0. 
Ce lieu est une cubique circulaire ayant à l'origine un point d'inflexion pour lequel la tangente 
est parallèle à AB ; cette courbe possède une asymptote réelle CD, ayant pour équation 

b'x + n'y = -— ^ • 

^ a^ + b" 

Construction de la courbe. — En posant cr = p cos o>, y = p sin w et supprimant le facteur p, 
l'équation de la courbe devient 

p'(6' cos u + fl' siii (•)) — 2o6p(6 cos w + « sin w)- + a-h-(b cos w + a sin o>) = 0. (i) 

On voit que cette équation ne change pas quand on change w en t. + m et s en —p; ou aura 
donc toute la courbe en faisant varier w de — - à -h - ■ 

En supposant 07^6, on peut évidemment supposer (j>6>0. 

La condition de réalité des racines de l'équation (4) se met aisément sous la forme 

sin fo cos 10(6 cos w + « sin (o)[a(36' — a») cos w + 6(3a' — 6=) sin o>] > 0, 

b a 36' - a' 

ou, eu posant tga = --, l'j; p - - -^- .^^^^ _ ^, . 

tg .o(lg 0, - tg a)(lg ,0 - Ig P) > 0. (5) 

Pour fixer les idées, nous supposerons les angles a et [î compris entre - ^ et + -, . 11 y a 
évidemment trois cas à distinguer. 

/cr cas. 36' — a* > 6. On a — - < a < f> < 0; si l'on mène les droites OK et OL ayant pour 

4 

coefficients angulaires'. tg a et tg p, on voit que OLest dans l'angle KO.r (fig. 1). Pour (o -^ 1 le poly- 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 



H§ 



nome (o) en fg to est positif; cette remarque détermine immédiatement des régions (couvertes de hachures 
sur la /)(/. /) dans lesquelles il n'y a aucun point de la courbe. Le produit des racines est égal à 



a'-b'ib cos u + a sin wi 
b^ cos w -i- fl' sin w 



t"' co — t"' ■/ 



tg (.- - fg^' -j. 

Le coefficient angulaire de l'asymptote CD est précisément tg' a; on a tg ,3 > tg» 7., car cette 
inégalité revient à celle-ci : u\ih- — a^j — ^'(Sa^ — h-] r 0, 

ce qui se réduit à '^Wb'' - ia' + a-'-b"- -\- b') <() ou - {a- -b'^f- <0. 

La parallèle OH à l'asymptote passe donc dans l'angle KOL. On reconnaît immédiatement que 




dans l'angle KOH le produit des valeurs de p est négatif; quand tg u = tg' y. une des racines devient 
infinie et change de signe, et quand tg u = tg p les deux racines deviennent égales. Pour toutes les 
valeurs positives de tg oj les racines de l'équation (4) sont réelles et positives ; on en conclut que la courbe 

a la forme représentée 
par la figure 1. 

2' Cas. W - a^ < 0. 
Dans ce cas 

a < < 3 < ^^ ; 

une discussion analogue 
à la précédente conduit 
à la forme représentée 
sur la figure 2. 

-5'= Cas. 3b'^ — fi- = 0. 
Dans ce cas l'auffle 




OAB 



La condition de réalité des racines s'exprime ainsi : 

sin^ (0 cos to(6 co s (o + a sin w) ^ 0. 



116 



ALGÈBRE 



Quand m traverse la valeur 0, les racines deviennent égales, mais elles restent réelles tant que 

b cos M + a sin w reste positif, c'est-à-diro 

tant que o est compris eutie y. el + -. On eu 

conclut que le point A est un poiuL double et 
que la courbe est unicursale. Si l'on trans- 
porte l'origine en A en posant x ^ a + X, 
y = Y, on trouve pour l'ensemble dos termes 
du second degré 

6' \/3(X^ - 2v'bXY - 5Y'); 
le point A est donc un nœud à tangentes réelles, 
et la courbe a la forme représentée par la 
figure 3. 

Cas particulier. — Quanil a — b, l'équation 
se décompose en x + y = et 

x'^ + y- — 2f/(x + //) + a- =0; 




Fig. 3. 



le lieu se décompose donc on une droite, la bissectrice de x'Oy et un cercle. 



E. Baudran (Rouen). 



M. Barriol (Paris) nous a envoyé une solulion analogue, 1res soiijnée. Il pose ij — lx;\i discussion est alors évidemment la même qu'avec 
des coordonnées polaires. 

[Autres solutions : MM. André Durisd (Paris); Lecosuierre (Rouen) ; Jossiset (Troyes).] 



ALGEBRE 



23. — On désigne par x et y les distancer AM, BM de deux pninlx A et B à un point M pri.i arbitrairement 
sur une droite I). On demande de déterminer les miiximum et minimum du rapport ' • 

(Ecoteiks Ponts cl Ctiaussccs, cours préparatoires, IS90.) 

Prenons pour axe des x la droite AB et pour a.xe des y une perpendiculaire à AB eu son milieu. 
Soient a et — a les abscisses des points A et B, et y = mx + p l'équation de la droite D. Soit M(.'C, ?/) 

BM 

un 1 oint (juclcouque de la droilc D; le carré du rapport -— -, que nous désignerons par r, peut s écrire 

»/' -H (x + aY 



î/" -H (X - af 



(mx + pY -1- (x 4- n)- 



= 1 + 



[mx + //)- + {x — a}- ~ ' (m t + py- + (x — «)'' 
Tout revient à étudier celte fonction quand x varie de — y. à + x . Elle est continue dans tout 
l'intervalle, excepté si le dénominateur s'annule, ce qui ne peut avoir lieu que si la droite 1) passe par 
le point A. Nous examinerons ce cas particulier tout à l'heure. 



ALGEBRE 



m 



En prenant la dérivée on obtient, après réduction, 

ia[p' + a'' - (I 



m-iX-] 



[(mx + /-; 



Le numérateur a deux racines réelles, := w — 

_ ./m 

V 1 + m- 



{x — aYf 

— ; oneu déduitle tableaudevariationsuivant. 



V 1 -(- m^ 











1 décroit min. croit max. décroît 1 

On obtient aisément les valeurs du maximum et du minimum. 
Si la droite D passe par le point A, p — — ma, et les valeurs de s et de z' deviennent 

_ _ m^(x — a)- -h (x -(- aY _, — ia{x -»- a) 



d'où le tableau ; 



(m- -h l)[x 



a)' 



(m'-* + l)(x — «)^ 



X 


— X 




— a 




+ a 






+ 


X 


=' 




- 





+ 


+ y-j \ — 


70 


-+- 






z 


1 


décroit 


min. 


croît 


+ X 




décroit 


1 





11 n'y a plus h proprement parler de maximum. 

Si la droite D est perpendiculaire à AB, et a pour abscisse b, en désignant par y rordoimée du 
point 11, on a 

^ _ y- + (b + fl)" __ iab 

^ ~ if + {b - a)'' ~ ■;/' -h (b - a)^ ' 

Tout revient à l'étude du trinôme i/^- + [b — (;)■'. 

On en déduit sans peine la variation de ;. Si 6 > 0, r a un maximum; si ^ < 0, ; a un minimum, 
et dans les deux cas pour j/ = 0. Pour 6 = a, c'est-à-dire dans le cas où la droite D passe par le 
point A, il n'y a plus de maximum. 

Remarque. — On peut obtenir géométriquement dans le cas général les points de la droite D qui 

correspondent au maximum et au minimum. 
Si l'on veut déterminer un point M de la droite pour lequel 
"RAî 
le rapport -^ soit égal à un nombre donné k, on prend sur la 

droite AB les points C et C'eonjugiiés harmoniques par rapport 

ù A et B et tels que les valeurs absolues des rapports — — 

et -— -, soient égales à A'. Le cercle décrit sur CC comme dia- 
mètre coupe la droite D aux poiuts cherches. Pour que ce problème soit possible, il faut que le cercle 
décrit sur CC comme diamètre rencontre la droite D en des points réels. On aura donc les cercles 
limites en construisant les cercles tangents à la droite D, ayant leurs centres sur AB et conjugués par 
rapport à A et B; et les points de contact de ces cercles seront les poiuts correspondant au maximum 
et au minimum. 

Imaginons l'un de ces cercles, tangent ou H à la droite D; le cercle qui passe par les poiuts A, B 
et H doit couper le cercle précédent orthogonalement, puisque la droite AB, diamètre du premier 




H8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



cercle, est coupée harnioniquemcnt par le dcuxicmo; par suite la droite D est diamètre du cercle ABH ; 
le centre de ce cercle est en I, à l'intersection de D et de Oy. Eu conséquence, on aura les points de 
contact des cercles limites, c'est-à-dire les points correspondant au maximum et au minimum, en 
prenant l'intersection de la droite D avec le cercle de contre I et de rayon lA. On a deux points do 
rencontre H et K. 

On déduit de là sans difficulté la variation du rapport--- quand le point M décrit la droite. Au 

point K correspond un minimum et au point H un maximum. 

E. Jossi.NET, lycée de Troycs. 

[Onl résolu la même question : MM. Baudran (lycée de Rouen); Maheï-Monoe (lycée Louis-le-Grand); Bonzel (lycée de Clcrmont.)] 



53. — Trouver la limite de (x -i- 1) ''^^+' — x'^ ^ quand x croit indéfiniment. 

Si l'on pose f{x) — a;''^s on a f(x -^ 1) — f{x) — /'(;), 

? désignant un nombre compris entre ce et x -i- 1 . Or 

Si X augmente indéfiniment, il en est de même de ;; or ; =- a pour limite!, -^ a pour limite 0; donc 
l'expression considérée, égale à f(x + i) — f(x), a pour limite i quand x croît indéfiniment. 

[Autres solutions par MM. Auieram ctJ. Vh;neai,\, lycée dérouleuse; Duput (Bordeaux); Hussos, lycée de Nancy; L. PEBnÉE(Condorcet).l 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



42. — Trois sommets d'un (/uadrilatère sont fixes, le quatrième décrit une droite. Trouver le lieu du 
centre de gravité du quadrilatère. 

Soient 0, A, B les trois sommets fixes; prenons comme axes OA et OB, et soient a l'abscisse du 
point A, b l'ordonnée du point B. Soit, en outre, ux + vy + iv=0, 
l'équation de la droite donnée A, que doit décrire le quatrième som 
met C du quadrilatère. Je puis définir ce point G en donnant l'équa- 
tion, y — ?»a-, de la droite OG; de telle sorte que ses coordonnées sont 

w — tvm 

x = . y = 




vm 



On sait que le centre de gravité du quadrilatère OAGB est à 
l'intersection delà droite qui joint le centre de gravité G du triangle 
OBG au centre de gravité H du triangle OAG et de celle qui joint les centres de gravité K cl L des 
triangles OAB et ABC. 

La droite KL est paiallilc à (IG et passe par le point K; son équation est donc 



y- - ^w (.!•-"). (1) 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



119 



La droite GH est parallèle a AB et passe par le i)oint G de coordonnées et 

'6(u+vm) 
b wm 

; son équation est donc 

3 '6(u+vin) 



h wm b[ 10 1 

^ ~ ^ + -1 -= - - hr + 

o 6(u +vm) a l y,iu t- vm) 



(2) 



Éliminant m entre (Il et (2), on a l'équation du lieu. Pour simplifier les calculs, transportons 
l'origiae au point K (~ . .-j • On tire de la première équation m = -, et remplaçant dans la deuxième, 

il vient 

toii 6 r a wx 1 

3(ux-T-v;/) al 6 .i{iix+vy}j 

/ \ I w , ob , , „ 

ou (iix + vy)(b.i: + ai/) + - ibx + ay\ + ^ {lu: + vy) = 0, 

/ w\f ab\ abw ^ 

[i,x + vy + -'jibx ^ ay + -^^ - — =0. 



ou encore 



Le lieu est donc une hyperbole qui passe par l'origine K et qui a pour asymptotes les deux droites 



oa; + ûî/ + — =: 0, 



ux + VII + - = 0. 
La première est parallèle à ABet rencontre OA au point A' tel que OA' 



OA 



La deuxième est parallèle à A; on la construit aisément en remarquant qu'elle rencontre le nouvel 

axe des ce en un point dont l'abscisse est le - de l'abscisse du point de rencontre de A et de Ox. 

La courbe se trouve ainsi bien déterminée par ses asymptotes et un point. 

Si la droite A est parallèle à AB, on peut poser it = b , v = a ; l'équation du lieu peut s'écrire 



I S, ab -h wl 
(ox + ay)\ Ox + ay -\ 



= 0; 



elle représente deux droites parallèles. L'une d'elles, bx + ny = , ne peut convenir; car, pour tout 
point de cette droite, la solution commune aux équations (!) et (2) est )?i — — ; le point G est alors 
à l'infini sur A et les deux droites (1) et (2) sont confondues. 
Le lieu se réduit donc à la droite 



bx + ay 



ab 



0. 



qui se construit facilement, et qu'on peut trouver par de simples considérations géométriques. 

Remarque. — Quand le point C décrit la droite A, le quadrilatère OACB peut prendre différentes 

formes. Il importe d'observer que le 

15/ — r,— i"^ J G j°/ lieu trouvé contient les centres de 

I ^\ gravité des quadrilatères OACB, dans 

lesquels AB est une diagonale. Le 

point G peut occuper trois positions 

A A A ^ . . , » * ■ 1 

principales par rapport au triangle 

"^' '' '■'■ ' ■'(!■ 3. OAB, représentées par les trois figures 

ci-contre. Dans les deux premières, le point de rencontre des droites GH et KL-est le centre de 




12:) QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 

gravité de l'aire ombrée. Tandis que dans la figure (3), ce point de rencontre est le centre de gravité 
de l'aire obtenue en prenant la différence des aires des triangles lOA et IBC. On pourrait déterminer 
sans peine sur le lieu trouvé les centres de gravilé correspondant à ces trois cas de figure. 

A. Luc, lycée Condorcet. 
[Solutions analogues par MM. 0. Cunt (l'colo Saint-Sigisberl, à Nancy) ; Descoxdes, à .\nnecy ; Jossiset (Troyes) ; L. Perréb (r.ondorcci).) 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



École polytechnique (1890). — (Suite.) 

45. — En un point d'une hyperbole équilalère on mène la normale, et sur la portion de celte droite comprise entre 
le pied et une asymptote, on décrit un cercle comme diamètre. Lieu des centres. Lieu dos points de concours des 
tangentes communes au cercle et à l'hyperbole. 

46. — Lieu des sommets des hyperboles équilatères tangentes à une droite et ayant un foyer donné. 

47. Lieu du point milieu du serment intercepté par les deux asymptotes sur une normale à une hyperbole 

équilalère. 

48. — Lieu du point de concours des tangentes communes à une ellipse et à une parabole qui a son sommet fisc sur 
l'ellipse et lui est tangente eu ce point. 

49. — Lieu des sommets des paraboles passant par les quatre points d'intersection d'une ellipse avec deui droites 
rectangulaires passant par le foyer de l'ellipse. 

50. — Lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre d'une ellipse sur les dirccirices des paraboles 
tangentes à l'ellipse et passant par les deux foyers. 

51. _ Lieu des centres des ellipses dont les sommets A, .V décrivent deux cercles concentriques et les sommets B 
et B' deux droites données. 

52. — Lieu des foyers des ellipses d'aire constante, ayanl un sommet donné et tangentes à une droite donnée. 

53. Lieu des sommets des hyperboles équilatères passant par les quatre extrémités de deux diamètres conjugués 
d'une ellipse. 

54. On donne une parabole de foyer F. Une ellipse d'axe focal constant et donné a un foyer en F cl touche 
constamment la parabole. Lieu du centre et du second fuycr. 

55. —Lieu du point obtenu en portant sur la normale à une ellipse une longueur moyenne proporlionnclle entre les 
rayons vecteurs du pied de la normale. Démontrer ,i,'éométriquement qu2 le lieu est un cercle. 

56. — Lieu du centre des cercles tangents à une ellipse cl à deux tangentes à la courbe, ces deux langcntcs se 
déplaçant en restant rectangulaires. 

57. — Lieu du centre des hyperboles équilatères langenles à une droite fixe, passant par le contre d'une ellipse et 
par deux points de cette courbe situés sur deux diamètres conjugués. 

58. — Lieu des sommets des paraboles ayant un foyer donné et tan.gentcs à une droite donnée. 

59. — D'un point donne comme centre, on décrit des cercles qui coupent une ellipse en quatre points. Lieu des 
sommets des hyperboles équilatères qui passent par ces quatre poinis. 

60. — On donne une droite et des poinis en nombre quelconque. .Sur la droite, à partir d'un point fisc, on porto des 
longueurs proportionnelles à la somme des carrés des distances de chique point à la droite. Lieu des extrémités des 
segments ainsi obtenus quand la droite tourne autour d'un point fixe. 

61. — Par un point M extérieur à une conique donnée, on mène deux cordes M.\B, MCD, parallèlesh deux 
diamètres conjugues, on prend sur ,\B un point P et sur CD un point Q tels queMP* = M.\ X MB, My* = MC X MD. 
Calculer la surfacji du parallélogramme construit sur MP et MO. 

62. — Une hyperbole a pour asymptote la droite «x + hy+c =0 et passe par les trois points {s,, y,) (x„ y,; (x„ i/j). 
ïiOiivcr l'équaliondc la courbe et de la seconde asymptote. 

63. — Équation générale des coniques ayanl pour asymptote la droite iy — 3.r = et pour foyer le point (a, g); 

64. — Lieu du centre d'une ellipse d'aire constante ayanl un foyer fixe et tangente à une droite donnée. 

65. — Lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à une conique de grandeur constante qui tourne autour de son 
ceutn'. 

66. — On donne un sommet et une directrice d'une elUipse variable. Lieu dos extrémités des diamôircs conjugués 
é.ïaux. 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS OR\UX 121 



67. — Lieu des centres des coniques d'aire conslanlo qui ont un sommet fisc et sont tangentes à une droite. 

68. — Lieu du centre du cercle inscrit dans le triangle forme par deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse 
et la droite qui joint leurs extrémités. 

69. — Lieu des centres des cercles tangents à une ellipse et à son grand axe. 

70. — Lieu des points d'où l'on peut mener des tangentes égales k deux coniques. 

71. — Lieu des points dont les polaires par rapport a une ellipse sont normales à la courbe. 

72. — Lieu des centres des cercles tangents ù une ellipse donnée et à deux diamètres conjugués. 

73. — On donne deux droites rectangulaires et un point fixe. Par ce point, on mène deux sécantes, l'une 
fixe, l'autre mobile. Trouver le lieu des points d'intersection des axes des paraboles passant par les quatre points de 
rencontre des sécantes avec les droites données. 

74. — Étant donnée une conique passant par l'origine, on considère deux sécantes issues de l'origine et respecti- 
vement parallèles à deux diamètres conjugués de la conique. Chacune de ces sécantes coupe la conique en un second 
point. Par chacun de ces points on élève une perpendiculaire à la sécante correspondante. Lieu du point de rencontre de 
ces perpendiculaires. 

75. — Dans une conique, on donne un pointât sa polaire; combien cela fait-il de conditions? On donne un 
second point et sa polaire, puis enfin un point de la courbe. Démontrer que la conique est bien déterminée. La construire 
point par point. 

76. — On donne un point M, qui décrit un lieu défini par la relation /"(p,, p,, p3) = entre les dislances p,, p... pj de 
ce point M à trois pôles fixes O,, Oj, Oj. Trouver la tangente au point M décrite par le point. 

Application: Pj+p,=;2«, p'j + r,^ = 'itr . 

77. — On donne un point sur le petit axe d'une ellipse ; par ce point on mène une corde variable. Trouver le lieu 
d's point de concours des normales aux extrémités de ces cordes. .Solution géométrique. 

78. — Lieu des projections du sommet d'une parabole sur toutes les normales. 

79. — Étudier la conique x= — ^' y = — — • 

C'est une parabole — Sommet — Paramètre. 

80. — Écrire que la droite ax-i-bij+ e=:0 est directrice de la conique f{.v, y) = 0. 

81. — On donne la parabole y- — 2;u- = ; on mène une corde quelconque OA, on projette A eu B sur Oy, et B en 
M sur O.i. Lieu du point M. Solution géométrique. 



111. — GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TKOIS DIMENSIONS. 

82. — Ou donne les extrémités A et A' de deux diamètres conjugués dans l'ellipse de gorge d'un byperboluïde à une 
nappe. Par le point A, on fait passer la génératrice de système ), et par A' la génératrice du système ji. Ces deux généra- 
trices se coupent en un point M dont on demande le lieu. 

83. — On considère un cône droit à base elliptique. On mène une génératrice quelconque SB et par le point B', 
diamétralement opposé à B, on mène la langeute à la directrice. Lieu des pieds des perpendiculaires communes aux 
deux droites SB et B'T. 

84. — Lieu des sommets des sections faites dans un ellipsoïde par des plans passant par une droite donnée. 

85. — Équation générale des quadriques passant par les côtés d'un quadrilatère gauche. Génératrices rectilignes. 
— Combien a-t-on de paraboloïdes? Leur nature. 

86. — Nature de la surface >.i- — ("a^ + Ijy- — 3xy — iyz + ^ix — ij -h i;!.- +3 — 0. 

87. — Équation d'une surface de révolution ayant pour axe O: et tangente à une surface donnée f{x, y, -) = U, eu 
tous les points d'une courbe. 

88. — Équation de la surface engendrée par une droite variable assujettie à rencontrer trois droites 

.r — X, y — y, _ :■ — 'i ■'' — ■'': _ •'■ — ■'-'. __ 

a, 6, ~ c, a, ' ' Oj 

89. — Lieu des sommets des sections de l'ellipso'ide ' — h 7- + ^^ 1^1) par les plans tangents a. un cylindre de 

a- b- c- 

révolulion d'axe -:=-=- et do rayon R. 

a ;: y 

90. — On donne l'hyperboloïde à une nappe — + '^ — ^ - 1 =; 0. Soit M un point de l'ellipse de gorge, MG une 

a- b^ c- 

gcnératrice passant par ce point. On considère le diamètre ON conjugue de 0.\I dans l'ellipse de gorge et la génératrice 
NG' de même système que MG. Lieu de la perpendiculaire commune k ces deux génératrices. 

91. — Lieu des sommets des paraboloïdes de révolution contenant une ellipse donnée. 

92. — On donne un cône du second degré et une sphère. Par une génératrice quelconque du cône on mène deux 
plans tangents à la sphère, et on demande le lieu engendré par la perpendiculaire commune a. la giyiératricc du cône 
et k la droite joignant les points de conctact des plans tangents. 



122 QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS OIUUX 



'/ 'Ja ^ ^.1 

' — ; — := , et uonl la miiri- 

u o c 

dienne a pour équation ç(X, Y) = dans un plan passant par l'axe, les axes de coordoaQoes OX. et OY clant l'axe de la 

surface et la perpendiculaire menée par le point a\, y^, î„. 

94. — Dans la discussion des quadriques on étudie les déterminants 



A li' 


li' 




li' A 


li 


11 = 


U li 


A" 




et 11 


-o? 





A 


B" 


B' 


C 


B" 


A' 


B 


C 


B' 


B 


A" 


C" 


G 


C 


(■/' 


D 



Que si.tçuifient les conditions A ; 

95. — Ou donne un ellipsoïde, on mène de l'un de ses sommels des perpendiculaires sur tous les plaus lantjeuts à 
la surface. Par l'origine des coordonnées, on mène des droites égales et parallèles à ces perpendiculaires. Lieu des 
points ainsi obtenus. 

96. — Ktant donné rellipsoïdc \- '- — h ^ —1=0, trouver le lieu des projections de la droite 

a- b' c' 

.T — X, y — i/a ^ — "o 

sur tous los plans tangents à l'ellipsoïde aux points de son intersection avec le plan Ax + B;/+ C: =0. 

97. — E'iuations des coniques, communes à deux cônes ayant pour sommets (a, fi, y), ix', '{/, -r) et circonscrits à uuc 
môme quadriquc. 

98. — Condition pour que l'cquatiou générale du second degré représente un cylindre ayant pour scctioa droite 
une hyperbole équilalère. 

99. — Lieu du centre des quadriques contenant une conique donnée et ayant un sommet on un point donne. 

100. — Equation de l'ensemble des plans tangents à une quadriquc aux points où elle est coupée par une droite 
donnée. 

101. — On donne trois axes rectangulaires ; un plan mobile dctacbe dans ce trièdre un tétraèdre de volume constant. 
Lieu des centres des sphères inscrites dans le tétraèdre. 

102. —Nature do la courbe 

1 -+- ( __ 1 ( 

■' ~ 1^' ^ '^ I — t-' - ~ î~+l" 

l'ian de la courbe. — Asymptotes. ~ Axes. — Foyers. 

103. ^ On donne le cylindre - + ^^ — I ::r et le jilan ax + ^y + y: + o = H. Trouver les diamètres 

conjugués égaux de la conique section. 

104. — On donne deux plans fixes et un point dans chacun de ces plans. Par ces deux points et dans les plans 
donnes on tait passer deux droites qui fout entre elles un angle constant. Lieu des pieds des perpendiculaires communes à 
ces droilcs. 

105. — Lieu des centres des quadriques tangentes à sept plans 

X — X, 1/ — y, 2 — ;, 

106. — Condition pour que les quatre droites - - =^ — = (j = 1, 2, 3, V> soient des généra- 
trices de môme système d'un hyperboloïde. 

107. — Lieu des droites rencontrant trois cercles situés dans les trois pUns de coordonnnées. 

108. — Sur chaque génératrice d'un hyperboloïde, à partir de sou point de rencontre avec l'ellipse de gorge, ou 
poite une I ■ngueur conslante. Lieu des points ainsi obtenus. 

109. — Trouver l'équation du cylindre, de génératrices parallèles à la direction /, m, », circonscrit à la surface 

X' -+- y' + 3» — 3x1/3 = (.'. 
110 — Lieu des points d'une quadriquc où le plan tangent fait avec Ox un angle a. 

111. — Lieu des foyers des sections obtenues en coupant la quadriquc s = xy par des plans passant par la droite 

X _2/_3 

112. — Un triangle d'aire constante se déplace en ayant ses sommels sur les trois axes; lieu du pied de la perpendi- 
culaire a!)ais^éc d'un point tixc sur le plan du triangle. 

113. — Equation d'un cône ayant pour sommet 1 origine et pour directrice une hélice tracée sur un cylindre droit 
d'axe Os. Section du cône par le plan s = h. 

114. — Lieu des axes des paraboloïdes équilatôres passant jiar deux droites. 

115. — Lieu des symétriques d'un point par rapport aux génératrices d'un cOnc de révolution. 

116. — Lieu des foyers des sections faites dans une quadriquc par des plans contenant uni' normale lixo. 

117. — Lieu des centres des quadriques dont on donne un plan tangent et deux sommets n'appartenant pas au 
môme axe. 

118. — Lieu des sommets des sections faites dans le paraboloïdc '- + - — 2a; = par des plans tangents à un cône 

P 'I 
de révolution qui a son sommet à l'origine et po\ir axe Oj. 



CONCOURS DE 1890 123 



119. — On donne un sommet, une génératrice et un point d'une quadrique. Lieu du centre. 

120. — Lieu des ombilics des surfaces x^ + y^ + z^ — ^ayz — 'îbzx — 2cxij ^ 1 avec la condition abc = 1. 

121. — Lieu des centres des qualriques de révolution contenant une ellipse donnée 1-^— |=0, : — 0. 

a- 0- 
A priori, est-ce une ligne ou une surface? 

122. — Lieu des sommets des surfaces ayant un ombilic et une section circulaire parallèle donne's. 

123. — Par un point A on mène des plans coupant deux plans donnés suivant des droites rectangulaires. Lieu des 
perpendiculaires élevées au point A à tous ces plans. 

124. — Construire un cylindre hyperbolique connaissant un plan asymptote et quatre points. 

125. — Déterminer le contour apparent sur le plan des xy d'un byperboloïde de révolution ayant pour a.'sc la droite 
y — ms ^ , a; = 0, et pour génératrice x = y ^ z — 1. 

126. — Lieu des centres des quadriques passant par une conique donnée et ayant un sommet donné. 

127. — Étant données les deux quadriques 

■2x- + ;;= — ><xy + 'izx — 6x = 0, 3y- + i:- — 2zx —1 = 0, 
trouver les points doubles de la projection de l'intersection sur le plan des xy. 

128. — Lieu des projections d'une droite fixe sur les plans normaux à la courbe définie par les équations 

-+- + -'— 1 = 0, z^ = iiy. 
a' Ir c^ 

129. — On donne trois droites quelconques dans l'espace et on prend leurs points de rencontre avec un plan, 
parallèle à un plan fixe. Lieu des centres de gravité, des orthocentres des triangles ainsi obtenus. 

130. — Lieu des ombilics des paraboloïdes passant par une conique donnée et un point donné. 

131. — Lieu géométrique des points dont la distance à leur plan polaire par rapport à une quadrique est conslanlc. 
Intersection du lieu avec la surface. 

132. — Lieu des axes des cylindres de révolution passant par quatre points d'un plan. 

133. — On donne dans l'espace une droite passant par un point fixe A et une série de points M, M', etc. On 

demande le lieu des points obtenus en portant, à partir du point A, une longueur i = — -i — 77.-., d, d', etc., étant les 
distances des points M, M', etc., à la droite. 

134. — Que représente l'èqualion 

X- + y- -h z- — Jy; cas /. — 2zx cos [j. — 2j-!/ cos v =r 1 ? 
>. + çj. + V = -. 

135. — Ou donne une quadrique f{x, y, z) =; 0. Par un point de l'espace, on mène trois droites rectangulaires : 
soient M et M' les points d'intersection de l'une d'elles avec la surface. On prend le point N tel que ON^ = O.M X OM', et 

1 
on fait la somme des trois quantités telles que . Expression de cette somme. 

ON' 

136. — Une droite de longueur constante se déplace do façon que ses extrémités décrivent deux droites données qui 
ne se rencontrent pas. On projette orthogonalement la droite mobile sur un pl.jn fixe P. Lieu de la projection sur cetle 
projection delà droite mobile d'un point fixe du plan P. 

137. — Trouver la direction des axes de la section du paraboluïde z = xy par le plan cc.c + kJ/ + ";= = "■ 

138. — Suiface de révolution engendrée par une hyperbole équilatèrc tournant autour d'une de ses asymptotes. 
Courbe de contact du cylindre circonscrit parallèlement à la direction afi-;. Projection sur le plan des xy. Équation en 
coordonnées polaires. 

139. — Lieu des normales menées à un ellipso'ide par les diB'érents points d'une droite donnée. 

140. — Trouver l'équation de l'ellipsoïde ayant pour centre l'origine des coordonnées, ayant pour plans cycliques 
les plans x -h y — z = 0, x — y -h z = passant par le point (x = 0, y = 0, : = 1) et tangent au plan y = i. 

141. — Démontrer que la condition pour que trois plaus se coupent sur une quadrique peut se mettre sous forme 
d'un déterminant obtenu en bordant le discriminant du premier membre de cette quadrique avec les coeiiicienls des trois 
éqpiations des plans et des zéros. 

142. — On donne les extrémités de trois diamètres conjugués. Combien cela fait-il de conditions pour une c[ua- 
drique ? 

143. — Lieu des normales issues d'un point à une série d'ellipso'ides homothétiques et concentriques. 

144. — Lieu des normales à un ellipsoïde en tous les points d'une section plane. Montrer que la surface trouvée 
peut être engendrée par une conique qui se déplace en se déformant. 

145. — Lieu du pied de la perpendiculaire commune à l'axe d'un paraboloïde hyperbolique et à une génératrice 
quelconque do la surface. 

146. — Combien de conditions donne-t-on en assujetlissant une quadrique à contenir une conique donnée, à ôtro 
inscrite dans un cône donné? Existe-t-il une corrélation entre ces deux questions? 



j24 QUESTIONS PROPOSEES 



CONCOURS DE 1890 (Suite). 



BOURSES DE LICENCE 



Licence es sciences physiques. 

I. — Champ d'une lunette astronomique. 

II. — 80. Un calorimclre de laiton pesant 5006"' contient 2''» d'eau à la température initiale de 10". Avec 
une vitesse constante, on fait tomber dans le calorimètre un lilet d'eau à 80», de farou que dans chaque minute 
le poids d'eau écoulée soit de 5er. En supposant que le calorimètre ne subisse aucune perte de chaleur, ciucUc 
sera la température l" au bout de x secondes? 

On prendra 0,09o pour la chaleur spécifique du laiton. 

Ouelle est la courbe que l'on obtient, en portant les températures (" en ordonnées elles temps j; enabscisses? 

jlj_ Décrire les expériences qui ont permis d'elTectuerà partir du carbone, de l'hydrogène et de l'azote, 

la synthèse : 1° Des trois principaux carbures d'hydrogène : acétylène, éthylène, formèno; "2" de l'acide cyan- 
hvdrique. —Donner les réactions caractéristiques de chacun de ces corps, eu insistant sur celles qui permettent 
de les séparer dans un mélange ne renfermant que ces trois carbures et des vapeurs d'acide cyanhydrique. 



QUESTIONS PROPOSÉES 



81. — Trouver le lieu des centres des hyperboles ayant leurs asymptotes parallèles aux axes de 
coordonnées, passant par l'origine et tangentes à la parabole représentée par réquatiou i/ = a;» + i. 
Construire le lieu. 

*82. — Que représente (axes rectangulaires) l'équation 

X- + 2À./-I/ - tf - a{x + î/) ^ 0, (C) 

À désignant un paramètre variable? 

2» Lieu des points de contact des tangentes aux coniques (C), parallèles àla bissecti ice de l'angle x'Oy. 

S" Ces coniques (C) coupent les axes de coordonnées en deux points diflërenls de l'origine. Lieu 
géométrique des points de rencontre des normales eu ces deux points. 

(A. AuDoiN, 3' marine, Cherbourg.) 

83. —On considère une série d'ellipses concentriques et ayant les mêmes direclions d'axes, ainsi 
qu'une droite fixe. Eu chacun des points d'intersection de cette droite avec l'une quelconque des ellipses 
on mène les normales à l'ellipse, qui se rencontrent eu un certain point P. De ce point P on abaisse 
les deux autres normales à l'ellipse. La droite qui joint les pieds de ces dernières normales a pour pôle 
un point qui reste fixe quelle que soiL l'ellipse de la série. 



Le Rédacteur-Gcrant : H. VUIBERT. 



l'ABli. — IMI'. ( IIAIX. - 



Ire Année. 



N» 9. 



Juin 1891. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



54. — On donne une circonférence de centre et de i-ayon a. Sur un de ses diamètres on prend un point 
M, cl de ce point on mène une des tangentes à la circonférence; soit P le point de contact. On demande le lieu 
des points X et X' qui partagent le segment de droite PM en moyenne et extrême raison quand le point M 
parcourt le diamètre ÂB. 

Plus généralement, lieu du point qui partage le segment PM dans un rapport donné. 

Prenou.s pour axe des x le diamètre que décrit le point M, et pour axe des y le iliamètre perpeu- 
diculaire. 

Nous allons examiner d'abord le cas général en cherchant le lieu du 
point X de la droite MP tel que l'on ait 

MX = m.MP, (I) 

-. m étant un uombrc quelconque, positif ou négatif. 

T^ ^j X Soient x', ;/' les coordonnées du point P; ou a 

x'^ + y'^ = a'-. ('2) 

Le point X, de coordonnées x et y, étaut sur la tangente eu P, on a 
XX' + ijy' = a-; (3) 

et eu projetant les segments MX et MP sur Og, ou déduit de la relation (1) 

y = mg'. (4) 

Eu éliminant x' et g' entre (2), (3) et (4), on aura l'équation du lieu. On obiirut aisemeul 
x'^yin-a'^ — y-) = (ma"- — g'^f-. 




ou, en résolvant par rajiport à x. 



ma- — y- 



(. = ± 1) 



\/vi''a- — y'^ 

Le lieu est une courbe du quatrième degré, symétrique pur lajqjort aux deux axes. 

On ne peut faire varier y que de — ma à + ma; uous ne donnerons à y que des valeurs positives, 
nous ne prendrons que les valeurs positives correspoudanles de x, et nous achèverons par symétrie. 

_ , , , . , , )yl'/' — mu-lin — 1 1] 
Jin prenant la dérivée, on a x,j= ^ — ^ • 

ChiTchons d'aboid si x peut s'annuler. Ou doit alors av lir ;/* = mji\ ce qui suppose m > 0; 
mais ou doit supposer m^d^ — y^ > 0; 

donc Hi^«^ — ma- > ou m(m — \) ^ Q; 

mais m doit être positif; donc x ne pourra s'auuuler ([ue si l'on suppose m > 1. 



126 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



D'aude part, pour que x'y puisse changer de signe, il est nécessaire que m(2/rt — l) soit positif, 
donc <iuc 7/1 soit négatilou plus grand que -. Nous avons donc à distinguer les cas suivants : 



{ 



1° m < , -2" < m < _^ , 3" ^^ < m < l , 4° m > I . 

i" Supposons m<0. — Nous ne considérerons que des valeurs positives de y. La dérivéex„ s'annule 
pour y = a\/m[tm - 1); mais on a as/m(lm - 1) > — ma, car en posant m = — m' , cotte 
inégalité revient à celle-ci : \/m'(tm' + 1) > m ou m'ilm' + 1) > m'' ou encore tm' + 1 > m'. 

Il eu résulte que y variant de à ma, en supposant s — — 1, a; va eu croissant de a à + oc . 

2° < m < ;;. — Dans ce cas m{^m - I) est négatif, donc x',j ne peut s'annuler; on arrive aux 
mêmes conclusions que dans le pieniier cas. Doue si l'on suppose m < ^^ la courbe a la l'orme (I). 



(I) ni- 



ai) i<m<l. 






i 

3° j: < m < I . — La dérivée a;,; s'annule eu changeant de signe pour ij = av/»n(2m — 1); 

X décroît depuis a jusqu'à un certain mini mu ni, puis va en croissant jusqu'à + x (en supposant s = + 1); 

on obtient donc la forme (II). 

4" En fi u soit m> l; x'y conserve un signe inva- 
riable; en supposant =. -^ + i , x décroît de a à — oc, et 
est nul pour // — a\/m. On a ainsi la forme (III). 

Entre les figures (II) et (III), nous avous une fornio 
intermédiaire correspondant à »« = 1, et qui se com- 
pose du cercle donné et des tangentes y — ± a. 

Pour trouver le lieu des points Xet X' qui divisent M P 
en moyenne et oxlrêmc raison, il sufilt de remplacer m 

M - \/"> 8 + v/S , 
snccessivemeiit par et ^ — dans 1 cqua- 



(III) 
y 


»> 1. 


/ 


X 


G 


A -r 







lion du lieu trouvé plus haut, t'.omnic < 
3 + yjï 



sjl 



et 



> 1, le lieu se composera de deux courbes 



du quatrième degré ayant les formes (I; et (III i 



A. AiDOUiN, élève de marine, lycée de Clierbourg. 
[Solulions analogues par MM. Auzbram (lyci^e de ToulDUseï ; A. DELiMenHE, élève de marine (Dieppe); Pehuéb (lycée Condorcetl.j 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 127 



55. — On dorme deux cercles fixes C, C et l'on considère deux cercles variables S, S' tangents aux 
pruniers. Lieu des points de Poncelet relatifs aux cercles S, S'. 

Solution géométrique. — Soit S un cercle variable touchant deux cercles fixes C, G'. Nous supposerons 
que la ûatare du contact de S avec chacun des deux cercles G et C' soit déterminée; pour flxer les idées 
supposons ces deux contacts extérieurs, les deux cercles G et G' étant eux-mêmes supposés extérieurs 
ou sécants. Dans ce cas, le centre de similitude direct o) de (G) et (G') a une puissance constante par 
rapport au cercle variable S, d'où il résulte que les cercles S sont orthogonaux à un cercle fixe (r) ayant 
pour centre w. Si l'on prend deux cercles Sp , Si appartenant à la famille (S) considérée, les points 
de Poncelet relatifs à S^ et S, sont sur le cercle (r). Si l'on considère un cercle variable S' tangent à- G 
et G', le contact avec chacun de ces cercles étant un contact intérieur, les points de Poncelet relatifs 
a deux cercles Sp, S^ de celte seconde famille et les points de Poncelet relatifs à un cercle S;- et à un 
cercle S,', sont sur le même cercle (F). 

J. Bessart (Paris). 

Solution analytique. — Prenons pour axe des x la ligue des centres des deux cercles donnés, et 
pour axe des y la perpendiculaire à la ligne des centres menée par l'un des centres de similitude des 
deux cercles. Soit k le rapport de similitude; les équations des deux cercles donnés sont 

Jî^ + i/' - 2ax + 6' = 0, (Ij 

cc« + (/- - lakx -t- A--6» = 0. (2) 

L'ensemble des deux cercles est représenté, comme on le vérifie aisément, par l'équation 

[j;- + y'' - a(l + k)x + kb^^- - x\a^ - 6*)(1 - k^) + (/»6»(1 - A») = 0. 
Si l'on pose a- — b- = R', on peut considérer les deux cercles donnés comme l'enveloppe des cercles 
représentés par l'équation 

l\^x + by){i - k^) - %\x- + y- - a{\ + k)x + kb-] + ^x - by = Q. (3) 

Donnons à À une ''aleur particulière; nous aurons un cercle (X) tangent aux deux cercles donnés, 
el soit un autre cercle (a) représenté par l'équation 

lx'(Ra; + by){i — k*) - 2'j.[x^ + !/= - a(l + k)x -h kb-] -h B.x - by = 0. (4) 

Les points de Poncelet relatifs à ces deux cercles sont caractérisés par la propriété d'avoir même 
polaire par rapport à ces deux cercles. Soient x, y, z les coordonnées homogènes d'un de ces points; 
les dérivées par rapport kx, y, s des premiers membres des équations (3) et (4) sont proportionnelles ; 
si l'oQ appelle h le coefficient de proportionnalité, on aura : 

B.z{\ - k^)(A^ - A:j.») - 2(À - u.h)[2x - a(l + k)z] + R-(I - h) = 0, 
bz(\ - k^Xr- - hy-) - 2(A - y./î)2i/ - bz{l - A) = 0, 
(Rr + by)(\ - k^l^ - h-j.'') - 2(>. - ■j.h['ilkb\z - mi + k\x] + (Rx - by](\ - h) = 0. 
En éliminant (1 — k'^}[}.'^ — li\>.'^). 2iX — \j.li) et I — /( entre ces trois équations, on obtient l'équation 

du litu (en faisant z — 1) ; 

I R tx- aii + k) R 

\b 2y -b =0. 

lEx+by 24-6» — a(l +/.)x Ex—by 

Eu multipliaut la première ligne par x, la seconde par y et retranchant de la troisième, il vient 

R 2x - a(l + k) R 



ou, simplement 



b 



2y -b 

Ib-k - 2a;' - 2(/' 




a:' + (/' — b^k — ù. 



0. 



|os GÉOMÉTRIE ANALYTlgUE 

Cette équation reprcseute uu cercle ayant sou coude à l'oiii^iue et passant par l'intersecliou des 
deux premiers. 

Le calcul précédent s'applique à toute quartique bicireuluirc, car on peut regarder une pareille 

courbe comme l'enveloppe de cercles définis par réquation 

/,"-P - :2àC + Q = 0, 

C = représentant un cercle et P = 0, Q = deux droites. 

(l'iLLKcr, lycée Louis-lc-Graud.j 



,^ ■ c^-'^-"- 



57. — Lieu des sommeta des cônes circonscrits à un cllijjsiiïdc cl tjni sont coupés par un plan donné 
suivant un cercle. 

Je prends pour plan des xy un plan passant par le centre de l'ellipsoïde et parallèle au plan donné , 
les axes desx et des y étant les axes de la section ainsi déterminée. L'axe îles- sera le diamètre conjugué 
du plan des xy; l'équation de l'ellipsoïde dans ce système d'axes sera 

^ + 1^4-^-1 = 0, 

a- b^ c' 
étiuation dans lat[uelle ou peut supposer a> b, car ou peut toujours diriger Ox suivant le i)lus grand 
des axes de l'ellipse du plan des xij. 

Soient x, p, y les coortlonuées d'un point du lieu; le cône circouscrit à l'ellipsoïde ayant ce point 
pour sommet a pour équation 

\a- b^ C- /\a^ b^ C I W 
.l'écris que ce cône est coupé par le plan des xy suivant un cercle; ou obtient aiséuient les deux 
conditions 

aS =. 0. 
Le lieu cherché se compose donc des deux courbes 

( .T = 0. l y = Q, 

(«) t , ^' _ ^ (2) -^^ , ^' ^ 1 

( a' — b» c» ■ f a* — 6' c* ■ 

La première est uue hyperbole dans le plan des ys, ayant pour diamètres conjugués Oi/ et 0:;. La 

deuxième est une ellipse dans le plan des zx ayant pour diamètres conjugués Ox et Os. Les deux 

courbes passent par les points de rencontre de l'ellipsoïde et de Os, l'ellipse passe par les foyers réels 

de la section de l'ellipsoïde par le plan des xy, et l'hyperbole passe par les foyers imaginaires de cette 

môme section. 

1'. Lbmoi:lt, soldai au 93' de ligne, h la Rochc-sur-Yon. 

Soliilion semblable |);ir .M. Baudras, lyci-c de lliuen. 

SoLUTio.N GÉOMÉxniQUE. — Les directrices des cônes considérés sur le plan donné devant passer par 
les points cycliques du plan, leurs sommets se trouvent à la fois sur les deux cônes ayant pour sommets 
les points cycliques du plan donné et circonscrits à l'ellipsoïde. Ces côues se coupent suivant deux 
courbes planes et les plans de ces coniques passent par l'intersection des plans polaires des points 
cycliques. Ces points cycliques étant sur le plan de l'infini et sur le plan donné, leurs plans polaires 
passent par le centre de l'ellipsoïde et par le pôle du plan. La droite qui joint ces deux points est le 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 129 



diamètre conjugué du idan ; le lieu se compose donc de deux coniques dont les plans se coupent suivant 
le diamètre conjugué du plan. 

Pour déterminer complètement ces deux coniques, menons des plans auxiliaires par la ligne des 
sommets des deux cônes dont l'intersection donne le lieu. Les quatre génératrices d'intersection passant 
par les points cycliques et étant tangentes à l'ellipse de section donnent les foyers de cette ellipse de 
section. 

On est donc ramené à chercher le lieu des foyers des sections d'un ellipsoïde par des plans parallèles 
au plan donné ; et comme nous savons que ce lieu se compose de deux coniques, on trouve aisément 
les deux coniques obtenues par la voie analytique. L'ellipse (2) est le lieu des foyers réels des ellipses 
réelles, tandis que l'hyperbole (1) est le lieu des foyers réels des ellipses imaginaires. 

Joseph Cluzet, collège Stanislas. 



58. — Èlant donné un système d'axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, on décrit de rorigine comme centre, 
dans le plan des xy, un cercle C de rayon R, et on prend sur l'axe des x un point A, â une distance a de 
l'origine. On mène par A une sécante rencontrant le cercle aux points M et N. Sur MN comme diamètre, 
dans un plan perpendiculaire au plan des xy, on décrit un cercle G'. 

/" Lieu des centres des quadriques S qui passent par les cercles G et G' quand la sécante tourne autour 
du point A. 

2" Séparer sur la surface obtenue les régions qui correspondent aux centres des différents genres de 
quadriques. 

3" Trouver la surface ^, lieu des axes des paraboloïdes passant par les cercles G et G'. 

4° Étudier la surface Z. en la coupant par des plans parallèles aux plans de coordonnées. Trouver son 
contour apparent sur le plan des zx. 

5" Indiquer un mode de géni ration simple de la surface Z, basé sur des considérations élémentaires. 

(Concours académique, Nancy el Besançon. iS~9.) 

Le cercle G' est à l'intersection de la sphère qui a le cercle C pour grand cercle avec le plan 
parallèle à Os mené par AM. 

Cette sphère a pour équation a;" + j/^ + ^'^ — R* = 0. 

Le plan du cercle G' aura pour équation 

\y + ^{x — a) = 0; 

par conséquent, l'équation générale des surfaces S sera 

a;» + 7/î + 32 _ R2 + 2r.[X;/ + a(a; - o)] = 0. 

1° — Les équations du centre sont 

x+ IJ.Z = 0, 
y + lz= 0, 
: + \y + \>.{x — a) = 0, 
Eliminons À et a entre ces trois équations; on obtient 

x"^ + if — z- — ax = 0, 
qui est l'équation du lieu. Cette équation représente un hyperboloïde de révolution à une nappe H, 
ayant pour cercle de gorge le cercle décrit sur OA comme diamètre, les génératrices faisant io" avec 
l'axe de révolution. 



130 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



2° — Décomposons en carrés le premier membre de Téquation des surfaces S. On obtient immé- 
diatement 

ix + iJLij' + {y + ">:■)■ + ;*(i — À' — p.') — 2a;xs — R* = 0, 

et en supposant 1 — À- — ^x' ytO, 

\ a^,j} j_ R»(| _ ;i _ y,») 

(X + ^zY + {y + izY + ,^—^„ ; [5(1 - ),' - u=) - w.Y - ■ . ,. r-^ = »■ 

1 — /.- — u.- 1 — Â' — \ir 

Le genre de la surface dépend du signe des quantités 1 — À» — a- et a\j> -t- R»(l — /,» — .a»). 
Si 1 — À* — [x* > la surface est un ellipsoïde réel : 

l oV' + R*(l — ).' — [jt') > la surface est un hypeiboloïdeà deux nappes; 
Si 1 — /.« — |x- < \ a-'j.'' + R*(l — /.« — 11.°) = — cône réel ; 

(«';/.' + R'(l — À* — UL») < — byperboloïde à uuè nappe. 

Cela posé, des équations du centre on tire 

-. _ y 



ce qui donne 



H- = — - ; 




et comme pour tout point du lieu x'' + y^ — z^ = ax, 

on voit que 1 — À- — a* a le signe de —x (a étant supposé positif) et 
n-a» -1- R2(l — À» — a") le signe de x{ax — R»). 

En coupant alors l'hyperboloïde H par les plans x = et flo;— R* = 0, 
on séparera sur la surface les ri^gions qui correspondent aux centres des 
différents genres de surfaces S. 

Le plan a; = coupe H suivant deux droites, et le plan rtj- — R' = 0. 
suivant une hyperbole. 

L'hyperboloïde se trouve partage en trois régions ; les points de la 

première ayant des abscisses négatives sont des centres d'ellipsoïdes réels; 

ceux de la région intermédiaire sont des centres d'hyperboloïdes à une nappe, 

et enfin ceux de la troisième région sont des centres d'hyperboloïdes à deux 

nappes. L'hyperbole, section par le plan ax — R' = 0. est le lieu des centres 

des cônes réels. 

Reste enfin à examiner le cas où 1 — X' — i/.^ = 0. Les surfaces S sont alors des paraboloïdes, 

leur> centres spnt rejetés à l'infini, à moins que l'on n'ait en même temps a = 0. Dans ce cas, a = et 

À =± 1, les surfaces S sont des cylindres dont les axes sont les droi'cs 

x = 0, y±z^O; 

ce sont précisément les droites de l'hyperboloïde H qui sont dans le plan x = 0. 

30 — Pour que les surfaces S soient des paraboloïdes, il faut que 

1-/,'-u» = 0. (i) 

La direction de l'axe est alors donnée par les deux équations 

a- -t- U.3 = 0, 1/ + /s = ; (2) 

et l'axe lui-même s'obtiendra en prenant le diamètre conjugué de la direction du plan perpendiculaire 
à la direclion (2), soit 

.T. -i- itr, u ->- i.z iil.T -i- M-A a- >()/ -I- 'i.r.\ — «n 

(3) 



X + <xz y + ^ - _ V-K^ + !J^-) -t- À(y -H /z) — auL 



-1 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



131 



L'équation du lieu s'obtiendra eu éliminant X et u. entre les équations (1) et (3). 
Des équations (3), on tire 

- =^ = - 

-y. X ;' 

ou IX = vcc, À = vy. 

Remplaçons dans (1) et (3); on obtient 

et v''(a-« + y- — ox) + 2v; + 1=0. 

Éliminant V entre ces deux équations, on aura l'équation du lieu, c'est-à-dire 

[2(a;' -t- if) - ax]'' - iz^x' + %f) = 0. 
C'est la surface 1, du quatrième degré, symélrique par rapport aux plans des xy et des a;;. 
4° — Coupons cette surface par le plan ; = /; on obtient 

[•2(a;^ -t- j/^) - a.vY - 4/«(a;^ + y^'} = 0, 
ou, passant en coordonnées polaires, 

p = - COS (0 + /. 

Cette équation représente un limaçon de Pascal, à point double si t<^\ à point de rebrous- 
sement pour l = Zy'-: ^'^^c deux points d'inflexion si - < / < a ; enfin sans points d'inflexion si / > a. 

Le plan des :x coupe la surface suivant l'axe des z et deux droites, la droile BC {'i.x + lz — a =0) 
et la droite BD (1x — 2; — n =^ 0). Ces deux droites contiennent les sommets des limaçons ; tandis que 

les points doubles de ces courbes sont sur l'axe Oz, du poiul au point 1, de cote ;t- 

Pour avoir le contour apparent de la surface sur le plan des zx, il suffit d'écrire que l'équation de 
la surface admet une racine double eu y ou en x- + if, ce qui donne 

z^ + lax^d; 
c'est une parabole tangente à l'origine à l'axe des z, et à la droite BG, au point C de coordonnées 



2 
\t;.!^. 



2' " 
Ces considérations suffisent à donner une idée 
nette de la forme de la surface. Nous en étudierons 
seulement la moitié, qui est située au-dessus du plan 
des xy. 

Les points doubles des limaçons sont sur 0;, du 
point jusqu'au point I. lequel est lepoint derebrous- 
sement de la cardioïde. A partir de ce point l'axe des ; 
est une droite isolée de la surface. 

La parabole 3^ + 'iax = n'est contour apparent 

que jusqu'au point C; au delà, c'est la droite BC qui 

la remplace, et cela au moment oii les limaçons n'ont 

plus de points d'inflexion. 

En coupant par des plans parallèles aux plans des zx et des yz, on a des courbes du quatrième 

degré qui se construisent aisément. 



•'B 



132 GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



5" — Les plans des cercles C et C sout deux plans cycliques des surfaces S, leur intersection est 
perpendiculaire à un plan principal; par cooséquent, si la surface est un paraboloïde, son axe sera 
dans le plan perpendiculaire au milieu de MN, ce sera l'axe de la parabole section. 

Ce plan coupe la sphère suivant un grand cercle, et les cercles C, C suivant le diamètre PQ et la 
perpendiculaire RS. La parabole principale devra jiasser par les quatre points P, Q, R, S. Il y a deux 
p> paraboles passant par ces quatre points, leurs axes sont parallèles aux bissec- 

trices des droites PQ et RS, et passent par le point H, milieu de OK. 

En conséquence, à une position de la droite MN correspondent deux para- 
■1,^ boloïdes dont les axes rencontrent 0^, font 43° avec cet axe et percent le plan 
des xy au point H, milieu de la droite qui joint le point au milieu K de 5IN. 
Or le lieu du point H est le cercle décrit sur le milieu de OA comme diamètre. 
La surface 2 est donc engendrée par une droite s'appuyaut sur le cercle 
décrit sur la moilié de OA comme diamètre dans le plan des xy, et sur l'axe des z, avec lequel elle lait 
l'angle de 4o°. 

Cette génération montre bien que les sections par des plans parallèles au plan des xy sout dos 

limaçons de Pascal. 

E. Baidban. lycée de Rouen. 

Ont résolu la mciiie queslion : MM. A. .^nvnic (lycûe SaiiU-Louis) ; P. Lemoi'lt, soldai au 03« de ligne da Koche-sur-Von). 




GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



52. — Un cube de 'li™ de côté a l'une de ses trois directions d'an'les verticale, et une autre perpendi- 
culaire au plan vertical. 

Dans la face postérieure, considérons l'arête degauclte, l'arête inférieure et le sommet situé d l'intersection 
des deux autres arêtes. 

La droite passant par ce sommet et par le sommet opposé du cube, engendrerait, si elle tournait succes- 
sivement autour des deux arêtes considérées, deux kyperboloïdes qu'un suppose remplis. 

Représenter, par ses projections, le corps formé par la partie commune aux deux solides ainsi obtenus, 
en le limitant en haut et en bas par les plans des deux faces horizontales du cube, et en arriére par celui de 
la face postérieure. 

On placera au centre du cadre de l'épure la projection horizontale du point de rencontre des axes des 
deux hyperboloïdes, et, à un centimètre au-dessus, sur iine parallèle aux petits côtés, la projection verticale 
du même point. 

En fait de constructions, et en dehors de celles qui se rapportent aux points remarquables, on ne laissera 

subsister, dans le tracé à l'encre, que la détermination d'un point de chaque courbe et celle de la tangente en 

ce point. 

On n'indiquera aucune asi/mptote. 

(Ecole Polytechnif/ue, 4890.) 

Soient {abcd, a'b'c'd') la face postérieure du cube et (c«i, c'ai) la diagonale génératrice des deux 
hyperboloïdes. 

Pour obtenir des parallèles do chacune des deux surfaces de révolution, coupons-les par une 
sphère quelconque ayant son centre en (a, a'), point de rencontre des axes. Cette sphère rencontre la 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



133 



génératrice commune {cai,c'a[ ) en deux points rabattus en JI, et Ni sur un p'an parallèle au plan 
vertical. Ces points, relevés en {m, m) et{n, n). déterminent, dans les limites de l'épure, trois parallèles 
projetés verticalement suivant e'f, g'n\ h'm'. Le demi-parallèle 'ef, cY') coupe les deux autres en deux 




points [n, n') et (m,,î??;), qui appartiennent à l'intersection des deux surfaces. Il résulte de cette 
construction que l'interscclion se projette verticalement suivant la droite oV et une perpendiculaire à 
o'c' menée par la projection I de a' sur A, c'. L'intersection se décompose ainsi en deux droites et une 
hyperbole comme on pouvait le prévoir a priori. 



134 PHYSIQUE 



Les points g', f sont évidemmeut syniétni|ues par rapport à a'c, de sorte que les courbes méri- 
diennes sont égales dans les dei)x surfaces, ce qui abrège d'autant la couslruction de ces courbes. 

La sphère auxiliaire coupe la face supérieure du cube suivant >in demi-cercle de centre (d, d') et 
dera;yon d'V; sa rencontre avec le parallèle m'h' fournit un point (p, //) de la section de l'hyperboloïde 
dont l'axe est horizontal avec le plan horizontal d'c'. 

Les tangentes en /", g' aux courbes méridienups ont été obtenues eu menant les génératrices 
{/Al» A/i). {99i-9'y'i) de chaque surface. Pour la tangente en 7n,,on a pris l'intersection »;,< du plan aa'-/ 
avec le plan m^r)\ des deux génératrices issues de nii de l'hyperboloïde à axe vertical; en appliquant 
la même construction au point (p, ;/), on a le point u où la tangente en p perce la plan de prolil rt,o'(r 
considéré comme plan vertical auxiliaire. 

Les points remarquables de l'intersection des deux surfaces sont : sur le parallèle extrême inférieur 
les points (a,, oj) (a, a'j; sur le cerc'e dégorge les points de contact (p, fi') (5, o'j; sur le parallèle 
extrême supérieur les points (c, c') (y, y')- En outre, le point (e, e') est un point double de l'intersection. 

Louis Mkssent. 



PHYSIQUE 



79. — Au milieu d'une enceinte entourée de glace fondante est placé un vate solide en laiton, etitiéi'ement 
clos, qui contient un certain poids d'eau privée d'air. Le vase et l'eau qu'il contient ayant été chauffés, on 
demande de décrire les dijji'rentes phasct du rrfroidi^semenl, et d'indiquer les particularités présentées par la 
vitesse du refroidissement suivant la quantité d'eau contenue dans le vase. 

On admettra : que le rayonnement obéit à la loi de Newtoii ; — que la densité de la vapeur d'eau reste 
constante et égale à 0,6:22. 

On négligera les x^arialions du volume du vase ainsi que les variations du poids spécifique et de la chaleur 
spécifique de l'vau avec la température. On négligera aussi la différence des deuœ chaleurs spécifiques de la 
vapeur d'eau. 

Données numériques générales : 

Chaleur spécifique de la vapeur d'eau 0,37 par gramme. 

Chaleur latente de vaporisation (ÎOG.5 — 0,(J!tô t. 

Tension maximum de la vapeur d'eau en miUimélres de mercure : 

« 80°: ï.i= 3oo, ^ = 1,44 
dt 

dri 
à 100° : îrf =. 700. -^ = 2,72 
dt 

'^120": •rf = 1491. '-1^ = 4,70. 
dt 

Application numérique. — Calculer les vitesses de refroidissement à 100" et l'20". en prenant pour 
unité la vitesse de refroidissement « 80", dans le cas suivant: 

Poids du vase i kilogramme. 

Chaleur spécifique du laiton 0,080. 

Volume intérieur 1 litre. 

Poids de l'eau contenue 0«'',5S86. 

(ticole normale, ISS9.) 

SoilM»'' la masse d'eau contenue dans le récipient. Soient, à unecorlainetempnature t, ^If la masse 
d'eau liquide, m<^' celle de la vapeur. On a évidemment 

M = I\I, + m. 



PHYSIQUE i35 



Calculons m. Soil V'^'^ le volume intérieur du vase de laiton, supposé invariable ; on a 

0.001293.—^ — •0,G'22 

1 + et 7()0 

■cJ étant la tension do la vapeur a la température /; 

V- M 



d'où (1 + •^■<'-"'^" _ I 

0,U0l293.Trf.0,G2-2 

Remarquons que le premier terme du dénominateur est très grand par rapport au secontl, l'unité, 

et nous aurons sensiblement 

_ 0,001293 X 0,6-22 (Y - Mjîrf 

"* ~ W) l-hat ' 

m = 0,00000 1 0.j8 ■ '\~ ^^^^^ ■ (1 ) 

i + al 

Ceci posé, soient, au temps x, t la température de l'eau et de la vapeur, m la masse de la vapeur. 

Appelons C la capacité calorifique du récipient. D'après la loi de Newton : c la quantité de chaleur 

rayonuée en un temps dx est proportionnelle à l'excès t de la température du récipient sur celle de 

l'enceinte » ; — elle est encore proportionnelle à l'intervalle de temps considéré dx. et si l'on désigne 

par K un coefficient qui dépendra de la nature des parois du vase et de l'enceinte, cette quantité de 

chaleur sera représentée par 

K.t.dx. 

Elle résulte : 1° d'un abaissement de température — dt subi par le vase, l'eau et la vapeur; 2° de 
la condensation d'une masse de vapeur — dm. On a doue 

K.t.dx = — (Mj + C + m-()dt — Idm, 
X étant la chaleur de vaporisation de l'eau à t°, et y la chaleur spécifique de la vapeur d'eau supposée 
coustauto. — D'où l'ou tire 

(// K^ 

M + C 4- À • (1 — ■{)m 

Dans cette égalité, remplaçons X par 60G,o — 0,69o /, m par sa valeur, et — - par sa valeur tirée de 



la relation (1) : ,.. d'^ . 

" ^ 0,000001 0S8(V - Mj 



dt 



il vient 



dt ^ ' (1 + 'j.tf' 

(2) 



dt 




K( 








dx ~ 


^^ ,, 0,00 00010S8(V - 

M + C H 

1 + -y./ 


- ''^ ( ,G06,5 0.69o0/'^ - 

i V 


îrf \ 


-(1 - 


- yM ) 



D'après cette expression de la vitesse du refroidissement à un instant x, on voit que si le vase 
était pleiu d'eau, M étant égal à V, on aurait 

dt _ K.f 

~ d.i; "~ M + C ' 

la vitesse de refroidissement serait à chaque instaut proportionnelle à l'excès t de la température de 

l'eau sur celle de l'enceinte, tout se passerait comme s'il s'agissait d'un système non volatil de capacité 

calorifique constante M + C. — Si le vase est presque rempli d'eau, M ne dill'ère pas sensiblement de 



136 QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



V, et le résultat précédent est acceptable avec une grande approxinialion, car la condensation de la 
vapeur n'a pas d'influence appréciable sur le refroidissement général. Si au contraire M est fort 
différent de V,la vitesse de refroidissement, pour un excès déterminé/, est plus petite que ne le serait celle 
d'un systèmp non volatil de capacité calorifique M -i- C ; cette atténuatiou est due à la condensation 
progressive de la vapeur qui occupe l'espace laissé libre par le liquide; sou effet est surtout sensible 

aux foriipératuri's élevées, parce que le terme — - a alors une grande valeur, ilais à niesuie que la 

température s'abaisse,-^ diminue, et la vitesse de refroidissement tend à di'venirP2;aleà celle du svstème 

al s V 

non volatil considéré, pour un excès / donné. Théoriquement, elle atteint celle limite au bout d'un 
temps infini, lorsque l'excès / devient nul. 

Si, dans l'exemple donné, le système n'était pas volatil, on trouverait, en prenant comme unitii de 
vitesse de refroidissement celle que l'on observerait à 80', 

à 120», v,^'\; 

à loo^ 1', = ?• 

4 

Dans le cas actuel, et en prenant de même comme unité de vitesse de refroidissement la vitesse de 
refroitlissement à 80", on trouve, en appliquant la formule (2) : 

;S M + C + 0,00a8.>j(V - M) 



à 120», 
à 100", 



"1 M + C + 0,015920^V - M) ' 
o M + C + 0,0058oS(V - M) 



4 M + C + 0,010020(V - M) 
On voit aisément que le coeilicient qui atténue l'expression de la vitesse de refroidissement est 
plus petit à 120" qu'à 100", ce qui confirme le résultat précédemment obtenu. 
Aiiplicatum numérique. — V = lÛOO'^'', C = 86»% M = Ob^SSSG. 

à 1 20", i\ = ^^ X 0,901 802 = 1 ,3o-2793 ; 

à 100", v^^^ X 0,956811 = 1 ,196014. 

Lakoi.ie, élève au lyide Saiul-Louis. 



QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS ORAUX 



École polytechnique (1890). — (Fin.) 

147. — Lieu des pieds des pcriieuiliculaires abaissées d'un point (a, h, c) sur les plans tangents à un paraboloïde 
hyperbolique. 

148. — Équation générale des quadriques contenant 0: et un cercle du plan des xy et passant par l'origine. Lieu 
des centres. Séparer sur le lieu trouvé les centres de cônes et d'hyperboloïJes. 

149. — Ou donne un diamètre d'une quadrique on grandeur et en position; combien celafail-il de condition s .'On 
en donne deux, puis trois. Rquation générale des quadriques ayant trois droilcs pour diamètres. 

150. — Oa donuo trois droites A, U, C dont deux no sont pas dans un uiâmo plan, l'ar A on fait passer un plan 
P, et on mène à ce plan une perpendiculaire rencontrant B et C. Lieu du pied de celte perpendiculaire quand le plan 1^ 



QUESTIONS POSÉKS AUX EXAMENS ORAUX 137 



tourne autour de la droite A. Étudier le problème géomélriquemenl, en cherchant les surfaces sur lesquelles se trouve 
un point du lieu. 

151. — On considère le conoïde engendré par une droite rencontrant 0;, parallèle au plan des xy et s'appuyant sur 
l'ellipse a;= a, -^ + — = 0. Calculer le volume de la portion de ce conoïde compris entre 0; et le plan a; = 2. 

152. — On donne deux cylindres de révolution égaax dont les axes se rencontrent et sont rectangulaires. Trouver 
l'expression du volume commun. 

153. — Ou donne la parabole y- — fpx = 0. Existe-t-il dans l'espace un point (a, p, 1] tel que la distance de ce 
point à un point quelconque do la parabole soit fonction linéaire des coordonnées de ce dernier? 

154. — On considère un trièdre dont les trois faces sont égales à un angle %. On mène la droite OA faisant avec les 
trois arOles des angles égaux, uucl doit être l'angle -x, pour que l'angle de OA avec les trois arêles soit égal à a? 

155. — On donne trois axes de coordonnées rectangulaires. Un cercle silué dans le plan des a-)/ a son centre à 
l'origine. Par un point A fixe sur Oj-, on mène une sécante quelconque ABC dans le plan des xy, et sur BC comme 
diamètre on décrit un cercle dans un plan parallèle à 0:. Équation générale des quadriques passant par ces deux cercles. 
Lieu des centres. Séparer sur le lieu trouvé les cenlres des ditlërentes surfaces. 

156. — On donne l'axe d'un paraboloide et quatre points de la surface; construire les éléments de la surface. 

157. — Mener par l'interseclion de deux quadriques une quadrique tangente à un plan. Étudier le problème 
géométriquement. 

158. — On donne un iilan diamétral d'une quadrique; combien cela fait-il de conditions? On donne un plan 
asymptote d'un hyperboloide, combien de conditions? On donne cinq plans asymptotes, quels sont les éléments de la 
surface qu'on peut construire? 

159. — Mener par un point extérieur des normales à un paraboloide ; équation de la sphère passant par les pieds de 
quatre de ces normales. 

160. — Construire les éléments d'un [larabolu'ide hyperbolique connaissant l'axe, une génératrice et un point. 



IV. — GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 

161. — Intersection d'un cùae et d'un cylindre ayant même directrice dans le plan horizontal; le cylindre a ses 
génératrices de profil. Dans le cas où la directrice commune est une conique, trouver le plan de la seconde courbe 
plane. 

162. — Mener un plan tangent à un cône parallèlement à une direction donnée. Le cône est donné par son sommet; 
sa directrice est un cercle dont le centre est dans un plan donné par ses traces et dont le rayon est connu. 

163. — On mène un plan faisant 45" avec la ligne de terre; un point dans ce plan est centre d'un cercle de rayon 
donné. Ce cercle est la directrice d'un cône ayant son sommet en un point quelconque. Développer une section plane 
quelconque. 

164. — Interseciion d'un cône et d'un cylindre circonscrit à une môme sphère. Les données sont absolument 
quelcon(|ue-<. 

165. — Intersection d'une sphère et d'un cône dont le sommet s, s' est dans le plan horizontal, dont la directrice 
est un cercle situé dans un plan de profil. Points remarquables. 

166. — On donne un cône par son sommet et sa directrice dans le plan horizonial. On le coupe par un plan 
quelconque et l'on prend cette section comme base d'un cylindre dont on donne la direction des génératrices. Mener à 
ce cylindre un plan langent par un point extérieur. 

167. — Interseciion d'un cône droit d'axe vertical et d'un cylindre de révolution d'axe parallèle à la ligne de terre. 

168. — Section plane d'une surface de révolution dont l'axe est de front. 

169. — On donne une sphère, une droite dans un plan de profil inclinée à 'ô° sur les plans de projection. Mener à 
la sphère un plan tangent à une distance donnée de la droite. 

170. — Un hyperboloide d'axe vertical est délini par trois parallèles. Trouver le cercle do gorge. 

171. — On donne une sphère et un plan. Un point donné {s, s') est le sommet d'un cône ayant pour direcirice la 
section de la sphère par le plan. Interseciion de ce cône et d'une droite. 

172. — Déterminer l'axe d'une surface gauche de révolution connaissant deux génératrices et deux points sur 
chacune d'elles, sachant que ces deux points sont sur une même parallèle. 

173. — Construire les contours apparents d'un cylindre de révolution connaissant deux génératrices et le rayon. 

174. — Construire les contours apparents d'un cône de révolution connaissant deux génératrices et l'angle au 
sommet. 

175. — Intersection de deux cylindres dont l'un a pour directrice dans le plan horizontal une conique et a ses 
génératrices de profil inclinées à 45° sur le plan horizontal. L'autre cylindre a ses génératrices parallèles à la ligne de 
terre, sa section droite est une conique. 

176. — Un cône a pour directrice la section plane d'une sphère. On donne la projection horizontale d'un point delà 
surface, trouver la projection verticale et le pUn tangent en ce point. 



lag QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



177. — Intersection de deux cylindres ayant pour directrices dans le plan horizontal deux hyperboles conjuguées. 
Points à l'infini. 

178. — On donne deux .sections cycliques de môme système dans l'hyperboloïde et une génératrice qui s'appuie sur 
les deux. Construire les éléments de l'hyperboloïde ainsi défini, et l'autre direction cyclique. 

179. — Intersection d'une droite et d'un ellipsoïde à trois axes inégaux. 

180. — On donne un cône oblique à base circulaire et un plan qui coupe ce cône; on considère d'autre part le 
cylindre ayant pour directrice l.i i-cclion plane du cône; les génératrices du cylindre sont parallèles à une droite de 
profil rencontrant la ligne de terre et passant par le sommet du cône. Intersection des deux surfaces. 

181. — On donne un cône à base circulaire située dans le plan horizontal. Ce cône oblique est le cône asymptote 
d'un hyptrholoïde dont on donne encore un point. La surface est-elle définie? Construire la projection verticale d'un 
point donne par sa projection horizontale, et le plan tangent en ce point. 

182. — On considère deux droites qui se coupent et une conique située dans le plan de ces deux droites et qui est 
donnée par sa projection horizontale; elle est la base commune de deux cônes de sommets donnés. Intersection de ces 
deux cônes. Trouver les points de contact des deux surfaces. 

183. — On donne un cône à base circulaire dans le plan horizontal et une droite verlicale. Normales communes au 
cône et à la droite. 

184. — On donne deux droites et un point. Déterminer le plan polaire du point par rapport au parabolo'ide engendré 
par une horizontale s'appuyanl sur ces deux droites. 

185. — On donne un point s, s', deux droites passant par s. deux droites passant par .•;. Existe-t-il des cônes du 
second degrJ ayant ces droites pour contours apparents'? Les déterminer. 

186. — On donne une droite (A, A.') et deux points (m, /)(') et (p, p). On demande l'angle des deux plans contenant 
la droite et passant par les deux points. 

187. — On donne un plan par deux droites qui se coupent. Une courbe de ce plan est donnée par sa projection 
horizontale; c'est la directrice d'un cylindre dont la direction des génératrices est donnée. Intersection de ce cylindre 
avec le plan bissecteur du second dièdre. Tangente en un point de l'intersection et tangente parallèle à une direction 
donnée. 

188. — On donne une droite (A, A') et trois points (a, a] (b, h') (c, c). On considère deux plans déterminés par la 
droite avec chacun des deux points [a, a) et (6, b'). Construire le cylindre de révolution tangent h ces deux plans et 
passant par le point {c, c). 

189. — Mener par une droite un plan coupant une verticale suivant un angle donné. 

190. — Trouver l'axe d'un cône de révolution connaissant deux génératrices horizontales et une génératrice de 
front. 

191. — Intersection d'un tore d'axe vertical et du cylindre de bout passant par une des génératrices méridiennes. 
Nature de la projection horizontale. 

192. — On donne une sphère tangoiilo au plan horizontal, une droite du plan horizontal, une seconde droite tan- 
gente au contour apparent horizontal de la sphère et dans le plan do ce contour apparent. Intersection de la sphère 
avec l'hyperboloïde engendré par la seconde droite tournant autour de la première. 

193. — On donne le cône asymptote et un plan tangent d'un hyperboloïde ; trouver la section de la surface par un 
plan quelconque. 

194. — On donne une droite verticale (A, A') et deux droites quelconques (13, B'), (C, C). On considère l'hyperbo- 
loïde défini par ces trois droites et le paraboloïdc qui a pour plan directeur le plan horizontal cl pour directrices (A, A') 
et |B, B'). Intersection de ces deux surfaces. 

195. — On donne un paraboloïdc hyperbolique défini par deux génératrices et un plan directeur (le plan horizontal!. 
Lieu des milieux des génératrices limitées aux deux droites données. 

196. — Intersection de deux cylindres détermiués par leurs bases et la direction de leurs génératrices. Chacune 
des bases est donnée par sa projection horizontale et les i)rojeclions do deux droites situées dans son plan. 

197. — On donne deux cercles dans des plans horizontaux dillcrents, et ou considère une verlicale rencontrant ces 
deux cercles. Démontrer que les deux cercles et la droite définissent un hyperboloïde. On donne un point (m, m') sur 
la génératrice verlicale; trouver la deuxième généralrice passant parce point. 

198. — On donne une parabole dans le plan horizontnl, et une droite dans le plan vertical. Construire le cône de 
révolution (|ui a pour base celte parabole et la projection verticale de son axe parallèle i la droite donnée. 

199. — Intersection d'une droite et d'un paraboloïdc de révolution dont l'axe est de front. 

200. — Une parabole située dans le plan horizontnl est la directrice d'un cylindre dont on donne la direction des 
génératrices. On coupe ce cylindre par un plan parallèle à la ligne de terre. Sommet de la parabole section. 



CONCOURS 



139 



CONCOURS DE 1890 (Suite). 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES (Épreuves dcliiiilives). 

Calcul. 

84. — X et y étant les coordonnées d'un point d'un plan, tracer la courbe délinie par l'équation 

tg(i|-2a') 

y = 

Ig x 
Déterminer : 

1° Les coordonnées des points de contact des tangentes parallèles à l'axe dos x; 
2" Les coordonnées des autres points où ces tangentes rencontrent la courbe. 

(On donnera les résultats avec toute la précision que comporte l'emploi des tables de logarithmes à sent 
décimales.) .,„ .,,-,. 

,,..,. 1 1^ aoul, de 7 h. amidi.) 

Gcometne desc?'iptive. 

85. — Représenter le solide commun a un ellipsoïde de révolution et à un cône de révolution. 

Données : 

^ ; Ellipsoïde. — Son centre a pour coordonnées 

; j" X = - i'^, y = 9':'», z = 8<--"'. 

L'axe de révolution est vertical et il a pour longueur 26 = j-j.m. [^ 

diamètre de l'équateur a pour longueur 2a = 16™. 

Cône. — Son axe est dans le plan de front qui passe par l'axe de 

l'ellipsoïde. 

Les génératrices situées dans ce plan sont : 

1° La tangente au point le plus haut de l'ellipse méridienne de 

l'ellipsoïde ; 

2» La droite qui joint le sommet le plus bas de celte mérdicnne au 

sommet le plus à droite. 

L'angle au sommet du cône est l'angle aigu formé par ces deux 

génératrices. 

I Nota. — On placera la ligne de terre parallèlement aux plus petits 

côtés de la feuille et à égale distance de chacun d'eux. 

Les candidats joindront à l'épure, sur une feuille séparée, une légende expliquant les constructions 

employées. ,.„ , , - , . ... , 

'^ ■' (iS (tout, de 7 h. a mtdi. ) 




CONCOURS DE 1891 



CONCOURS GÉNÉRAL DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 

l'hi/sique. 
Chaleur spécifique des gaz. 

II. 86. — À l'intérieur d'un vase cylindrique en forme do cloche, lix 



i partie 

supérieure, Hotte un cylindre semblable dont le bord est relevé en forme do gouttière; 
l'espace compris entre les deux cylindres est rempli partie par de l'air, partie par du 
mercure; et le système se trouve ainsi eu équilibre pour une pression atmosphérique 
donnée. 

Quel sera l'effet produit par une variation de la pression extérieure, et comment 
pourrait-on faire de l'appareil un baromètre inscripteur? 

IlL 87. — Démontrer que si on observe l'image d'un objet donné par un système 
optique (juelconque symétrique autour d'un axe, le grossissement reste le môme quand. 



le système demeurant fixe, on échange les positions do l'œil et de l'objet. 



1^7 mai, de 10 h. it i h. l/i 



140 QUESTIONS PROPOSEES 



Chimie. 

I. — Aaalofries et dill'érences phj'siques el chimiques du brome et de l'iode. — Leurs principaux composés. 

n. 8S. — On chaulfe 12s',400 de phosphore avec un excès d'hydrate de baryte dissous dans l'eau. On 

9 
admet qu'il ne se produit ni liydrogène libre, ni acide phospliorique et que le gaz dégagé se compose de j^r- de 

phosphure d'hydrogène gazeux et de j— de vapeurs d'hydrogène phosphore liquide. Après dissolution du 

phosphore, le liquide est traité par un courant d'acide carbonique en excès et filtré. A cette dissolution on ajoute 
de l'acide sulfuriqu« dilué tant qu'il se forme un précipité; on filtre de nouveau, on lave et on sèche le 
précipité. Dans la dernière liqueur filtrée on fait passer un courant de chlore en excès, puis on évapore et on 
calcine en s'arrèlanl avant la volaiilisation du produit solide. 

On demande : 

1» Le poids du précipité donné par l'acide sulfurique; 

2" La nature et le poids du produit contenu dins le liquide séparé de ce précipité; 

3° Le poids de chlore utilisé par celte dissolution: 

i° La nature et le poids du produit obtenu après évaporation et cah'iuation. 

Ou donne l'cquivalent du baryum: Ba = G8,o. 

(i9 mai, de 10 licures à i h. l/i.) 



QUESTIONS PROPOSÉES 



89. — Uu cercle de rayon R est tangent à une ellipse donnée à l'extrémité du grand axe. Trouver 

une équation qui donne la dislance d'un des foyers au point ou la tangente commune aux deux courbes 

rencontre le grand axe. 

(R. GiLBEBT, lycée Janson-dc-Sailly.) 

90. — On donne deux points fixes A et B. De A et B comme centres, on décrit deux cercles, l'un 

de rayon constant, l'autre de rayon variable. Le lieu des points de contact des tangentes communes 

avec le cercle variable se compose de deux limaroiis de Paseal. 

(Capitaine E. N. Barisien.) 

91. — On donne deux points lixes A et B. De A cl B comme centres ou décrit deux cercles variables, 

mais tangents entre eux. Le lieu des poiuls de contact des tangentes communes aux deux cercles est 

un limaçon de Pascal. 

(E. N. Bahisien.) 

92. — Eu un point A de la circonférence d'un cercle donné on décrit un cercle quelconque langent 
au premier. Si on fait varier le rayon de ce second cercle, le lieu des points de contact sur le cercle 
v;iriable des tangentes communes au cercle lixe et au cercle variable est une cissoïde, 

(E. N. Baiusien.) 

93. — D'un point M d'une lemniscate on peut mener quatre tangentes à cette courbe, outre celle 
qui touclie la courbe en M. Prouver que les quatre points de contact de ces tangentes sont sur une 
ligne droite, et chercher l'enveloppe de cette droite quand le point M décrit la lemniscate. 



Le liédacleur-Gàanl : II. VUIBERT. 



Ire Année. N° 10. Juillet 1891. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



ECOLE NAVALE (Concours de 1891). 



Questions d'Algèbre. 

94. — Étudier les cavintions de la fonction 

2(x- li^ 



\/ 4x= — 4x cos 9 + 1 

1- 
Con-struire la courbe dans le cas oit o = — • 

Nous supposerons le radical pris avec le signe -t-; il est clair que si nous connaissons les 
variations de y dans cette hypothèse, nous en conclurons sans difficulté les variations de cette 
fonction, le radical étant supposé précédé du signe — . 

Écartons d'abord le cas ou l'angle donné o serait égal à k-, k étant entier; l'étude proposée 

revien Irait alors à celle des variations de 

_ l{x- li' 

^ " tdx = 1) ' 

t désignant + 1 si 2x =: 1 est positif, et — 1 si ce binôme est négatif; la question devient alors tout à 
fait élémentaire et n'exige pas l'emploi des dérivées. Les courbes qui figurent la variation sont des 
hyperboles ayant une asymptote parallèle à l'axe des y et l'autre parallèle à l'une des bissectrices des 
angles formés par les axes de coordonnées. 

Dans le cas général, le trinôme 4a;' — ix cos <p + 1, placé sous le radical, ne peut s'annuler pour 
aucune valeur de x, puisque 4 (ces' o — 1) est négatif; ce trinôme est donc positif, comme son 
premier terme, pour toutes les valeurs de la variable. Il résulte de là que la fonction proposée est 
réelle et finie pour toutes les valeurs données à a; ; de plus elle est continue pour toutes ces valeurs, 
puisqu'elle est le quotient de deux fonctions continues et que son dénominateur ne peut s'annuler. 
Enfin ou voit immédiatement que la valeur de y est toujours positive, sauf pour a; = 1, valeur 
pour laquelle la valeur de y est nulle ; c'est donc un minimum. 

Cherchons les valeurs que prend y pour x = ± x> ; mettons, pour cela, la fonction proposée 

2 1 

2c* — 4a; + 2 x x^ 

sous la forme y = 



v/4x» — 4x cos o + 1 s f 4 cos 







c désignant +1 ou — 1 suivant que la variable a; reçoit des valeui s positives ou des valeurs négatives. 
On voit que si la valeur absolue de x croit sans limite, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur 
vers zéro. Ainsi y croit sans limite. 

De ce qui précède il résulte que la variable x croissant de — x à + x, la fonction y part de 
4- X et revient à -i- » après avoir passé par un minimum au moins égal à zéro et atteint pour x = J . 



142 ÉCOLE îsAVALE 



Pour compléter cette étude sommaire, calculons la fonction dérivée de y ; nous obtenons 

4(a; — 1) v^ia;* — 4a; cos 0^1 — 2(x — 1)» — '^ 

\/ix^ — 4x cos 9-1-1 

4.C* — 4x eos ç -t- l 
ou Lieu, après réductions, 

, 4(x- i)[±c^- f3cos(s -2^x-i-l - eos il 

y = '■ 1 ^• 

(4a;'' — ix coscp + 1)2 

Cette dérivée est réelle, finie, continue et bien déterminée pour toutes les valeurs de a;; le 
dénominateur est toujours positif, de sorte que y' a constamment le signe du numérateur. Désignons 
par ç (x) la quantité placée entre crochets : 

9(x) ^ 2x'* — (3 cos ip — 2)a; -i- 1 — cos 9. 
C'est un trinôme du second degré qui ne peut s'annuler que si l'on a 
(3 cos - -2)- — 8(1 — cos ?) > 
ou bien 9 eos'' cp — 4 cos 9 — 4 > 0. (A) 

Or cette condition n'est pas remplie pour toutes les valeurs de l'aagle ç : car l'équation 
/■(cos tp) = 9 ces" 9 — 4 cos — 4 = 0, 

dans laquelle nous regardons cos 9 comme une inconnue, a ses racines réelles et de signes dilféreuls 

4 
puisque leur produit — - est négatif; de plus, elles sont comprises entre — 1 et -t- 1 : en effet + 1 sur- 
passe évidemment la racine négative; il surpasse aussi la racine positive puisque /"(l) = 9 — 4— 4 = 1, 
nombre positif; ou voit de même que — 1 est inférieur à la racine positive et aussi à la racine négative 
puisque f{— l) = 9-(-4 — 4 = 9, nombre positif. Appelons cos a la racine positive et cos [i la racine 

négative; nous aurons 

2-4-VlO . 2-VlO 

cos a =: 1 cos [5 = • 

Nous avons deux cas à distinguer : 

1° Si cos 9 est compris entre cos a et cos [3, la condition (A) n'est pas satisfaite; ré([uation o{x) = 
a donc ses racines imaginaires et le trinôme 9(0;) est positif pour toutes les valeurs de x. La fonction 
dérivée y' a donc le signe du facteur.r — 1, c'est-à-dire qu'elle est négative tant que x est inférieur à 1, 
nulle pour a; = 1 et positive pour a;>l. lien résulte que la fonction proposée y décroit constamment 
de l'infini à zéro quand x croît de — x à I, puis croit constamment de zéro à l'infini quand x croit de 
1 à -h 00 . 

2° Si cos 9 n'est pas compris dans l'intervalle de cos a à cos p, c'est-à-dire si l'on a 

cos a < cos 9 < I 
ou bien cos & > cos 9 > — 1, 

la condition (A) est satisfaite, et le trinôme 9 (x) change deux fois de sigue quand x varie de — ao à 
-h 30 . Les valeurs de x pour lesquelles ces changements de sigue se présentent sont 



3 cos -i —1 — \/\) cos' ca — 4 cos o — 4 3 cos — 2 -+- \/9 cos' <b — i cos 3.-4 

x, = '■ ; '■ ■ et X., = '■ -, '■ ' • 

4 4 

Ces valeurs ont toujours le même sigue puisque leur produit , — '- est positif; elles sont 

- 
positives si cos 9 surpasse ", ce qui arrive quand cos 9 est compris entre cos a et 1 ; elles sont négatives 



ÉCOLE NAVALE 



143 



quand cos 9 est compris entre cos p et - 1 . Daus tous les cas elles sont inrcrieures à 1 : car 

9 (1 ) = 2 — (3 eos tp — 2) + 1 — CCS 9 = 5 — 4 cos 9, 
nombre positif; ainsi 1 ne peut pas être compris entre les valeurs de a;, etx,.; de plus, ces valeurs no 
peuvent pas surpasser I puisque leur produit est évidemment inférieur à 1; elles sont donc toutes deux 

plus petites que l'unité. 

Suivant que x est ou n'est pas compris dans l'intervalle de x^ à a-,, 
le trinôme 9(3;) est négatif ou positif. 

Pour suivre aisément les variations de y, faisons un tableau 
divisé en trois colonnes; inscrivons dans la première les valeurs 
remarquables de x rangées par ordre de grandeur; daus la deuxième, 
mettons les signes de la fonction dérivée //; la connaissance de ces 
signes nous permettra d'inscrire dans la troisième colonne les 
variations de la fonction proposée. 

Dans le cas où cos 9 serait égal soit à cos a soit à cos S, les v aleurs 
de ce, et x^ deviendraient égales et le trinôme ^{x) s'annulerait 
sans changer de signe pour a- = a;, = x^; la fonction y serait alors 
constamment décroissante, x variant de — x h i. 



X 


'/ 


y 


— yz 




-+- 00 




- 


décroit 


a^i 





minimum 




+ 


croit 


^'2 





maximum 




- 


décroit 


1 





minimum 




+ 


croît 


+ Xi 




+ y. 



Construction de la courbe pour le cùs où : 

y 



-— . — En ce cas cos 9 = 



g et la fonction devient 




y 



2(a; - \f 
v/4ic^ + 2x + l 



Le nombre — - n'étant pas compris entre cos a 
el cos ^ puisque 

1\ 9 't , 1 



nombre positif, nous sommes dans le second cas 

examiné plus haut; les valeurs dea-, et do x^ sont les 

racines de l'équatiou 

7 3 

2a;^ + ^a;+- = 



La première correspond à un minimum égal à 



ou bien 

Ces valeur 

8 
— = 01 

V3 

'.9 



4x* + ~x + '6 
sont donc 



0. 



La seconde correspond à uu maximum égal à — - 



-H / 



8V3 
3 

4 



a-, 1= — 1 et . 
ou 4,6188.. 

ou 4,6300. 



(Les valeurs décimales sont approchées par défaut à moins tle 0,0001.) 

Asymptotes. — Cherchons les équations des asymptotes. Leurs coellicieuts angulaiies sont les 



limites, pour x infini, du rapport 



2a; 



2 



Or, 



•^ x/ix^ -h "2jc + 1 



s/ 



4 + 



ECOLE NAVALE 



E désignant -h I ou — 1 suivant que x est positif ou négatif. Faisons croiire indéfiniment la valeur 

absolue dea;;on voitque pour a;positif,lalimite de- est + 1; cette limite est — I pour a; négatif. Aiusi 

la courbe a deux asymptotes parallèles aux bissectrices des angles des axes. 

L'ordonnée à l'origine de l'asymptote dent le coellicieut angulaire est -h 1 est la limite pour x 
infini et positif de la différence y — a;; on a 

2.r= — 4x + 2 — a:v/4x» -h •ix -h i (ir= — ix — ir - x-{ix'' -t- 'ir + 1 ) 

y — X = := — 

v/4a;^ + ir + 1 (2x« - ix + 2 4- x\/i:X^ -h2x + i]\/ix^ -h-2x-hl 

— I87'-f-2.3a;'-16x + 4 



ou, après simplifications, y — x = 

4x' + 2a;' + x + i-lx'' — 'n; -+- 2)\/4x^ ■+■ 2x+ i 

Si l'on divise haut et bas par x', puis que l'on fasse croître x au delà de toute limite, ou trouvera 

hin(y-x)= - — =--- 

L'équatiou de cette asymptote est donc y = x — ~ • 

La seconde asyruptole a pour ordonnée à l'origine la limite pour x infini et négatif de j/+x, ou bien 
si l'on pose 



la limite pour x' infini et positif de y — x. Or 



2x'^ -+- 4x' + 2 - x'\'4r'^ - ±x' + 1 



\ 4x'^ — iix' + 1 


un calcul semblable au précéilent donne pjur limite de y — x' le nombre -; l'équation de cette 

asymptote est doue 

9 
y = --''+ 7,- 

Ces deux droites sont symétriques l'uue de l'autre par rapport à l'axe des abscisses; on pouvait le 
prévoir à cause de la symétrie de la courbe complète par rapport à cet axe. 

Cherchons si les asymptotes rencontrent la courbe à distance finie; les abscisses des points communs 
à la première asymptote et à la courbe sont les racines de l'équation 

9 2(.E - 1 }■" 

X = , • 

4 \/4x'' + 2x + 1 

Pour la résoudre nous devons élever les deux membres au carré, de sorte que les points trouvés 
pourront être sur la partie de la courbe complète située du cité des y négatives aussi bien que sur 
l'autre. Cette équation du quatrième degré admet, comme on pouvait s'y attendre, deux racines infinies, 
et en outre les racines de l'équation du second degré 

188x' - 3i6x - 1" = 0. 
Leurs valeurs sont à moins de un di.\-millième 

i ,888.3 et - 0,0478. 
Les points communs à la seconde asymptote et à la courbe ont évidemment les mêmes abscisses. 
Points d'inflexion. — La seconde dérivée de la fonction y a pour valeur 
„ _ 8(3 cos' o — 8 cos y + 7)x' -h IGfcos' y — o cos 9 + '^)x + 4(6 cos' s. — 4 cos 9 — 1) 

(4x' — 4x cos tp H- 1)^ 



ÉCOLE NAVALE Uo 



Dans le cas particulier où cos 9 = - -, le numérateur de cette fonction est le double du 
trinôme 

Alx'' + Wx + 5, 

qui s annule pour deux valeurs de, T, l'une comprise eutre —lot l'autre entre —- et zéro 

4' ' 4 ■ 

La concavité de la courbe e.^t tournée du côté des y positives sauf le petit arc formé par les points dont 
les abscisses sont comprises entre ces deux valeurs de x qui sont les abscisses de deux points 
d'inflexion. 

95. — Étant donné un angle AOE égal à 9, on le partage en n parties égales. Sur l'un des côtés OA on 
prend une longueur égale à l'unité et on fait en A arec la direction OA un angle égal à un autre angle donné 7. ; 
la droite ainsi tracée rencontre en B la dircclion OB qui fait avec OA l'angle - ; on trace ladroitc qui, parlant 

de B, [ail avec OB l'atigle a jusqu'à sa rencontre en C aiec la direction qui fait avec OA ianqle — . On continue 

n 
ainsi jusqu'au second côté de l'angle 9. On obtient sur ce côté un segment OE dont on demande la limite 
quand n croit indéfiniment . 

Posons - —X, d'où ?i = -. 

n X 

OB "'" ~ 

Le trianslc OAB donne — = 




OA sin (a — x) 
Le triangle OBG semblable au précédent donne 

OC sin a 

OB sin (a — ce)' 
et ainsi de suite. Si OE est le dernier rayon et OD l'avant-dernier, on a 

OE _ sin a 
OD sin (a — a;)' 
en égalant le produit des premiers membres au produit des seconds membres, on obtient 



A 



OE r sin a "]" r sin a 1; 
OA [sin (a — x)\ [sin (y. — x)\' 



Cette expression prend pour as — la forme 1". Pour trouver la limite vers laquelle elle peut 
tendre, désignons-la par y et prenons le logarithme népérien de y. 



sin a 



s:n (a 
L'J ^ ? — 



Les deux termes de la fraction tendent simultanément vers zéro; nous pouvons donc appliquer la 
règlede L'Hospital;la dérivée du dénominateur étant l'unité, il suffit de prendre la dérivée du numé- 
rateur; nous Irouvons 

sin (a — .(■) sin a cos (a — x) 

^ ^-r-, ^ — îs colg (a — x). 

sin a sin^ (a — .; ) ^ 

La limite de celte quantilé est cotg a, et colle do L^ est 9 cotg 0.. 11 en résulte que la limite de 
OEest (,v"'iP'_ 

E. Dessenon. 
(MM. A. AiDouiN (lycée de Cherbourg) et lî. de NaïniKU (lycée de Lyon), ont envoyé do lionnes solutions des questions 0.» et as.) 



146 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



GEOMETRIE 



Solution cÉOMÉTRigiE r>E la qiestion 42. — Lo centre de gravité du quadrilatère OACB se trouve 
en un point G de KL tel que l'on ait Kl — GL. Or le lieu du point L est 
une parallèle PQ à la droite A, aisée à déterminer. 

Prolongeons IK d'une longueur KN = KI; le lieu du piint N est une 

1 

parallèle RS à la druilc AB, coupant OA au point A' tel que OA' = - 0\; 

et comme on a KN = GL, on voit que le lieu du point G est l'hyperbole 
qui a pour asymptotes PQ et RS, et qui passe par le point K. 




GEOMETRIE ANALYTIQUE 



Démonstration d'un théorème de Joachimsthal. 

Soit A (x^, y^) un point d'une ellipse rapportée à ses axes de symétrie et définie jiar ré(]uation 

\- 1=0; désignons par (a. ft) les coordonnées d'un point P pris sur la normale eu A à l'ollipso 

a' b' 

donnée. Du point P paiteiil quatre normales à l'ellipse, ayant ]iou"- pieds les points A, lî. C, D. Si l'on 

désigne par (x, ij) les coordonnées de l'un quelconque des points B, C, D, on a 



-i='' 



d'oli 



y - y-i 



(!) 



D'autre pari, le pied de l'une quelconque des normales considérées étant sur l'hyperbole d'Apol- 
lonius relative au point P, on a aussi 

6« H = a'' -i -, 

X 1/ 



d'où, en refranchant membre à membre : 



En divisant membre à membre les équations (I) et (2), on obtient l'équation 



t2) 



G^) 



a'a b'b 

qui représente une coniciue passant jiar les points B, C, D et par le point A' diamétralement opposé au 
point A. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 147 



En posant &' + — = 0^-1 = h, 1 équation (iS) prend la forme suivante : 

^^"^/•'^ (/. - a») + ^'i^f^ (/. - i^, = 0. (4) 

Cette équation représente une conique ayant ses axes parallèles à ceux de l'ellipse donnée et, par 
suite, les coupant en quatre points situés sur un cercle, ce qui démontre le théorème de Joachimsthal. 
Nous nous proposons d'oblenir l'équation de ce cercle. Cette équation est de la forme 

\«^ 6- / a^ b- 

Pour que cette équation représente un cercle, il faut et il suffit que À vérifie l'équation 

l -h II A + h 

, ce qui donne a — — h. 



a- b- 

L'équation du cercle de Joachimsthal i st donc la suivante: 

. /XX, Il II, ,\ 

x^ + if + xx^ + yy, = h ( —' + i^ + 1 j . 

Sous celte forme, on reconnaît immédiatement que ce cercle passe par le pied de la perpendicu- 
laire abaissée du cenire de l'ellipse sur la tangente au poiut A', puisque a;^ + ?/* + xXi -+- yy, = est 

XX lui 
l'équation du cercle décrit par OA' comme diamètre, et -^ -i- ^ +1=0, celle de la tansrente en A' 

à l'ellipse donnée. (B. N.) 

61. — On donne une parabole rapportée à deux axes rectaïu/ulaires Ox et Oy ; cette parabole a -son are 
parallèle à l'axe des y, elle passe par l'origine et le point de l'axe des x dont l'abscisse est 1, enfin elle admet une 
oj-donnée maxima égale à f. 

On donne, en outre, une droite passant par l'origine et un point A (x = 1, y = h). 

'I" Démontrer que, si, pour une abscisse déterminée, onporte en ordonnée la somme algébrique de l'ordonnée 
de la droite et de celle de la parabole cori'espondantes à cette abscisse, l'extrémité de cette ordonnée est sur une 
parabole (P) égale à la première. 

2° Démontrer que les axes des coniques qui passent par l'intersection d'un cercle et d'une conique sont 
parallèles aux axes de celle-ci. 

3" Une circonférence de cercle décrite sur A. comme diamètre coupant la parabole (P) en quatre points, 
A, B, C, cheicher le lieu du point d'intersection des sécantes communes OA, BC quand on fait varier h, et 
construire ce lieu, qui n'est pas du deuxième degré. 

4" Chercher la valeur du rapport - pour Inquellc le cercle décrit sur OA comme diamètre est langent à la 

parabole, quel que soit h. 

(Ecole centrale, IS90, 5""" seasion.) 

1. — L'équation de la parabole donnée est de la forme 

y = "/X (x — l), 

avec la condition que pour x — -^ on ait y ~ f- 

, . . . " .V 

On obtient ainsi a = — — ; 

4/ 
d'où l'équation y = -^ x[l — x) ■ (1) 



148 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



La droite OA a pour équation y = — ■ 

En écrivant que l'ordonnée d'un point est égale à la somme algébrique des ordonnées de la 
parabole et de la droite précédentes qui correspondent à une abscisse .r, on obtient l'équation 

y=ylx(t- a) + - , (2) 

qui représente une parabole dont l'axe est parallèle à Oy; je dis qu'elle a même paramètre que la 
parabole donnée. 

En effet, soit l'équation d'une parabole 

y = ox^ -i- bx + c. 

61' Aac — b° 



On peut 1 écrire y = a \x + ^ 



Transportons l'oriçrine des coordonnées au point a: — — tt-> y = ; ; l'équation devient 

y = ax-, 

\ 
ce qui montre que le paramètre de la parabole est la valeur absolue de — • 

Comme dans les seconds membres des équations (1) et (2), le coefficient de x- a la même valeur, 

les deux paraboles ont même paramMre, qui est épal à — .• 

2. — Considérons une conique iS) et un cercle (C) et supposons les axes coordonnés parallèles aux 
axes de (S); dans le cas où (S) est une parabole on supposera l'axe de cette parabole parallèle à l'un des 
axes coordonnés. Les courbes (S) et (C) é'.ant représentées par les équations 

Ax» + C^> + 2Da; + ... =0, 
x^ -+- y- -h 2rt^ + ... =0, 
l'équation générale des coniques passant par les points communs à (S) et à (C) est. 

(A + l)x^ + (C + l)y^ + . . . = 0. 
L'absence du terme en xy montre bien que les axes de celle conique sont parallèles aux axes 
coordonnés et, par suite, aux axes de la conique (S). 

Supposons que la conique et le cercle se coupent en quatre points 0, A, B, G; les droites OA, BC 
forment une conique passant par les points communs aux deux premières. Les bissectrices des angles 
formés par OA et BC sont les axes de cette conique particulière; elles sont parallèles aux axes de la 
conique (S) et, par suite, les droites OA, BC sont également inclinées sur les axes de (S). 

3, — L'équation de la parabole (P) peut s'écrire 

P = 4/a;» - l(if + h)x 4- /'y = 0, 
celle dn cercle décrit sur OA comme diamètre est 

S z^ .T» + y- — Ix — hy = 0. 
Pour obtenir l'équation de la droite BC, il suffit de trouver un nombre À tel que P -+- ).S soit 
décomposable en un produit de deu.x facteurs dont l'un soit hx — ly ; en égalant à zéro le second 
facteur on aura l'équalion de BC. Mais les droites BC et 0.\ sont également inclinées sur l'axe de la 
parabole (P), par suite, le premier membre de l'équation de BC aura la forme hx ■+ ly +. k ; par 
suite, les termes du deuxième degré de P + XS doivent être proportionnels à A'x' — l'y'. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



149 



l- ■+- /(^ 
En foi-manlla combiiiaisou — ~ — P — ^^S , ou voit que les termes du deuxième degré sont 



h^x'' — /^i/% et Ion a l'identité 



4/- 



P - /-S = h\x^ - l'^if - j- (/» + h? ^ \fli){hx - iy). 
Supprimant le facteur hx — ly , on obtient l'équation de BC 

hx + ly - /-. [l- + h^ + Afh) =. 0. 



(3) 



hl 



Le lieu du point de rencontre de BG et de OA s'obtient en tirant h de l'équation de OA, h 
et remplaçant dans (o); ou obtient ainsi 

S/x'^ - /^(,x^ + f) - iflxy = 0. 

C'est l'équalion d'une courbe du troisième degré, qui a uu point double à l'origine, des branches 
paraboliques parallèles à Oy et une asymptote parallèle à Or. Pour la construire nous poserons y = tx. 



r-t' 


+ ifit -f- /- 




i^i^ - i) 



Ou obtient 



Les valeurs remarquables de t sont ± 1, 



y'' = 



IV + 4flt + 1^ 

8/- 

Ijh + 2/) 
if 







et les racines du trinôme l'^t- + iflt + /- qui ne 

sont réelles que si 4/'* — ^'^ > 0, ou si 2/'> l, 
puisque /' et / sont positifs. Il y a donc trois cas 
à examiner. 

PuEMiER CAS.2/">/. — Si f, et <2 senties racines 
du trinôme, on voit que ces racines sont négatives 
et inverses l'une de l'autre et l'on constate aisément 
qu'on a l'ordre de grandeur suivant : 



2/" 
h<-~<-i<t,<(}< 

on en déduit le tableau de variation 



1; 



— 00 




ti 




2/- 


-1 


/, 


+1 


-i-x 




+ 




+ 




+ 


- 


+ 






- 




- 





+ 


+ + 


+ + 




— 00 


croit 







croît 


Max. 


décroit décroit 


— 00 + oo décroît min. croît 


+ 00 



CCt 



î/ + 00 décroît décroît min. 



croit 



croît 



croît 



Deuxième cas. 'if — l. Les racines du trinôme sont égales à — 1, les quatre valeurs remarquables 
négatives du tableau précédent sont égales à — 1 ; l'origine est un point de rebroussemeut. 

Tkoisième cas. 2/' < /. Les racines du trinôme sont imaginaires; on forme aisément un tableau 

de valeurs analogue au précédent. 

2/' 
On a un point double isolé à l'origine. Observons que > — 1. 



150 



GEOMETRIE DESCRIPTIVE 



Le point M coirespondanl à / = — 1 e?t situé au-dessus de l'asymptote si 4/" > /, et au-dessous si 
4/< 1. 





/ 


/ /" 




/ 


a 


~^\^ 







\ 


y 




\ 


/'■^l 


-\ 


\ 






1 / 






.„„^ \ 


\ 


/ 


v^ 








-^~^.' 


/ 








" 





Deuxième cas. 



Troisième cas. 



4. — Pour que le cercle et la parabole soient tangents, il faut, ou bien que les deux sécantes 
communes se coupent sur l'une des courbes, ou bien que l'uue des sécantes soit tangente à l'une des 
courbes. En écrivant que BC passe par lo point (), ou le ]joint A. on trouve une condition qui ne peut 
être remplie quel que soit h. 

D'autre part OA ne peut être taugente au cercle, donc tout revient à écrire que BC est tangente à 
l'une des courbes, au cercle par exemple. Formons pour cela l'équation des droites joignant l'origine 
aux points de rencontre du cercle et de BC; on obtient 

Ix ■+■ hji 



qui se réduit à 

et ces droites sont confondues si 



'vf(hx + ly) ~ l{f' + h' + if h) ' 
/x- — ifxji + II/'' — 0; 



[Aulrcs soliilioiiS \ar MM. Aiizkka.m ilyccc de Toulouse) ol K. Jissinei (lyciîe de Troyes). 



K. Liivv, lycée Janson de Sailly. 



G 1-: ( t M VA' R I E D E S G R I P T I \' E 



62. — iNTEnsECTio.N DK DKUX coNKS DU RÉvoMiTio.N. • — La ligiic >lc rappel oo' da centre du cercle de base 
du premier cône est à égale dislance des (jrands côtés du cadre. La cote du point {o,o') est de lOO""' et son 
éloignement dr n.3""". La ligne de rappel ss' du sommet du premier cône est à 8'""" de oo' vers la droite. I.'i 
cote du point (s, s') est 210""" et soti éloir/nement lt)!2""". Le rayon du cercle d: base est de 80""". 

On prend le diamètre horizontal de ce cercle de base et on fait tourner de 90° le premier cône autour de 
cette horizontale, de manière que la cote du sommet reste supérieure à celle du centre de la base; on a ainsi 
le second cône. 

On demande de représenter par ses deux projections le corps solide formé par l'ensemble des deux cônes 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 151 



supposés pleins et limité< chacun à son sommet el à sa bise. On indiquera à l'encre roiu/e les consiruclions 

employées pour placer les données et pour déterminer : 

1° Un point quelconque de chacune des bases et les tangentes en ces points; 

2' Un point quelconque de l'inlersection des deux cônes et la tangente en ce point: 

3" Les génératrices de contour apparent des deux cônes et les points des hases et de l'intersection situés 

sur ces génératrices. On n'indiquera pas d'autre construction. 

(École Centrale, 2" sessiun, IS!)0.; 

Les deux cônes étant circooscrits à une mciuc sphcro, leurs surfaces latérales, supposées 
prolongées indéfiniment, se coupeul suivant deux coni(jues qui se projettent sur le plan des axes 
suivant deux portions de droite. 

En prenant pour nouvelle ligne de terre l'horizontale x^ ?/i qui passe par le point o, o' et qui se 

projette horizontaleinejil suivant os, les deux cônes sont représentés, en projection 

/\ verticale, par les deux triangles s"c"rf", s'\c'[d'[, et L'S courbes communes à leurs 

1 surfaces latérales par les portions oe" et i"l(" des deux diagonales du quadrilatère 

-^ ':'^^.^ formé par les projections verticales des quatre génératrices méridiennes. 

loo; ; Or, le point s, s' est à 110°"" au-dessus du plan horizontal du point o,o', et la 

i 87 ; verticale du point s, s' perce ce plan horizontal en un point v,v' dont la distance au 

93; point 0,0' est égale à y (162 — 93)'' + 87^ c'est-à-dire à 1H'""',04. Le triangle 

t ■-. ;'^2 SOV est donc très sensiblement isocèle : la droite SO fait avec le plan horizontal un 
N ; angle qui ne diffère de 45° que de 16' 10". Si l'on suppose que cet angle est rigoureuse- 

ment égal à 43", le second cône est le symétrique du premier par rapport au plan 
vertical P qui passe par le diamètre horizontal commun aux deux cercles de base, et ces cercles ont 
des projections horizontales qui coïncident. 

Avec les données de l'épure, aii contraire, le plan vertical P n'est pas un plan de symétrie et les 
projections horizontales des deux bases sont différentes; mais ces projections sont si voisines l'une 
lie l'autre que deux tracés distincts sont impossibles. En outre, les deux coniques communes aux deux 
surfaces sont l'une dans un plan si voisin d'un plan vertical et l'autre dans un plan si voisin d'un plan 
horizontal, que la projection horizontale de la première et la projection verticale de la seconde, projec- 
tions qui théoriquement sont des ellipses, se confondent, dans le tracé, chacune avec une portion de 
droile. 

Nous ne pouvons donc obtenir un dessin rigoureusement exact; aussi préférons-nous modifier 
légèrement les données et nous placer nettement dans le cas auquel correspond forcément le dessin 
exécuté d'après les données non modifiées, c'est-à-dire dans le cas où la droite SO fait un angle de 
45° avec le plan horizontal. Les projections des cercles de base sont alors deux ellipses rigoureusement 
confondues et les courbes communes aux deux surfaces coniques sont l'une dans un plan vertical et 
l'autre dans un plan horizontal. 

1° Pour avoir un point quelconque de l'une des bases, par exemple de celle qui a c"d" pour projec- 
tion verticale auxiliaire, on rabat cette base sur le plan horizontal du point 0, 0', on prend un point 
quelconque Li sur son rabattement et on relève ce point en /, l" . Du point /, l" on passe facilement au 
point cherché /. /'. La tangente en ce point s'obtient en le joignant au point /, t' oîi la tangente en Lj 
coupe ah, a'b'. 

2° La génératrice si, s'I' perce le second cône en deux points m,nt' , «,u' qu'on déduit de leurs projec- 
tions verticales auxiliaires m" , n". Ou trouve la tangente en m en joignant ce point au point m où It 
rencontre i, i"; quant à la tangente en n', elle passe évidemment par t'. 

.3° La verticale de .s- perce le plan de base c"d" en un point symétrique de s" par rapport à os et dont le 
rabattement S, est par suite le même que celui de s"; la tangente Sj [j.^ au cercle détermine une des 



1S2 



GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVK 




QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 133 



génératrices sa du contour apparent liorizoutal; les trois autres géuéralrices s'en déduisent pur 
symétrie. 

Pour avoir le contour apparent vertical, ou cherche d'ahord le point r, s' où la droite de bout qui 
passe par s' reucoulre le plan de base du cône s, s'. Ce point r, s' s'obtient en coupant le plan de 
base par le plan de bout s'p'g'. Ou rabat ensuite le point r, s'euRi, on mène la tangente RjX, au 
rabattement du cercle'de base et ou relève cette droite en s' X'. 

Les autres génératrices du contour apparent s'obtiennent de môme. 

Les divers points remarquables de l'intersection sont: sur les deux bases les six points 
(a, a'), (b, b'), {i, ï), {i^ , i'i), (k, k'), (/,:,, k[) et sur le contour apparent vertical le point v, v' et son 
symétrique ii par rapport à la verticale de 0. 

Observons que le plan de base de l'un quelconque des cônes passe par le sommet de l'aulre. Il y 
a doue des proportions de génératrices de chaque cône qui appartiennent à la base de l'autre et qui 
doivent être regardées comme faisant partie de l'intersection. 

Louis Messenï. 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



École centrale (1890). 

1. — La distance dos points de contact d'une tangente coramuno extérieure à deux circonférences est égale à la 
longueur d'une tangente commune intérieure comprise entre les deux tangentes communes extérieures. 

2. — A quelle condition doivent satisfaire les arcs a, b, c pour que l'on ait 

cos= a + cos^ b + ces' c + 2 cos a cos b cos c ^ 1 ? 

3. — Les tangentes communes intérieures à deux circonférences rencontrent les tangentes communes extérieures 
en quatre poinis situés sur \in cercle. 

4. — On donne nn angle a;Oy et doux points A et sur 0?/; trouver sur Oo; un point C tel que l'angle AC13 soit 
nidximum. 

5. — Maximum et minimum de x+-- 

X 

6. — Le module dune somme est plus petit que la somme des modules et plus grand que leur dillorence 

7. — Dérivée de arc sin . Interpréter le résultat. 

i + ts"-| 

Zx 

8. — Fonction primitive de —, • 

(o + oa;")' 

9. — Discuter les racines de x"' + px"^~^ + 5 := 0. 

10. — Maximum ou minimum de sin [x + a) + cos [x + b). 

1 

11. — Fonction priniilivc de — — 

XL,X 

12. — Maximum ou minimum de yz + sx + xy, sachant que x + y -i- : ^= a. 

13. — Étant donnée une pyramide triangulaire de base b et do hauteur h, on la coupo en n tranches par des plans 
parallèles à la base et on forme les prismes ayant pour bases inférieures les ditlërentes sections et pour hauteurs les 
distances de deux plans sécants voisins. Trouver le volume du preuiier prisme à partir du sommet. Trouver la somme des 
volumes de tous ces prismes; limite de cette somme quand n augmente indéfiniment. 

a + bx 

14. — Dérivée de arc tiç r . Prévoir le résultat. 

b — ax 

15. — Sommation d'une pile de boulets triangulaire. Sachant qu'une telle pile contient 171700 boulets, combien y 
en a t-il à la base '/ 

lA suivre.) 



134 



CONCOURS DE 18'Jl 



CONCOURS DE 1891 (Suite;. 



ÉCOLE NAVALE 
Géométrie analijtique ('). 

96. — Etuiil duimé le cercle œ^ + (y — y)- = H-, rapporté à des axes rectangulaires Oxij, et qui coupe l'axe 
des X en deux points A et A', on considère un point quelconque M de ce cercle, 
déliui par l'augle o que le rayon CM fait avec l'axe des a-. Trouver l'équaliou 
générale des coniques passant par les points A et A' et tangentes en M à la circou- 
lérence G; démontrer que toutes ces conique sont leurs axes parallèles; Irouver la 
direction de ces axes. 

Parmi ces coniques on considérera: 

1° Celle pour laquelle la direction de la tangente MT et la direction de l'axe 
des y sont conjuguées. Déterminer géométriquement son centre, et ses axes en 
grandeur et direction. Lieu du centre quand le point M parcourt la circonférence C. 
2» Celle pour laquelle la direction de la tangente MT et la direction de l'axe des x sont conjuguées. — 
Mêmes questions que pour la précédente : on exprimera on coordonnées polaires le lieu du centre. 

(3 juin. — Géuméirie et géométrie analytique : ï h. 4/i.j 
Nota. — La question 96 sera Irailfîe dans le numtîro d'août. 




CONCOURS GÉNÉRAL DE MATHÉMATIQUES SPECLALES 
Mathématiques. 

97. — On donne une quadrique U et une sphère S de rajon nul ayant pour centre le point P; soit ï! une 
quelconque des quadriques passant par l'inteisection de la quadrique Q et de la sphère S. 

1» Dàraontrer que le cône ayant pour sommet le point P et pour base la section de la surface i^ par un 
plan touchant la quadrique en un point quelconcjue M a pour un de ses axes de symétrie la droite PM. 

2" Trouver le nombre des quadriques i2 qui ie réduisent à de véritables cônes et les conditions nécessaires 
et suffisantes pour que l'un de ces cônes devienne un véritable cylindre ou un système de deux plans réels. 

3° La quadrique Q et le point P étant donnés, examiner fi la propriété énoncée au numéro premier peut 
subsister quand ou remplace la sphère point S par une quadrique conveuablemeul choisie. 

il" juin, de 10 h. à i h. l/i.) 

BOURSES DE LICÉNCK 
Licence es sciences mathématiques. 

98. — 1" Représenter sur une mêjuc liguro les trois courbes A, R, C, dont les équations eu coordonnées 

rectangulaires sont 

A : y- + 3a-x2 — :iaxy — d^ — 0, 
B : ;/ — a;3 = 0, 
C: y + x'^ — 'idx = 0. 
2" Les points B, B', C, C où l'ellipse A rencontre les courbes R et C sont les sommets d'un parallélo- 
^'ramme. On demande les lieux décrits par les milieux des côtés de ce parallélogramme et par les sommets du 
parallélogramme formé parles tangentes à l'ellipse aux points B, B', C, C quand le paramètre a varie. 

3° Montrer ([u'il existe une valeur de a et une seule telle que l'ellipse correspondante A soit réelle et passe 
par un poiul donné P du plan. On donnera l'expression explicite de la valeur de a au moyen des coordonnées 
du point P. 

Déterminer les coellicients angulaires des axes de l'ellipse A, en distinguant les coelHcieuls angulaires 

du petit axe et du grand axe. 

(I" juillet, des II. à midi.) 



(1) Les autres sujets du concours sont insérés dans le numéro du is juin du Journal de Malhcmutiques élémentaires. 



CONCOURS DE 1891 155 



Licence es sciences physiques. 

I. — Mesure de l'allilude au moyen du baromètre. Établir la formule qui lie la variation de hauteur de 
la colonne de mercure à la variation d'altitude. 

II. — Une lentille convergente L, de 1"" de distance focale, donne une image réelle d'un objet sur un 
écran placé à 2'" de la lentille. On interpose entre cette lentille L et l'écran une lentille divergente L', de i'"» 
de distance focale, placée à !<=»> de L. Gomment et de combien faut-il faire varier la distance de l'objet à la 
lentille L pour que l'image réelle se forme de nouveau nette sur l'écran? — Quel est le rapport entre la 
grandeur de cette nouvelle image et celle de la première? — On considérera les lentilles comme infiniment 
minces. 

III. — Préparation et propriétés chimiques du cytinogène. 

IV. — 0s'',32 13 d'acide arsénieux en dissolution étendue sont transformés complètement en acide arsénique 
par un courant d'oxygène ozonisé. Oiiel est le poids d'ozone qui aelfectué cette transformation? Si l'expérience 
est faite au sein d'un calorimètre, on observe un dégagement de chaleur de 0'','22i. Calculer la chaleur de 
formation de l'ozone sachant que l'acide arsénieuxest transformé en acide arsénique avec un dégagement de 
chaleur de SO^S. 

(i" juillet, de S h. à midi.) 

ÉCOLE POLYTECHNIQUE 

Physique et chimie. 

I. — Lunette astronomique. 

II. — Mesure de la tension de la vapeur d'eau aux températures élevées par la méthode de Regnault 

III. — Action du chlore : sur l'ammoniaque, sur l'acide sulfureux, sur le bioarbure d'hydrogène. 

(i juin, de 7 h. à 10 h.) 
Mathématiques. 

99. — On donne une parabole P; on porte, à partir de chacun de ses points, et dans les deux sens, sur 
une parallèle à une direction fixe. A, des longueurs égales à la distance de ce point au foyer de la parabole. 

1° Trouver le lieu des extrémités de ces longueurs : montrer qu'il se compose de deux paraboles Pj et P.), 
et donner'la raison de ce dédoublement. 

2° Démontrer que les axes des paraboles P, et P.jsont perpendiculaires l'un à l'autre, qu'ils pivotent autour 
d'un même point indépendant de la direction A, et que, quelle que soit cette direction, la somme des carrés 
des paramètres des deux paraboles est constante. 

3° Trouver et construire le lieu décrit par les sommets des paraboles Pj et P^, lorsqu'un fait varier la 
direction A. 

On prendra comme axes de coordonnées l'axe etia tangenteau sommetde laparabole donnée; on désignera 
par p son paramètre, et par l'angle de A avec l'axe des x. 

(s juin, de 7 h. à II h.} 

Calcul trigonomé trique. 
On donne les trois côtés d'un triangle : 

a =- 12428'",76 b = 28394"',o2, c = 34236"',84. 

Calculer les trois angles et la surface. 
Résultats : 

A. = 20» do 51",54, B = 52» 18' 15",07, G = 107» 25' 53",38, S = 168 330 800""'. 

(3 juin, de i h. l/i à h.) 

Géométrie descriptive. 

100. — D'un cylindre de révolution supposé plein, limité par deux plans de profil, on enlève la portion 
située à l'intérieur d'un hyperboloide de révolution à une nappe dont l'axe est vertical. Représenter par ses 
projections le solide obtenu. 

La distance entre les plans de profil est de 23'^">. 

Le centre de l'hyperboloïde se projette horizontalement à 13'^"' du plan de proUl de droite, à 10'^'" au-dessus 
du bord inférieur de la feuille, et à 21'-"' au-dessous de sa projection verticale; les génératrices reciilignes font 
un angle de 45» avec le plan horizontal; le rayon du cercle de gorge est de 3'^'". 

Le cylindre a G"" de rayon; sou axe est de front et sa pente est de 3 de base pour 1 de hauteur; on s'élève 
sur cet axe en allant de droite à gauche, et il rencontre l'axe de l'hyperboloïde à P™ au-dessous du plan du 
cercle de gorge. 



156 



CONCOURS DE 1891 



On indiquera seulement les constructions nécessaires pour déterminer: l^un point quelconque do l'inter- 
section et la tangente en ce point ; i" les points remarquables de l'intersection et les tangentes en ces points. 

Les constructions, les tangentes et les parties enlevées seront en trait rouge continu; la représentation 
du solide sera seule en noir, trait plein pour les parties vues, points ronds pour les parties cachées. 

(6 juin, de 7 h. à tl h.) 



ÉCOLE NORMALE SUPERIEURE 
Matliémaliquis. 
101. — Soit (E) une ellipse qui, rapportée à ses axes, a pour équation 



et soient a-Q, y^ les coordonnées d'un point M du plan de celte ellipse; on considère le cercle (C) passant parle 
point M et les points de contact P, Q des tangentes à l'ellipse issues du point M. 

1° Le cercle (C) rencontre l'ellipse en deux autres poiuis P', Q'; prouver que les tangentes a. l'ellipse en 
ces deux points se coupent eu uu point M' situé sur le cercle; montrer que par M, M' et les deux foyers réels 
on peut faire passer un cercle; de même par M, M' et les deux foyers imaginaires. 

2° Soient I, I', 1" les points où se coupeut respectivement les droites VQ, P'Q', les droites PQ', P'Q, enfin 
les droites PP', QQ' ; on suppose que le point M reste fixe et que l'ellipse (Ej se déforme en gardant les mêmes 
foyers: on demande les lieux décrits par les points I, 1', 1"; ou propose enfin de montrer que tout cercle 
passant par les points I', I" est orthogonal au cercle décrit sur MM' comme diamètre. 

(iS juin, de S h. à 3 h.) 
Physique. 

102. — Dans une boîte rectangulaire de 4 décimètres de longueur, une face est formée par une glace 
dépolie carrée de 1 décimoire de côlé; au centre de la face opposée est percé un petit trou circulaire. On met, 
à égale distance du trou et de la glace, un dessin transparent dont l'ombre se forme sur la glace quand on 
expose le trou en face d'un mur blanc vivement éclairé. 

On demande quels changements seront produits dans l'éclairement et dans les dimensions de l'ombre par 
l'introduction d'une lentille achromatique convergente sur l'axe de la boîte, dans l'une des positions suivantes : 

_ 1" Entre le dessin et le trou; 

■l 




2" Entre le trou et le mur. 

Le diamètre de la lentille est égal à un cinquième de décimètre, et sa distance focale à un 
décimètre. 



103. — Une éprouvette cylindrique pleine d'eau peut tourner d'un mouvement uniforme 
autour de son axe do figure supposé vertical; une potence liée à léprouvette supporte sans 
frottement une poulie de dimensions négligeables, placée exactement sur l'axe de rotation. Un 
poids P (2o grammes) est attaché à un bout d'un UI non pesant qui passe sur la poulie et vient 
s'attacher par l'autre bout à un aréomètre dont la tige a une section d'un ceulimèlre carré. Section 
droite de l'éprouvelte : 10 centimètres carrés. 

Au repos, lorsque l'équilibre est établi, la partie du fil comprise entre la poulie et le poids 
P a une longueur / = 30 centimètres. 

(Juel est le déplacement vertical de l'aréomètre quand tout l'appareil tourne avec une vitesse 
angulaire o), ce qui projette le point P latéralement? 

On admet que l'aréomètre reste exactement centré et que la surface libre de l'eau reste horizontale. 

g = 980 (G. G. S.). 

(16 juin, de S h. l/i à i h. 1/i.) 



Le Hcdacleur-Géranl : H. VUIBERT. 



■■AKIS — isir. 



l^"» Année. 



N" 11. 



Août 1891. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



ECOLE NAVALE (Concours de 1891). 



Géométrie analytique. 

96. — Etant donné le cercle x^ + (y — y)^ = R2, rapporté à des axes rectangulaires Oxy, et qui coupe l'aje 
des X en deux points A et A', on considère un point quelconque M de ce cercle, défini par l'angle o que le rayon CM fait 
avec l'axe des x. Trouver l'équation générale des coniques passant 'par les points' A. et A' et tangentes en TA à la 
circonférence C; démontrer que toutes ces coniques ont leurs axes parallèles ; trouver la direction de ces axes. 

Parmi ces coniques on considérera : 

i" Celles pour lesquelles la direction de la tangente MT et la direction de l'axe des y sont conjuguées. Déterminer 
géométriquement leurs centres et leurs axes, en grandeur et direction. Lien du centre quand le point M parcourt la 
circonférence C; 

2° Celle pour laquelle la direction de la tangente MT et- la direction de l'axe des x sont conjuguées.. — Mêmes ques- 
tions que pour les précédentes : on exprimera en coordonnées polaires le lieu du centre. 




I. — Solution par i.e caixlt.. 

Équation générale de toutes les coniques données. 

Pour avoir l'équation de la tangente en il au cercle donné, imaginons que l'origine des coordonnées 
soit transportée au centre G du cercle, les axes de coordonnées conservant leurs 
directions; dans cette hypothèse, l'équation de la tangente est 
X- ces o + y sin 9 — R = 0. 
Or, l'origine O a pour ordonnée — t relativement à ces nouveaux axes; 
l'équation cherchée est donc 

r cos -i + (1/ — y) sin 9 — R = 0. 
Toutes les coniques qui passent par les points d'intersection du cercle avec 
la conique particulière formée par l'axe des x et la tangente ont pour équation 
X- + (y - t)'^ - R- -H 2X)/[x cos ? + (y _ y) sin 9 - I!] = 0. (I) 
En l'ordonnant par rapport à x et y, on obiient 

a;2 + 2). cos 9 xy + (1 + 2)- sin 'f)y- — '2(y + Xy sin 9 + XR)y + y^ — R= :_- 0. (1') 

Directions des .4xes. — On sait que l'équation aux coefficients angulaires des axes d'une conique est 

Bm2 + (A - G)m - B = 0, 
A, B, C ayant la signification habituelle. Cette équation est dans le cas actuel 

X cos o.m^ — 2X sin 3.r?i — X cos 9 = 0; (2) 

X n'est pas nul, sinon l'équation (I) représenterait le cercle donné; ré([uation (2) peut donc s'écrire 

cos o.m"^ — 2 sin 9. m — cos 9 ^ 0. 
On voit qu'elle ne dépend pas de X, ce qui prouve que toutes les coniques représentées par l'équation (I) ont 
leurs axes parallèles. 

Les racines de cette équation ont pour valeurs 

— cos Q + 9 j ± 1 



sin 9 ±: 1 



ou bien 



a-) 



1S8 ÉCOLE NAVALE 



Considérons celle qu'on obtient en prenant + 1 ; la valeur de cette racine peut s'écrire 
2sin^g-4-|) 



ou bien 



2sing+|)cosg+|) 

Mais le coefHcienl angulaire de la tangente donnée est 

— cotg9 ou bien '5(5+?) 



'6-3- 



On voit que la direction de l'un des axes des coniques données est celle de la bissectrice de l'un des angles que fait 
la tangente donnée avec l'axe des x. L'autre axe a évidemment pour direction l'autre bissectrice. 

Coniques pour lesquelles MT et l'axe des y ont des directions conjuguées. 

Cherchons celles des coniques données pour lesquelles la tangente MT a une direction conjuguée de l'axe 
des y. L'équation du diamètre conjugué des cordes parallèles à l'axe des y est fij — 0, c'est-à-dire 

l cos 3 X + (1 + iX sin 9)1/ — (ï + '-T sin 9 + XR) = 0. (3) 

La condition nécessaire et suffisante pour qu'il ait même direction que la tangente représentée par 
X cos 9 -(- (y — y) sin 9 — R = 
est évidemment '>■ cos 9 sin 9 — cos 9 (1 + 2X sin 9) = 0. 

I 

Elle se décompose en cos 9=0 et /. : 

' sin 9 

Première solution. — Supposons d'abord que cos 9 soit nul; cela signifie que le point M est placé sur l'axe 
des y et que la tangente donnée est parallèle à l'axe des x. Comme X reste arbitraire, l'équation (1) ou (1') 
représente une infinité de coniques, et comme le terme en xy disparaît, les axes de toutes ces coniques ont 
mêmes directions que les axes de coordonnées. 

La dérivée partielle par rapport à x du premier membre de l'équation (1) se réduit à 2a;. Donc les centres 
de toutes ces coniques sont sur l'axe des y. Réciproquement, tout point de cette droite est le centre de deux des 
coniques précédentes. Cxt si, après avoir fait cos 9 = et sin 9 = ± 1 dans l'équation (8), on donne à 1/ 
une valeur particulière quelconque, celte équation, du premier degré en X, donne pour cette arbitraire deux 
valeurs acceptables; l'une correspond à sin 9 = -f- 1, c'est-à-dire au cas où le point de contact de la tangente 
est B; l'autre au cas où le point de contact est B'. 

A toute valeur de X répondent deux coniques dont on a les équations on attribuant dans l'équation (1) 
ou (!') à cos 9 la valeur zéro et à sin 9 soit la valeur 1 soit la valeur — 1. L'équation (3) dans laquelle on fera 
les mêmes hypothèses fera connaître l'ordonnée du centre, et, par suite, l'équation de l'axe parallèle à Ox. 
Ayant les équations des axes, on en déduira sans difficulté leurs longueurs. 

1 

Seconde solution. — Supposons maintenant cos 9 7^ 0. On doit alors avoir X = — ^r— . 11 n y a donc 

qu'une seule conique pour laquelle l'axe des y et la tangente aient des directions conjuguées. Son équation est 

.1-2 - 2X11 COtg a - î/2 + 2 -?^ + r2 _ R2 = 

-" " ' '' Sin 9 ' 

ou bien x^ sin 9 — ixy cos 9 — ^2 sin 9 ■+■ 2Ry -f- (^2 _ R2) sin 9 = 0. 

On voit que c'est une hyperbole cquilatère. Cherchons son centre ; on a 

1 

2' 



j'^ =^x sin 9 — y cos 9 ^ 0, 



^f,j = — x cos 9 — y sin 9 + R = 0. 

Ces équations résolues par rapport à r et y donnent 

i X -— P. cos 9, 

( y — K sin 9. 
Telles sont les coordonnées du centre. 
Si l'on transporte l'origine en ce point en conservant aux axes leurs directions, le terme constant de la 



w 



ÉCOLE NAVALE lo9 



nouvelle équation aura pour valeur la demi-dérivée par rapport à z dans laquelle x sera remplacé par 
R ces ? et 1/ par R sin ?; on aura ainsi 

R'^sino + (y2 — R2)sino ou Y^gin^, 
- L'équation de l'hyperbole est alors 

x^ sin o — ^xy cos 9 — y- sin ? + f ^ sin o =: 0. 

Axes. — On peut trouver la longueur commune de ses axes en faisant tourner les axes de coordonnées 
de manière à les appliquer sur les axes de la courbe. On sait que les relations entre les anciens coefficients et 
les nouveaux sont 

A'+ C'= A + C, A'- C'= t \/4B2+(A -Cf, 

en désignant = l par c. 

Nous aurons donc ici A'+ C'= 0, A'— C'=2£. 

L'équation de la courbe rapportée à ses axes est donc 

xi — yi + fj2 sin 9 = 0. 

Le choix du signe dépend, comme on sait, de celui des deux axes de la courbe qu'on a pris pour axe 
des X. Il faut prendre + si la direction choisie est celle de la bissectrice de l'angle formé par MT et Oj- qui 
rencontre le cercle donné. 

La longueur commune des axes est, en supposant •; positif, fV sin ? si sin 9 est positif, -,'V — sin 9 
si sin 9 est négatif. 

Lieu du centre. — Les équations (4) montrent que le centre est toujours sur le cercle représenté par 
l'équation 

X' + 1/2 = R2. 

Il est égal au cercle donné, mais son centre est l'origine des coordonnées. Réciproquement, tout point de 
ce cercle est centre d'une certaine hyperbole remplissant les conditions de l'énoncé : car à tout point du ce 
cercle correspond une valeur de cos 9 et une de sin 9, et, par suite, une des hyperboles considérées. 

Coniques pour lesquelles MT et l'axe des x ont des directions conjuguées. 

Le diamètre conjugué des cordes parallèles à Ox est représenté par l'équation 

jc + >.!/ cos 9 = 0; 
la condition nécessaire et suffisante pour qu'il ait même direction que la tangente 

X cos ? + (y — •') sin 9 — R = 
est sin 9 — X cos^ 9 = 0. 

L'élimination de ). entre celte équation et l'équation (1) conduit à l'équation 

[a-2 + (y — t)2 — R-] cos2 o + 2)/ sin o[a; cos 9 + (1/ — y) *•" ? "" 1^1 = 0, 
qui, ordonnée, s'écrit 

.t2 cos2 9 + 2x1/ sin 9 cos ? + y^ (1 + sin^ 9) — 2(y + R sin 9)»/ + (Y- — R-) cos^ 9 = 0. (b) 

Le genre de cette conique dépend du signe de 3; or on a 

o = (1 + sin2 9') cos2 9 — sin2 9 cos^ 9 ^ cos^ 9. 
Si cos 9 = 0, la coinijue est du genre parabole; elle se compose, en effet, de l'axe des a: et de la tangente 
nu cercle soit en B soit en B'; chacune de ces droites est un diamètre singulier parallèle aux cordes corres- 
pondantes. Écartons ce cas; 00529 est alors positif et l'équatiou (o) représente une ellipse quelle que soit la 
position du point M. 

Le centre est le point d'intersection des droites 

â fx =^ cos 9 + 1/ sin 9 = 0, 

1 , 

-f,j=x «in 9 cos 9 + 1/(1 + sin2 9) — (v + R sin 9) = 0. 



160 ÉCOLE NAVALE 



La valeur de y tirée de ces ccjualions est 

2/ = Y + K sin o. 

L'ordonnée du centre est donc égale à celle du point M où la tangente touche le cercle. L'abscisse a 

pour valeur 

x = — »/ tg ? = — (y + R sin s) tg y. 

Axes. — Ra[)portons la courbe à son centre et à ses axes en suivant la méthode exposée plus haut. Le 
terme constant est 

— (y + R sin ?)'- + (y- — R'') cos- o ou bien — (y sin 9 + R)'-. 

A' et C étant les nouveaux coefficients de x- et y-, on trouve 

A' + C = 2, 

A' — C = ± 2 sin 9, 

d'où A' = 1 ± sin 9, C = I =p sin 9. 

L'équation de la courbe est donc, en désignant lir I par z, 

(1 + z sin a)x- + (I — e sin ?)y'- — (y sin 9 + h]- — 0. 

Le choix du signe dépend de celui des axes de la courbe qu'on a pris pour axe nouveau des abscisses. 

On voit que pour toutes les valeurs de ? ces ellipses sont réelles; les longueurs de leurs axes sont 

Y sin + R Y sin 9 + R 

y/l + sin 9 V 1 — sin o 

Y sin o + R . Y sin 9 + R 

ou bien 'yz r ei ; 7- — "' 

n/^cos(;:-|) .'v/2sing-|) 

les signes étant choisis de manière que les dénominateurs soient positifs. 

Lieu du centre. — Eliminons 9 entre les deux équations qui déterminent le centre; on peut les écrire 



R ■ tS^ = -^- («) 



De la seconde on déduit sin <j> = 



Les centres de toutes ces ellipses quand le point M parcourt le cercle sont donc sur la courbe représentée 
par l'équation 

(7) 



R2 0:2 + yi 



Réciproquement, tout point de cette courbe est le centre d'une des ellipses considérées. En effet, si 
l'on prend arbitrairement un point a;,, j/, sur cette ligne, les équations (6) dans lesquelles on remplacera 

r et y par .r, et //i donneront pour l'angle 9 une valeur cl une seule : car la valeur absolue de — - — étant 
égale à celle de '"' est certainement inférieure ou égale à I ; il existe donc entre zéro et 2- deux 

angles ayant pour sinus ^' ~ ''^ ; l'un de ces angles a pour tangente — ^; c'est la valeur dey qui correspond 
au point choisi. 

Construction de i,a counnE. — On pourrait construire la courbe représentée par l'équation (7) en résolvant 
celle équation par rapport à x; on aurait alors à étudier les variations d'une fonction explicite de y. La 
discussion serait simplifiée si, au préalable, on transportait l'origine au centre du cercle donné. Nous nous 
contenterons, suivant l'énoncé du problème, de traduire celte équation en coordonnées polaires, puis d'étudier 
la variation du rayon vecteur p. 

Prenons l'axe des a; pour axe polaire cl l'origine pour pôle. 



ÉCOLE NAVALE 



ICI 



Nous devons alors remplacer dans l'équation (7) x par p ces w et y par p sin w; elle devient 

(p sin w — y)- = R^ cos2 M, 
Y + R cos (j) 



équation qui se décompose en 



sin (0 
— R cos 



(8) 



(9) 



Si nous donnons à uj la valeur w, dans l'une de ces équations et la valeur - — w, dans l'autre, le rayon 
vecteur p reprend la même valeur, de sorte que les courbes représentées par ces équations sont symétriques 
par rapport à la perpendiculaire à l'axe polaire menée par le pôle. Nous pouvons donc étudier seulement 
l'équation (8). 

Si nous donnons à w la valeur - + oj, dans (8) et la valeur wj dans (9), les deux valeurs de p ont une 
somme nulle; il en résulte qu'à ces valeurs de to correspond un seul point du plan. Nous pourrons donc 
faire varier w seulement de zéro à - dans (8) : car en le faisant varier de - à 2-, on aurait la courbe représentée 
par l'équation (9). 

, _ — (y cos M -f- R) 
P ~ sînâ"^:^ 



La dérivée p' de p a pour valeur 
Il en résulte 



(y + R cos w)2 



p' Y cos oj + R 

L'ordonnée y du centre du cercle donné est plus petite que R; c'est là une conséquence immédiate de 
l'énoncé. Il en résulte que o et — sont des fonctions constamment négatives. Le rayon vecteur p est donc 



constamment décroissant. Il est inflni et positif pour u> = 0; il vaut y pour 
cosoj = — i, devient négatif, et décroît jusqu'à — xi quand co croît jusqu'à -. 



^; il s'annule pour 



Pour avoir l'asymptote qui correspond à w = 0, calculons ce que devient '^ pour cette valeur de 

nous trouvons 




(y + R)- 



(y+R). 



Y + R 

Cette valeur négative doit être portée du côté desw 
croissants, sur la perpendiculaire à l'axe polaire; on 
a ainsi le point B. L'asymptote est Bz. 

Donnons a oj la valeur -; ^ devient 



(y - R)'^ 



ou - (R - y). 



R-Y 
Cette valeur doit être portée sur la perpendi- 
culaire à la direction w = -, et dans le sens des w 
croissants puisqu'elle est négative. On a ainsi le point B'el l'asymptote BV. 
La figure ci-dessus représente la courbe complète. 



II. — Solution géométrique. 



Toutes les coniques données peuvent être regardées comme rencontrant le cercle donné en quatre points 
qui sont A, A' et deux points confondus en M. Nous pouvons donc affirmer, d'après une propriété connue, que 
les axes de toutes ces coniques sont parallèles aux bissectrices des angles formés par la droite AA' et la 
tangente MT. 

Cherchons parmi ces coniques celles pour lesquelles la tangente et l'axe des i/onl des directions conjuguées. 
Supposons que le point de contact soit en B; la tangente est alors parallèle à la corde .4A', et l'axe de? ^joignant 



162 



ÉCOLE NAVALE 



B 



le point de contacl d'une tiiui,'eule au milieu de cette corde est le diamètre des cordes parallèles à la tangente; 

ce diamètre étant perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties 
égales est un axe de la conique. Le point B est un sommet. 

On peut prendre arbitrairement sur Oy un point D et le regarder 
comme centre d'une conique passant en A et A' et ayant un sommet en 
B. Cette conique est alors bien déterminée; on aura la longueur de l'axe 
dirigé suivant Oi/ en doublant BD, ce qui donnera BE; l'autre axe est 
dirigé suivant la perpendiculaire Dz menée par D à 0//. On aura sa 
longueur en faisant une construction inverse de celle qui donne un 
point d'une ellipse ou d'une hyperbole dont on connaît les axes. 

Supposons, par exemple, que le point O soit situé entre les sommets 
B et E; la courbe est alors une ellipse; pour trouver l'axe dirigé suivant 
Dz décrivons un demi-cercle sur BE comme diamètre. Il rencontrera 
A'A en A,; traçons DA, puis la parallèle AGi à l'axe BE jusqu'à sa rencontre 
en G, avec DA,; la longueur demandée est DG, ; il sutfit de la rabattre en 
DG ou DG'. 
S'il s'agit d'une hyperbole, ce qui arrive quand le point ne tombe pas entre B et E, menons de la 

tangente OA, au demi-cercle décrit sur BE comme diamètre; le rayon de conlnct DA, est rencontré en G, 

par la parallèle à l'axe BE menée par A; projetons G, en g sur cet axe. La longueur cherchée est Dj. il 

suffit de la rabattre sur Ds en G et G'. 

On ferait des constructions analogues si le point de contact de la tangente donnée était B'. 

y\ 



G' 


D 




c 


2 


\ 


^4j 


\ 





E 


^A. 


^ 




y 








_\^ lu' 


Y 


y^ 


^"x^ / 




1 -^ 


.-;\^^^^ 


__j^^--^ 


c 




il 



Supposons maintenant que le point M où la tangente donnée touche le cercle soit quelconque ; par le 
point T où cette tangente coupe l'axe des x, menons la parallèle Ti/ à l'axe des y, traçons les bissectrices 
Tu, Tu des angles formés par MT et Ox. Ce sont les directions des axes; or l'angle l'T» contient l'angle MTi/' 



formé par deux directions conjuguées 



la 




conique est donc une hyperbole : car c'est seulement dans 
l'hyperbole que les couples de directions conjuguées s'emboitent 
l'un dans l'autre. Cette hyperbole est équilatère parce que 
l'angle uTy vaut vTO puisque ces angles ont le même com- 
plément uT;/; de plus vTO = uTM par construction; il en 
résulte wTM = uT|/ c'est-à-dire que les directions conjuguées 
TM et Ty' sont également inclinées sur les axes : cela ne peut 
avoir lieu dans une hyperbole qui ne serait pas équilatère. 

Pour avoir son centre nous remarquerons que la parallèle 
MD à l'axe des y est le diamètre des cordes parallèles à MT. 
Nous aurons un second diamètre en abaissant de milieu de 
la corde A'A une perpendiculaire à MT : car une propriété 
connue de l'hyperbole équilatère est que si deux directions de 
cordes sont rectangulaires, il en est de même des directions 
conjuguées. Nous avons donc deux diamètres dont le point de 
rencontre D est le centre de la courbe. 

Lieu des centres. — La ligure OCMD est évidemment un 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 163 



parallélogramme, de sorie que OD = CM. Si donc le point M parcourt le cercle donné, D décrit un cercle égal 
ayant O pour centre. 

Construction des axes. — Les axes sont dirigés suivant les parallèles menées par D aux droites Tu et Te. 
Cherchons leurs longueurs. Nous connaissons un point M de l'hyperbole et la tangente en ce point; soient 
I et r les points où elle coupe les axes. L'un de ces points I est, par rapport au centre D, du même côté 
que le pied P de la perpendiculaire abaissée de M sur l'axe, taudis que l'autre V el la projection P' de M sur 
l'autre axe sont de part et d'autre de D. Le premier axe est l'axe transverse et, d'après uae propriété connue de 
la tangente, on aura sa longueur en construisant une moyenne proportionnelle entre IH el DP; elle est 
construite en DG,; il ne reste plus qu'à la rabattre sur chaque axe de part et d'autre du centre D. 

Il nous reste à étudier celles des coniques données pour lesquelles la tangente MT et l'axe des x- 
ont des directions conjuguées. Les directions des axes de la courbe étant toujours les bissectrices Tu "et Tv 
des angles T, il est évident que les directions conjuguées TM et TO chevauchent sur les directions des axes. 
Les coniques que nous avons à étudier sont donc des ellipses. Et comme les directions TM et TO sont 
également inclinées sur les axes, on voit que ce sont les directions des diamètres conjugués égaux. 

Construction des axes. — La parallèle menée par M à l'axu des a- est un diamètre; la parallèle menée 
par 0, milieu de AA', à la tangente MT en est un second; ces deux diamètres se coupent au centre D de 
l'ellipse qui correspond au point M. 

Pour construire les longueurs des axes, nous utiliserons la propriété de la tangente à l'ellipse analogue 
à celle qui nous a déjà servi pour l'hyperbole. Nous projetons M en P et P' sur les axes, et si nous appelons 
I et I' les points où ces droites sont rencontrées \rdt la tangente MT. nous construioous les moyennes propor- 
tionnelles entre DP et DI d'une part, DP' et DI' d'autre part. Nous avons ainsi les sommets G et H. 

Le lieu des centres D peut être construit par points à l'aide du parallélogramme OTMD. Les points 
remarquables correspondent aux cas où le point M est situé sur le diamètre du cercle donné parallèle à Ox, 
ou sur Oy, ou enfin en l'un des points A et A'. 

E. Dessenon. 
MM. A. AuDOuiN (lycée de Cherbourg) et A. Ddmas (lycée de Lyon) ont résolu cette question. 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



56. — Lieu des pieds des normales issues de l'origine à une parabole de grandeur constante qui se 
déplace en restant tangente aux axes de coordonnées supposés rectangulaires. 

Une parabole tangente aux deux ax.es de coordonnées a une équation qui peut s'écrire 

(bx -h ay — aby — iabxy = 0, (1) 

la corde de contact ayant pour équation bx + ay — ab = 0. 
Écrivons que le paramètre est constant; on obtient 

Les points dont on cherche le lieu sont à l'intersection de la parabole et de l'hyperbole d'Apollonius 
relative à l'origine, dont l'équation est 

{bx + ay- ab){ax - by) - !2a6(x^ - «/») = 0. (3) 

On aura l'équation du lieu eu éliminant a et 6 entre les équations (1), (2)-et (3). 



164 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Éliminons bx + aij — ab entre (1) et (3); on obtient 

(ax — byYxy — ab(x^ — y^)' — 0, 
qui peut s'écrire (bx — aij){ax' — by') = 0. 

Or le facteur bx — ay correspond à la normale dont le point de contact est rejeté à l'infini dans 

la direction de l'axe; il reste alors 
ax' — by' — 0, 
y équation qui, jointe à l'équation (3), permet de calculer 




O 





a et b. Ou trouve ainsi 



b = 



(j;' + y')' _ 



et en remplaçant a et b par ces valeurs dans l'écjuation 
I (i2), on a l'équation du lieu, à savoir 

P-- (a;« + y'Y 
qu'on peut écrire, eu remarquant que x' + y" est divi- 
sible par X- + y' et que le quotient est x' — x-y'' + y*, 
4a;«(/'=(a;^ + y') — p^(a;' — x''y' + y^f = 0. 
Ce lieu est une courbe du quatorzième degré, ayant 
un point isolé à l'origine du douzième ordre. Elle est symétrique par rapport aux deux axes et aux 
bissectrices de ces axes. On la construit aisément eu posant y — tx; elle admet des branches parabo- 
liques parallèles à Ox et à Oy. 

i. ViGKEAUx, lycée de Toulouse. 

(Solutions semblables par MM. Auzeiu.ii (lycfc Je Toulouse); Louis Camuiiï (Louis-le-Crand); C. H; A. LECOBUiiiRUB (lycée de Houen); rF.niiÉB 
(Condorcet).] 




Autre solutio.n. — Considérons une parabole tangente à l'axe Ox en A et à 0)/ eu B. Soient OA — a, 
OB = b, et supposons a et 6 positifs. L'arc AB de la parabole a pour équation 



v/^^/^ 



On voit aisément que le pied de la normale réelle issue de est sur cet arc. Si a et ^ sont les 
coordonnées du pied de cette normale, la tangente en ce point ayant pour équation 

'^ Z," I ^ ^^ = 

X » 

u — -^ — <^« 

et p\a'' + b^ i' = iaHi' . (3) 

11 s'agit d'éliminer a et 6 entre ces trois équations. Or l'équation (1) se met aisément sous la 



on a, en écrivant que la droite représentée par l'équation — = — est perpendiculaire à la tangente : 

r 

(1) 



On a ensuite 



(2) 



forme 



,.Kt-,/i.o. 



(4) 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 103 



Des équations (2) et (4), on tire V — = > V — = — - — . 

dou a = ^^ — , b — - ——; 

eu substituant ces valeurs dans réqualion (3:, on obtient l'équation du lieu. 
En coordonnées polaires, cette équation est 

p^ (4 — 3 sin* 2u)' 



Ploii, lycée Louis-le-Grand. 



63. — En désignant par m un nombre entier positif, on considère deux polynômes -i(x), ■i/(x) entiers en x, 
de degré inférieur à m, et tels que l'on ait identiquement 

(1 — x)"'9(x) + x"''i(x) = 1. 

/" Démontrer que l'on a identiquement 

■i(x) = cpfl — x), 9(x) = •]/(! — x), (1 — x)(p'(x) — m?(x) = ax"^'; 

dans cette dernière égalité, a désigne une constante et o'{x} la dérivée de <b(x) : en déduire, à l'aide du théorème 

de Rolle, que le polynôme o(s) ne peut pas avoir deux racines négatives. 

2° Déterminer en fonction de m la constante <x et les coefficients du polynôme o(x) ; démontrer que ce 

polynôme a au plus une racine réelle. 

(Bourses de licence, 1890.) 

1" On sait qu'il existe toujours deux polynômes entiers 9 (x) cl •} (x) de degrés moindres que m et 
vérifiant l'identité 

(I - x)'"s(x) + x'"-l(x) = i, (1) 

puisque x'" et (1 — a;)"" sont premiers entre eux. 

En changeant a; en 1 — a:, l'identité précédente devient 

a;'"?(l — x) -h {l — xj^J/d — x) ^ [, 
d'où, en retranchant membre à membre, 

(1 - xr[<f(x) - •}(! - ce)] = a;"'[?(l - x) - •\>{x)]. 
Cette identité montre que as"", étant premier avec {^—x)'", divise ^ix) — 'l{^ — x), ce qui est 
impossible, attendu que le degré de -fix) — •}(! — x) est inférieur à m. La dernière identité est donc 
impossible à moins que l'on ne suppose 

<y{x) ^ •}(! — x), et par suite 9(1 — X) ^ 'iia;). 
2° On déduit de (1), en prenant la dérivée par rapport à x, 

(1 — x)'"<f'(x) — m{l — a;)'"-'9(x) + x'^i'ix) + mx'"-^'h{x) — 
ou (1 — x)'"-'[(l — x)o'{x) — mo{x)]^ — JD"""' [x y{x) + m ifix)], 

d'où résulte que vC"'~', premier avec (1 — a;)"*"', divise le polynôme ([ —xf:i'{x) — ?n?(x), et comme 
ce dernier est au plus de degré m — 1, le quotient est une constante x, de sorte que l'on a 

(1 — x)^'(x) - m^{x) ^ aX"'~'. (2) 

D'ailleurs, si l'on désigne par y. le degré de 9(x) et par A le coelBcient do X', le terme du plus 
haut degré du premier membre est égal à — A(a + m); on ne peut supposer a = 0, car on eu déduirait 
A = 0, ce qui est absurde. Donc on a [x = m — 1 et ot. ~ ~ M%m — 1). 



166 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



3" Remarquons d'abord que l'équation 9(0;) = n'a pas de racines multiples, car si a était une 
racine multiple, l'identité (2) montre que a serait nulle, or on déduit de (1) que 9(0) — 1. 

Si ré({uation 9(0;) = avait plus d'une racine négative, en appelant a et 6 deux racines nég:a- 
tives consécutives, on aurait en vertu de l'ideutilé ("2) : 

(I — a)?'(a) = aa"'-\ 
(1 — 6)9'(6) = ab'"-\ 
d'où l'on déduirait 9\a)9'(6) > 0, ce qui est en contradiction avec le théorème de Rolle. 

4" Pour déterminer les coeflicicnts de 9(0;), rappelons d'abord que, en vertu de l'identité (I), on a 
(p(0) = i; nous poserons donc 

<f{x) = 1 + A,j: + A.,x= + . . . + Ap_ia3P-' + k,,xP + . . . + Am_ia,"'-' ; 
en substituant dans (2) et identifiant les deux membres on obtient 

A, - m = 0, 

2A, - (m + 1)A, = 0, 

pkp — (m + p — l)Ap_i = 0, 

. . wi(m + I) ... (m -h p - l) 
d ou A„ = j-jr = K£, , 

K^ désignant le nombre de combinaisons complètes de m lettres p à p. 
On aura ainsi km-i = K;j;~' et par suite 

a = - (2m - 1) k;;;-'. 

On a donc 

m mim + 1) m{m + 1) ... (2)n — 2) „ ,, 

1 1.2 1.2 ... (m — I) 

et par suite 

,, , , VI ,^ . m(m + 1) ^, . m(m + 1) ... (2m - 2) 

^i^)=^-^ ^ (1 - X) + ^-^ (1 - a;^ + ... + _^-^___^^(I -a.)"' ^ 

On pouvait aussi déterminer les coefficients de 9(2;) eu remarquant que l'identité (2) donne, en 
supposant/? < m — i, 

(1 - x)<f'''-^^>{x) - (m + p)^'i'>(x) = {m- l)(«i — 2) . , . {m — p)ax'"-''-' 

et, pour p = m — 1, 

- (2m - i)9("'-') (x) = (m - 1)! a, 

d'où l'on tire 9"'+'i(0) = (m ■+■ pW"{0) 

et a = — (2m — 1)A„,_, etc. ' 

S" Les coefficients de 9(3;) étant tous positifs, l'équation 9(0;) = n'a aucune racine positive; il 
résulte de ce qui précède (3"), que celle équation a une racine négative simple si m est pair, et n'a 
aucune racine réelle si m est impair. 

Ont résolu la question : MM. J. Dui'uï (Bordraux), A. LEcoauiEuni: (Houenj, J. Vi3M!aux (Toulouse), Auzeram (Toulouse), Tapi (Pau), 
E. JûssiNET (Troyes). 

Un abonné (M. J.) nous a envoyé une solution diO'érente, au moins pour la première partie. M. J. 
détermine tout d'abord un polynôme entier if{x), de degré m — 1, vérifiant l'identité 

(1 — x)<ù'(x) — inif{x) = a.x"'~\ 

a désignant une constante. En multipliant les deux membres par (1 — a;)"'~', cette identité devient 

D^[(l - x)'"f{x)] = aaj-^-Vl - x)'—'. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE W 



II suffit de poser (1 — x)'"(f(x) = ^ a;"'-'(l — x)"'-^dx, 

et l'existence du polynôme z>{x) sera prouvée, si l'on fait voir que l'intégrale précédente est un polynôme 
entier divisible par (1 — a;)"'. 

Or, en posant x = i — x', on a 

(1 - x)"'-^dx ^ - I (1 - x')"'-^x'"'-^dx 

t/o 



= — / ce""-' — X-'" H — ^ X "'+' +.. . + (—1 )"•-'. X 2'"-- rfa; 



jft — 1 x''"+' (m — 1)(hi — 2) x' 



1+2 



-(-ir 



m 1 m + 1 1.2 m+'l ' 2/« — 1 

Donc 

r 1 m-1 l-x (w(-l){m-2) (1-x)» , , (l-x)"'-''| 

D'ailleurs on a 
(l-x)'"9(x)= a / x"'-'(l — xy^-^dx 

~ "L »î ~ 1 'wî+ï"' ni m + 2 ■■■'^^ ^ "2»i-lJ 

r ^ »i-l 1 (m-l)(m-2) 1 / 4x™ , 1 1 

L m i TO + l 1.2 m + 2 2m— Ij 

En posant 

ri m-1 a; (?n-l)(m-2) x^ , ,.„ a;"-' "1 

^(a.) = «[--+-^.^j^+ Ta ^^2 -•• + (-lr -â^^J 

et 1--J 1 m-1 1 (m-l)(,n-2) 1 _ _ _1_1 

L m 1 m+1 1.2 m + 2 •"■ ^ ^^ ■2m-lJ 

Les polynômes f{x) et {/(a;) vérifieront l'identité (1). De plus, les expressions trouvées pour ces 
polynômes montrent immédiatement que 9(x) ^ '{/(l — x) et <p(l — x) ^■\{x). 



Remarque. — En comparant les deux déterminations de a, on a l'identité 

,Ç> .T-m-ir^ '«-1 1 (m - l)(m - 2) 1 / ixm 

Im 1 »« + 1 1.2 ?«+2 2 



64. — Étant donnés deux axes rectangulaires Ox, Oy, on considère un losange PQP'Q' ayant les deux 
sommets P, P' sur l'axe des x et l3s deux sommets Q, Q' sur l'axe des y. 0?t supposera OP := p, OQ = q. 

'/» /'ar un point M, c?e coordonnées x, y, passent deux coniques inscrites dans le losange; former 
l'équation du second degré en m, qui admet pour racines les coefficients angulaires des tangentes en M à ces 
deux coniques. 

2" Trouver le lieu des points M où, se coupent sous un angle donné deux coniques inscrites dans le losange. 

3^ Déduire de l'équation aux coefficients angulaires que ce dernier lieu doit se composer d'hyperboles. 

(Bourses de licence, 1890.) 



1G8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1" — Les coniques inscrites dans un losange ont pour axes les deux diagonales; l'cquatiou 
générale des coniques considérées sera doue de la forme 

Ç + -^^ - I = 0; (1) 

et il sutlira d'écrire que ces coniques sont tangentes à l'un dos côtés du losange, PQ par exemple, 
(lui a pour équation 

? + ^ - 1 = 0. 
P 9 

On obtient la condition 1- — — 1 — 0. (2) 

Considérons dans l'équation (1) x el y comme les coordonnées d'un point M; les équations (1) 
et (2), la première, du deuxième degré en X et [j., la seconde, du premier degré, déterminent deux 
systèmes de valeurs pour X et a. Il existe donc deux coniques passant par le point M. 

Désignons par m le coeilicient angulaire de la tangente en M à l'une de ces coniques, on aura 

m = --. (3) 

Éliminons |ji et A entre (1), (2) et (3); nous aurons l'équation en ?«. qui admet pour racines les 
coelTicienls angulaires des tangentes en M aux deux coniques. 
On tire aisément (/.et >> de (2) et (3); on obtient 

p-q''œ — mp^q'^x 

1 ^ > [J- =^ ; i 

q'x — p^iny q^x — pnny 

et transportant dans (1), on a l'équation cherchée, 

m'-p^xii — m{q-x- + p-tf — p'^q^\ + q'^xy = 0. (4) 

2° — Soient m, et m^ les racines de cette équation; on aura 

to- X = ± ^1 

en désignant par a l'angle des deux tangentes. 

('«1 + »*»)' — A»!,?»^ ,„. 

On peut écrire cette eciuation tg* a = \y) 

^ '■ (1 -t- m,«ij)- 

Or, de l'équalion (4) on tire, en posant E = q^x^ + ;)'-y' — p'^q*, 

m. + m» = — — • m,»!. = - • W 

p^xy i>^ 

Remplaçant dans (o), on obtient 

E'^ - a;'i/»[tg^ a(p» + q^f + i/)-?'] == 0, 



qu'on peut écrire E ± a; !/ / tg» a(p« + g")'' + iyj'ç» = 0. 

On voit ainsi que le lieu se compose de deux coniques ayant leurs centres à l'origine; on vérifie 
aisément que ce sont des hyperboles. 

30 _ Dans l'équation (4) regardons m comme une constante; l'équation représente alors le lieu des 
points M par lesquels la tangente à l'une des coniques passant par M et inscrites au losange donné, a 
une direction donnée. On voit que si la constante m est réelle, ce lieu est une hyperbole, pourvu que 
l'on suppose p'm" — 9" ;zi 0. 



PHYSIQUE 169 



Cela posé, la relation ?n,m, = — montre que si l'on pose — ' — = ts a, m, — m, sera une 

p' 1 +mjmj -^ • 1 2 

constante comme m,7«j; par suite m, et m^ seront des constantes; d'ailleurs changer tg a en — tg y. 

revient à permuter nii et /«j-, on doit donc trouver pour lieu les deux hyperboles définies par 

l'équation (4) dans laquelle on remplace m successivement par m^ et par m^. Si tg a = 0, le lieu se 

réduit aux quatre côtés du losange, ce qui était évident a priori. 

On peut remarquer que toute relation symétrique donnée entre m, et m.^ conduira nécessairement 
à un certain nombre d'équations de la forme E — kxy, k étant une constante. 

AuDiBERi ^Marseille). 

lOal résolu la même question : .MM. J. Dopiv (Bordeaux) ; Jossiskt (Troyes;; Tapi (Pau) ; P.-F. Teilhet (Saint-ÉUenne).] 



65. — Trouver l'aire contenue dan< la portion fermée de la courbe x' -!- y' — a^xy = Cjui se trouve 
dans l'anrjle des coordonnées positives. 

En passant en coordonnées polaires, les axes étant supposés rectangulaires, l'équation de la 
courbe s'écrit 

a' sin 10 cos o) 

p> = 

cos' (0 + sin' (u 

Quand lo varie de à -, la valeur positive de p reste continue, part de zéro pour revenir à zéro; 
l'aire de la boucle ainsi formée est donnée par l'intégrale 

1 I 2 a^ / 2 sin to cos to rfto 

o'ao) ou — - 



2 f ■ "2 1 cos' Q) + sin'o) 

i/o t/ 

L'intégrale indéfinie peut s'écrire 

/ -^ 2_ = are g (tg" <o). 

- - -(j2 

Intégrant de à ^, on obtient 7. L'aire cherchée est donc -— • 
° 2 4 8 

Joseph Cluzet, collège Stanislas. 

[.■solutions analojjues par MM. : A. Alayrac (Saint-Louis); Audibbrt, à Marseille; capitaine E. -N. Barisien; Gambet (Louis-lc-Gra.nd); Th. Got, à 
Montpellier ; Godlle, à Paris ; E. Jacqdesi (lycée de Dijon) ; Ch. du Most (Sainle-Barbej ; L. Perrée (Condor -et).] 



PHYSIQUE 



79. — Rectification. 

Deux cas sont à distinguer : 

1" L'eau du récipient est en partie à l'état liquide, en partie à l'état gazeux. C'est le cas traité par M. Lafolic. 
2" L'eau est totalement vaporisée. Dans ce cas, en employant les mêmes notatioas que M. Lafolie, la 
quantité de chaleur rayonnée au temps x est d'une part 

Ktdx 



170 QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



et d'autre part elle résulte d'un abaissement de température dt subi par le vase et la vapeur. On a donc 

Ktdx = - (C + My)*, 

d ou l'on tire ' Tx= ÎTl^y ^^^ 

Il est facile de voir que la vaporisation totale a lieu à 100". En effet le poids de vapeur remplissant à 100° 

l'espace donné est 

622 X I 2936 

"•.,,' = 08^3886, 

c'esl-à-dire juste la masse d'eau qui se trouve dans l'enceinte. 

Il y a donc lieu de considérer deux vitesses à 100°. Un peu avant 100°, ii 100 — h on trouve en appliquant 
la formule (2) et prenant toujours pour unité la vitesse à 80° : 

Vwû-A = 1,106014. 
C'est d'ailleurs le nombre donne par M. Lafolie. Un peu après la vaporisation totale, c'est-à-dire à 100 + k 
on obtient pour vitesse de refroidissement, en appliquant la formule (2') : 

V,oo+/. = 1,346 i 
De même on a 

d'où V,2o = 1,61661 



V,20 S 



Vioo+h 6 
et non 1,3S2703 comme l'avait trouvé M. Lalolie 



(Henri Niewenglowski.) 



QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS ORAUX 



École centrale (1890). — (Fin.) 

16. — Rendre calculable par logarithmes la somme sin x + sin 2.i -t- ... sin nx. 

1 

17. — Construirela courbe p = 



cos 2u) + sin 2w 

18. — Construire la courbe représentée par les équations 

_ '—' _ t 

^~\ + i' ^~l + t' 

19. — Inscrire dans une ellipse un parallélogramme de surface maxima. 

20. — Construire la courbe x' — 3i' + j/ = , en discutant l'équation par rapport à a-. 

21. — Trouver les points qui ont même polaire par rapport à l'ellipse — j + rj — 1 = et au cercle 

x^ + y' — SïX — ipy -H y ^ 0. 

22. — Si d'un point d'une conique on mène deux cordes rectangulaires OX et OB, la droite AB passe par un 
point fixe, situé sur la normale en O. Généraliser en supposant que les deux cordes OA et OB soient parallèles à deux 
diamètres conjugués d'une conique quelconque. 

23. — En un point M d'une ellipse on mène la normale ME limitôe en E au grand axe; on projatte M en P sur ce 
grand axe, et par le point C où MP rencontre l'une des diagonales du rectangle construit sur les axes on abaisse une 
perpendiculaire sur ME, laquelle rencontre le grand axe en D. Démontrer que P est le milieu de ED. 

24. — Par le point E de la question précédente on mène une perpendiculaire au grand axe sur laquelle on prend 
EP =:EM. Lieu du point P. 

25. — Construire la courbe x'^ — y' — dxy 4- 5.c — 2i/ = 0. Tangente à l'origine. 

26. — L'ortbocentre de tout triangle inscrit dans une hyperbole équilatère est situé sur la courbe. 

27. — Lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée de la courbe ;/ =x'. 



CONCOURS DE 1891 171 



28. — Les normales à une hyperbole et à son asymptote en deux points situés sur une même perpendiculaire à 
l'axe transverse se rencontrent sur cet axe. 

(x — 1) (,i: + 5) 

29. — Construire la courbe y= •. — Axes et foyers. 

3a; — 8 

30. — Que représente l'équation {x -h y — i)' + (x — y — ly — l = 01 — Axes et sommets. 

31. — Par le centre d'une conique, on mène deux droites rectangulaires qui rencontrent la conique en A et B. 
Lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point O sur la droite AB. Généraliser en supposant le point quelconque. 

32. — Condition pour que trois plans donnés par leurs équations soient parallèles à une même droite. 

33. — Trouver les équations des bissectrices des deux droites 

X y z X y z 

abc ' a b' c' 

34. — On considère des sphères de rayon variable tangentes en un point donné à un plan donné. On demande le lieu 
des cercles de contact des cônes circonscrits à ces sphères et ayant pour sommet un point fixe du plan. 

35. — Lieu des points dont la somme des carrés des distances aux quatre sommets d'un tétraèdre est constante. 

36. — On fait tourner un plan autour d'une horizontale, de façon h le rendre horizontal; trouver les nouvelles 
projections d'un point lié à ce plan. 

37. — On donne deux cercles tangents à la ligne de terre au même point {a, a], et un point (s, s'). On considère un 
cône ayant pour sommet (s, s') et pour base l'un des cercles, et un cylindre ayant pour base l'autre cercle et pour 
direction de génératrices {sa, s'a'). Intersection des deux surfaces. 

38. — Si deux hyperboloïdes de révolution ont leurs cercles de gorge dans un même plan, la projection de leur 
intersection sur ce plan est un cercle. 

39. — Section plane d'un tore à axe vertical. Point le plus haut et le plus bas. 

40. — Construire une sphère passant par deux points et tangente aux plans de projection. 

41. — On donne deux plans par leur échelle de pente et les projections horizontales de deux courbes situées 
respectivement dans ces plans. Ces courbes sont les directrices de deux cônes dont on donne les sommets par leurs 
projections et leurs cotes. Trouver l'intersection de ces deux cônes. 



CONCOURS DE 1891 (Smtej. 



ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 
Épreuve définitive. 

Epure. 

104. — Intersection d'un cône et d'un cylindre. — On prendra pour ligne de terre le petit axe de la feuille. 
Le cône a pour base dans le plan horizontal une parabole ayant pour sommet le point a (x = — 4''"', y = 8'''"), 
pour foyer le point o (x — — 3™, y — 8''™). Le sommet du cône est le point ss' {x = — i''", y = 8™, ; = -i™). 

Le cylindre a pour base dans le plan horizontal une autre parabole de sommet a {x = l'"', y = lO^") et 
pour foyer le point f (x = 0, y = 10<=™) ; la génératrice issue du sommet a passe par le point b (x — — 4'='", 
y = 10^, z =. S'-"). 

Représenter le solide commun au cône et au cylindre en supposant les plans de projection transparents. 

Indiquer à l'encre la construction pour obtenir un point, la tangente en ce point, et tous les points 

remarquables. 

(iS juin, de 8 II. à midi.) 



172 QUESTIONS PROPOSEES 



AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES 
Malhcmaliques spéciales. 

105. — Ktanl donnés un triangle ABC et deux points P et Q situés dans son plan, on considère les 
coniques S qui louchent le côté CA en A et passent par les points P et Q; on considère de même les coniques 
S' qui touchent le côté CB en B et passent par les points P et Q. 

1» Soient M et N les points d'intersection d'une conique S avec les droites CP et CQ ; M' et N' les points 
d'intersection d'une conique S' avec les mêmes droites. Démontrer que la droite MN passe par un point fixe 
A, et la droite M'N' par un point fixe B,, quand les coniques S et S' varient. 

2° En substituant le triangle CA|B| au triangle C.\B dans la définition des deux séries de coniques, on 
obtiendra deux nouveaux points A.u B^ et ainsi de suite; trouver l'équation de la droite A„B„ et chercher sa 
position limite quand ?! devient infini. 

3" On suppose que les coniques S etS' varient de manière que les deuxièmes tangentes menées du point 
C à ces courbes soient conjuguées harmoniques par rapport aux droites CP elCQ; trouver, dans cette 
hypothèse, le lieu du point d'intersection des polaires d'un point donné II par rapport à ces coniques. 

•i° Lorsque les coniques S et S' varient en restant tangentes, trouver le lieu de leur point de contact. 



CERTIFICAT D'APTITUDE A L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL (1" SESSION) 

106. — Par un point P on mène aux asymptotes d'une hyperbole donnée des parallèles qui coupent la 
courbe en M et M. 

1<= Trouver l'équation de la droite MN. Quelle est sa direction, et que vaut le rapport des distances du 
point P à cette droite MX et à la polaire de P? 

i" Trouver le lieu géométrique du point P pour que la droite MN passe par le centre de l'hyperbole. 

3" On mène du centre la perpendiculaire OH sur la ligne MN. Quel est le lieu du point II, quand on fait 
varier l'angle des asymptotes en laissant fixes les sommets A et A' de l'hyperbole? 

i'' Trouver le lieu du point P pour que la droite MN soit tangente à l'ellipse qui a les mêmes axes que 
l'hyperbole donnée, celle-ci étant, invariable. — Construire la courbe ainsi obtenue, tracer ses asymptotes. 



QUESTION PROPOSÉE 



107. — Deux tores dont l'un a pour méridienne la section de l'autre par un plan bitangent, se coupent 
suivant deux cercles et, en outre, suivant une courbe plane dont le plan est perpendiculaire au plan des deux 
g-^gs A. Desphès. 



XoTE. — La forme remarquable de l'équation du cercle de Joachimsthal que nous avons donnée dans le 
numéro précédent a été trouvée par MM. Laguerre et G. de Longchamps. (B. N.) 



Le Rédacleur-Gcrant : H. VUIBERT. 

P»KIS — IMr. CIIAIX. — I j'J02-';-»1. 



Ire Année. N» 12. Septembre 1891. 



REVUE DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES 



CONCOURS GENERAL DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES (18!J1] 



Mathématiques. 

COPIE COl'RONNÉE : PRIX d'hONNEUK 

97. — On donne une surface du second ordre Q et une sphère de rayon nul S, ayant pour centre le 
point V; on considère toutes les surface'; 2 qui passent par l'intersection des deux premières. 

4" A étant un point de la surface Q, R le plan tangent en ce point, on considère les cônes qui ont pour 
sommet le point P et pour direcliice^ les sections faites dans les surfaces Jl par le plan R. Démontrer que 
la droite PA al un axe de tous ces cônes. 

2° Chercher combien il existe de cônes parmi les surfaces )l. Dans quel cas un des cônes trouves devient 
un cylindre, un système de deux plans. 

3" Examiner si le point P et la surface Q restant fixes, la propriété de l'énoncé subsiste quand on remplace 
la sphère S par une autre surface convenablement choisie. 

Soient F(a!, y, z, t) =0 l'équalion de la surface Q, x^ + y^ + z^ = celle de la sphère S; 
l'équation générale des surfaces 2 sera F(.x, y, s, t) + l{x^ + y^ + z^) = 0. Toutes ces surfaces ont 
mêmes directions de plans cycliques et même plan polaire par rapport à l'origine. Ces conditions ne 
sont pas simples et se prêtent mal à une étude géométrique. Si au contraire nous considérons le 
faisceau corrélatif par dualité représenté par l'équation 

F(w, l', M-, s) H- l(u^ + u^ + W^) =: 
(on peut le considérer comme polaire réciproque du précédent par rapport à la sphère ima-nnaire 
x^ + y' + z'^ + <* = 0); il se compose de toutes les surfaces homofocales à la surface F(«, v, u\ s) = 0. 
Les propriétés des surfaces homofocales étant bien connues, il est naturel d'étudier ce faisceau de 
préférence au précédent et de substituer au problème proposé le problème corrélatif. 

Remarquons d'abord que la proposition qu'il s'agit de démontrer en premier lieu, peut s'énoncer 
plus symétriquement de la façon suivante : 

Étant donné un plan R quelconque, il existe trois des surfaces 2 tangentes à ce plan aux points 
Ml, Mj, M3. Les trois droites PMi, PM^, PM3 sont les trois axes du cône C qui a pour sommet le 
point P et pour directrice la section y faite par le plan R dans une quelconque des surfaces 2. 

L — Cherchons ce que devient cette proposition quand ou transforme la figure par dualité. Aux 
surfaces 2 correspondent les surfaces 2' d'un faisceau homofocal. 

Aux points Ml, M^, M, correspondent les plans tangents Mj, M^, 'Sl'i aux trois surfaces du 
faisceau homofocal qui passent par le point R' correspondant au plan R. 

Au cône G qui a pour sommet l'origine (s = 0) correspond la directrice C dans le plan de 
l'infini (l = 0) du cône Y 'le sommet R' circonscrit à l'une quelconque des surfaces S'. 

Les trois droites PMj, PM^, PMj étant des diamètres conjugués communs au cône C et au cône 
x^ + if + z^ — 0, les trois droites qui leur correspondent (traces des plans Mj, Mo, M3 sur le plan 
de l'infini) sont les côtés du triangle polaire conjugué commun à la conique C et à l'ombilicale 



174 CONCOURS GÉNÉRAL 



yi + j}i ■+. ic* = 0. Les trois plans M',, Mo, M3 diamétraux conjugués communs au cône y' et au cône 
isotrope de même sommet sont les plans principaux du cône •/. 

On reconnaît le théorème de Otto Hesse : 

(( Tous les cônes circonscrits d'un point donné comme sommet aux surfaces d'un faisceau homofocal 
admettent mêmes plans principaux : ce sont les plans tangents aux trois surfaces du faisceau qui 
passent par ce point. » 

IL — La recherche des cônes du faisceau 

¥{x, y, z, /) + À(cc« + if +z') ^0 
se ramène évidemment à la recherche des coniques du faisceau F^m, v, iv,s) + X(w' + u' + «;') = 0. 
Ces coniques sont au nombre de trois si l'on fait abslractiou de l'ombilicale u* + t;' + w* = 0. Ce sont 
les focales de la surface -'. Deux d'entre elles sont réelles, l'autre est imaginaire. Elles sont situées 
dans les plans principaux de la surface F(w, i;, lu, s) = 0. 

Les cônes du faisceau F(a;, y, z, t) + X(x* + y^ -h z'^) — sont donc au nombre de trois (outre le 
cône isotrope ac' + j/* + 3* = 0), parmi lesquels deux seulement sont réels, le troisième étant imagi- 
naire, quoique ayant une équation réelle. Nous aurons les sommets de ces cônes en cherchant les points 
transformés des plans principaux de la surface S'. Un raisonnement analogue à celui qui a déjà été 
fait, montre que ce sont les trois points où les axes du cône ayant son sommet à l'origine et circonscrit 
à l'une des surfaces 2 percent le plan polaire H de l'origine par rapport à cette surface. En résolvant 
la question par le calcul, nous trouverons une autre définition de ces trois points. 

Pour que l'un de ces cônes dégénère en cylindre, il suffit que l'un des points que nous venons 
de trouver soit rejeté à l'infini. Dans ce cas, le plan principal des surfaces 2' qui lui correspond 
passe par l'origine de transformation. En raisonnant d'une autre façon nous allons arriver à une 
condition géométrique plus simple. Pour que par l'intersection des deux surfaces F(.t, y, z, t) = 0, 
a;ï + y2 _^ -» _ ji passe un cylindre du second ordre, il faut et il suffit que ces deux surfaces aient 
un plan diamétral commun correspondant à une même direction de cordes conjuguées, c'est-à-dire, 
dans le cas présent, que le point P soit dans l'un des plans principaux de la surface l?ix,y, z, t) — 0. 

Pour que le faisceau V(x, y, s, l) -+- \{x^ + y* + s*) = contienne un système de deux plans, 
il faut et il suffit que le point P se trouve sur une des focales de la surface V{x, y, s, /) = 0. 

La surface corrélative F(m, v, w, s) = est alors de révolution ; autour de l'axe focal si le point P 
est sur la focale de Q qui contient les ombilics réels; autour de l'autre axe si le point P est sur la 
focale qui contient les ombilics imaginaires (Focale modulaire). 

III. — Cherchons maintenant si la propriété de l'énoncé subsiste quand le point P et la surface Q 
restant fixes, on substitue à la sphère .x" + y' + j* = une autre surface convenablement choisie. 

Pour cela il suffit d'examiner si la proposition corrélative subsiste pour un faisceau tangentiel 
autre qu'un faisceau homofocal. 

Soient 2,, Zj deux surfaces du faisceau cherché; si nous considérons un point A quelconque de 
la surface 2,, la normale en A à cette surface est un axe de symétrie du cône circonscrit de A comme 
sommet à la surface 2j. La surface 2, doit donc admettre en ce point même plan tangent que l'une 
des trois surfaces homofocales à Sj qui y passent. En particulier, si nous considérons les points oh les 
axes de Sj percent £j la remarque précédente montre que les plans tangents en ces points à 2, sont 
parallèles aux plans principaux de i]„ et que par suite les deux surfaces 2, et 2, sont concentriques 
et coasiales. Si nous considérons de nouveau la surface homofocale à £2 qui passe par le point A 
de 2, et qui a même plan tangent en ce point, ces deux surfaces co'incident. Sj et 2, sont donc deux 
surfaces homofocales, cl le faisceau F(,t, //, ;, t) + l{x^ + y' -i- i») = est le seul qui jouisse de la 
propriété de l'énoncé. 



CONCOURS GÉNÉRAL I7S 



La méthode de transformation que nous avons employée se prête donc très bien à la discussion du 
problème tout entier; mais sous la forme indiquée plus haut la proposition à démontrer apparaît 
comme un corollaire évident de la suivante : toutes les sections faites par un plan R dans les surfaces 
d'un faisceau F + XG = admettent un même triangle polaire conjugué commun dont les sommets 
sont les points de contact des trois surfaces du faisceau tangentes au plan R. 

La démonstration de cette dernière proposition est immédiate. Il suflSt de remarquer que toutes 
les sections précédentes sont circonscrites à un même quadrilatère et admettent par suite un même 
triangle polaire conjugué commun dont les sommets sont les centres des coniques évanouissantes du 
faisceau; ce sont bien les points que nous avons indiqués plus haut. 

Dans le cas qui nous occupe, les trois points M^, Mj, M, sont conjugués par rapport à la section y 
et à la section faite par le plan R dans le cône .rS^ + y'' + 2^ = 0. Los trois droites PM,, PM^, PM, sont 
donc trois diamètres conjugués communs au cône C et au cône isotrope de même sommet; ce sont les 
axes du cône G. 

Remarque. — Si nous transformons par polaires réciproques le théorème général indiqué plus haut, 
nous obtenons la proposition suivante, dont le théorème de Hesse n'est qu'un cas particulier : 

Tous les cônes circonscrits d'un point donné comme sommet aux surfaces d'un faisceau tangentiel 
admettent un même système de trois plans diamétraux conjugués; ce sont les plans langents aux trois 
surfaces du faisceau qui passent par ce point*. 

Solution Analytique. — La surface Q et le point P étant donnés, cherchons quelle doit être la 
forme de l'équation d'une quadrique 9(0;, y, z, t) = pour qu'elle jouisse de la propriété de l'énoncé. 
Une surface passant par l'intersection de la surface Q et de la surface inconnue, a pour équation 

f{x, y, 3, t) + U(x, y, z. t) = 0. (1) 

Soient a, h, c, d les coordonnées homogènes d'un point quelconque A de la surface Q; en prenant 
le point P pour origine des coordonnées, l'équation du cône (C) s'obtiendra en éliminant la variable l 
entre l'équation précédente et l'équation 

^n + yf'u + ^-n + tf, - 0. (2) 

Soit 'f(a;, y, z) = (S l'équation ainsi obtenue. Ou exprime que PA est un axe de symétrie en 
écrivant 

abc 

et ces équations doivent être vérifiées par tous les systèmes de valeurs de a, h, c, d vérifiant l'équation 
f{a, b, c, d) = 0. 

Or on peut regarder l'équation (1) comme représentaul le cône G pourvu que t soit regardé comme 
fonction de ce, y, z déterminée par l'équation (2). On a donc 

.],; = f, + ^: + (/■; + m) "^^ 



Mais l'équation (2) donne 
en substituant, on a 



dx 
dx f',i ' 

= /■; + ^?; - 7^ (/■; + H)- 

Id 



Par suite 'fa = M fa — ?■( • 77 

et l'on aura pareillement '^/^ et ■},'. 

* Ici s'arrête la copie remise au Concours général; la solution par le calcul a été trouvée postérieurement. 



ITO CONCOURS GÉNÉRAL 



?«- 


-9d 


fâ 

n 


?!, - 


- Vtf 


n 



9a — 9d-y Çf, — ?J • -77 ?c — <f d • -p 

Ou doit donc avoir = ; = '-• (3) 

abc 

Désijjnous par 2a la valeur commune de ces rapports, de sorte que 

' f'c 
9c ~ 9<i — ; =^ 2y.C. 

fd 

Ajoutons CCS équations aprîs avoir respectivement multiplié les deux membres de chacune par 
rt, h, c; eu tenant compte ilcs relations 

af'a + hfl 4- cfc + dfd = 0, 
ay,i + bf'i, + Cf'c + d<fd = 2cp(a, b, c), 
ou obtient 9(0, b, c, d) = <j.{a^ + 6" + c''). (i) 

La fonction 9(0", y, z, l) est donc telle que si ou y substitue les coordonnées d'un point quelconque 
lie la surface représentée par l'équation f{x, y, z, t) — 0, elle se réduit à \).{a- + 6' + c^). 
Donc l'équation 9(0;, y, z, l) = d est de la forme 

kfl^x, y, %, t) + [j.(a;' + y" + -=) = *. 
Réciproquement, toutes les surfaces de cette forme jouissent de la propriété énoncée. 

Cônes du faisceau. — Leurs sommets sont donnés par les quatre équations 

F; + Ix = 0, Y',j + ly = 0, Fl + Iz = 0, F; := 0, 

compatibles seulement pour trois valeurs de À. En remarquant que les trois premières équations défi- 
nissent, quand X varie, un lieu qui n'est autre que la cubique des normales relative au point P et à 
la surface F(a;, y, s, t) = 0, nous pouvons définir les sommets des trois cônes comme intersection 
de celte cubique avec le plan polaire de l'origine par rapport à la surface F(a-, y, z, t) — 0, (F', = 0). 
Comme les directions asymplotiques de la cubique des normales sont les directions principales, il est 
facile de chercher la condition géométrique pour qu'un de ces cônes dégénère en cylindre. 

Remarque. — Au début, nous avons dit que parmi les surfaces du faisceau I'(x,y, z-, l)+l(x''+y^+z^)—0 
il y en avait trois tangentes à un plan donné R aux points Mj, Mj, Mj ; soient Si, 2j, S, ces trois surfaces. 
Nous avons démontré que tous les cônes tels que C admettaient pour axes de symétrie les trois droites 
PM,, PMj, PMj. Tous ces cônes sont de plus homocycliqucs, les systèmes de plans cycliquas étant 
déterminés par le point P et les sections faites par le plan R dans les surfaces 1,, Ij, ^3, sections qui 
so composent de droites. Un seul de ces système est réel, et parmi les trois surfaces S,, ï.^, S^, il y en a 
toujours une et une seule à génératrices réelles. 

Corrélativement, les cônes circonscrits d'un point donné comme sommet à un faisceau de surfaces 
homofocales sont homofocaux; en particulier les contours apjjarents de deux surfaces homofocalcs sur 
un même plan sont deux courbes homofocales (projection orthogonale); les deux focales réelles d'une 
môme surface se projettent orthogonalement sur un plan quelconque suivant deux coniques homofocales. 

Paul Jordan, 
élève au Collège Stanislas, 
' Voir la note ci-après. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 177 



Note. — La démonstration donnée plus haut a besoin d'être complétée. 
Reprenons l'égalité 9(0, b, c, d) = u.{a* + ô* + c') ; 

il reste à prouver que ,a est une constante. Par hypothèse on doit avoir 

o(x, y, z,t) = y.(x^ + ^' + =') (3) 

pour toutes les valeurs de x, y, s, t vérifiant l'équation 

fix, y, z, t) = 0. (6) 

Regardons t comme une fonction de x, y, z définie par cette dernière équation. On a, en vertu de 
l'équation (6), 

rff _ _ f i 

L équation (o) donne cp + m -— = 2ax + a;^ V- 

dx ' (Ix 

, fx ^ „ d,>- 

ou o, — 9, — = 2V.X -i- x^ -i-; 

^' /•; ' dx 

mais en vertu des équations (3) on doit avoir 

T'z 
o' — o', —, = 2.1x0; > 

donc -!- = 0. 

dx 

On verrait de même que -^ = et — ^ = 0; 

dy dz 

par conséquent \j. est une constante. 

Cela étant, la fonction z{x, y, z, t) — 'j.{x^ + y'^ + î") 

est nulle pour toute.s les valeurs do x, y, z, t qui vérifient l'équation f{x, y, z, t) == . En d'autres 

termes la quadrique représentée par 

9^0-, y, z, t) - \j.(x^ + y^ + :') = 

passe par tous les points de la quadrique Q; donc elle se confond avec elle, et l'on a 

a{x, y, z, t) — a{x'^ + y'^ + 5") = 'S-f(x, y, z, t), 

K étant une constante, ainsi que \j.. Donc enfin l'équation cherchée est de la forme 

Kfix, y, z, t) + u(a;> + ?/» + z^) = 0. 

(B. N.) 



GEOMETRIE ANALYTIQUE 



69. — On donne une ellipse l'apportée à ses axes : 

1° Trouver l'équaiion du système des tangentes menées à cette courbe par un point donné P. — On 
prolonge ces tanyentes Pil, PM' jusqu'à la rencontre de la directrice DL en T el T ; trouver le lieu des positions 
du point P pour que le point D soit le milieu de TT'. — Expliquer géométriquement le résultat. 

2° Lieu du point V pour que l'angle TFT' .soi7 droit. — Montrer que ce lieu est une conique Cqui a aussi 
pour foyer F et pour directrice DL. — Discuter cette conique. 

3" L'ellipse donnée ayant ses foyers fixes et la conique V, étant une hyperbole, trouver le lieu des projections 
du foyer F de toutes ces hyperboles sur leurs asymptotes. 

4" Trouver l'enveloppe de la conique C quand l'ellipse donnée est variable, mais a ses foyers fixes. 

(Certificat d'aptitude à l'enseignement spécial, 1890, 4" session.) 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



1". — L'c(]uation du système des tangentes menées à l'ellipse définie par l'équation 




1=0, 



par un point donné P (a, p), est 

\a^ b' I \a- b- J\a- 6» / 

et un remplaçant dans cette équation x par — , abscisse de 

la directrice DL, on aura l'équation aux ordonnées des points 
T et T'. 



Cette équation s'écrit, en posant H 



1, 



¥lïï-^j + -lï7~ + 7^ = ^- (') 

Le point D sera le milieu de TT' si cette équation a ses racines égales et de signe contraire, c'est-à- 
dire si (5(a — c) = 0; 

par suite le lieu du point P se compose de l'axe des x, solution évidente, et de la droite menée par le 
foyer F perpendiculairement à l'axe focal. 

2" — Si y' et //'sont les racines de l'équation (1), les coefficients angulaires des droites FT et FT' sont 

y' „» y" „., '^y' 



et 



f '' 



ces deux droites seront perpendiculaires si —~ — = — 1, ou, eu tenant compte de l'équation (I), 



C'est l'équation du lieu demandé. 
On sait que l'on a l'identité 



26«H- (a-c)»- ^' = 0; 

bm = (a- cY + S' - — fa - —V ; 
a' \ Cl 

a - c)' + f-.» (a ) =0, 



l'équation devient 

et nous voyons ainsi que le lieu est une conique ayant pour foyer le point F, pour directrice 

correspondante la droite DL, l'excentricité étant - \Jl. 

On en déduit aisément le genre de cette conique. 

3° — Transportons l'origine des coordonnées au foyer F; l'équation de celte conique devient 
^. + y.=_(, + e--); (2) 

les perpendiculaires aux asymptotes menées par le point F ont pour équation 

2c' 
t + ^'- = —, t- (3) 

Ces droites rencontrent les asymptotes sur la directrice; on aura donc le lieu des projections du 
foyer sur les asymptotes en éliminant a} entre l'équation (3) et celle de la directrice 



X -^ c = 0. 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



179 



On obtient ainsi «(as* +!/'') + c-{x- — y^) = 0, 

équation d'une strophoïde droite, ayant pour point double le point F et pour sommet le point 0. 

4" — Pour avoir l'enveloppe de la conique (2), nous écrivons que l'équation (2) a une racine double 
en a*. Cette équation peut s'écrire 

2a» — a-lx"^ + î/' + 4c(a; + c)] + 2c«(x + c)- = 0; 
elle aura une racine double si 

[x^ + if + ic(x ■+- c)]» — 16c^(x + c)^ = 

ou (x- + y''}{x^ + If + Scx + 8c^) = 0. 

L'enveloppe se compose donc des droites isotropes issues du point F, ce qui était à prévoir, puisque 

ce point est foyer commun à toutes les coniques, et d'un cercle ayant son centre sur Ox. 

J. Perrin, lycée de Besançon. 

Ont résolu la même question : MM. G. Cdnt (école Saint-Sigisbert, à Nancy) : Dblpierrb (marine, Dieppe); Descombes (Annecy); P. Uesmarbst 
(Compiègne); F. Faure (Valence): Hallaro (Bordeaux); E. Jacquest (lycée de DijonI; E. Jossinet (Troyes); A. LECOeciERRE (lycée de Rouen); 
MuNiER (surveillant générul au collège de Dûle); Ferrée (CondorcetI ; ViossAnx (lycée de Toulouse). 



Solution géométrique. 1» — Le point D étant le milieu de TT', FT et FT' sont également 
inclinées sur OF. Mais FM et FM' sont respectivement perpendiculaires sur FT et FT'; donc FM et FM 
sont aussi également inclinées sur OF, et par suite la bissectrice FP de l'angle MFM' est perpendicu- 
laire sur OF. Le lieu du point P est donc la perpendiculaire menée par F sur OF. 

2° — Si l'angle TFT' est droit, il en est de même de l'angle MFM'; les points M, F, T' sont en 

ligne droite et l'angle PFT' est égal à 13o°. Menons PR et 
M'Q perpendiculaires sur la directrice; on a les égalités 
M'Q _ TW _ surface M'FT' 
"PR"^ ^' 



^__W[p 




R 


^^"'^^ 


\m'/' 


T 

Q 


( d F 


/ "\ 


D 
T' 



T'P 
d'où l'on déduit 



FM' X FT' sin 90» _ FM' ,- 
FP X FT'siniao" ~ Tp"^ ' 



v/2. 



surface PFT' 

FP _ F -M' 
PR^M^ 
Le lieu du point P est une conique ayant pour foyer le 
point F, pour directrice la droite DLetpourexcentricité celle 
de la conique donnée mullipliée par y/i. 

30 — Nous nous appuierons sur ce que dans une conique à centre le rapport des distances du 
centre au foyer et à la directrice correspondante est égal au carré de l'excentricité. 

Soit C le centre de l'hj'perbole ayant pour foyer F, pour directrice DL et pour excentricité 
l'excentricité de l'ellipse donnée multipliée par \/2. Dès lors, en vertu de la remarque, on a 
CF OF 

CD ~ OD ' ' 

L'un des rapports auharmoniques des quatre points 0, F, D, G étant égal à 2, ces points sont 
en proportion harmonique et les deux points et D sont conjugués 
harmoniques des points F et C. 

Décrivons un cercle sur FC comme diamètre qui coupe en M la 
directrice; CM est une asymptote de l'hyperbole, FM la perpendicu- 
laire issue du foyer à cette droite, donc M est un point du lieu. Mais 
OM est tangente en M à ce cercle, puisque Dest conjugué harmonique 
de par rapport à F et à C; cette droite OM rencontre en I la tangente 
en F au cercle; on a donc IF = IM, le lieu du point M est donc une 
strophoïde droite ayant le point pour sommet et le point F pour point double. 



CF OF _ 
GD'ÔD "'■ 




180 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Il semble d'après la construction que les branches infinies de la strophoïde issues du point F 
constituent seules le lieu. Il est aise de voir que la boucle correspond au cas où la conique donnée est 
une hyperbole, c'est-à-dire au cas ou le point D se trouve entre le point et le point F. 

4° — Considérons deux ellipses voisines ayant pour centre le point 0, pour foyer le point F et pour 
directrices les droites DL et D'L'. Dcsigons par a et a' (a < a') les demi-grands axes. A ces deux ellipses 

correspondentdeux coniques Cd'excentricité — \/'2 et —v/2. Nous cherchons l'enveloppe de ces coniques. 

Pour cela soit M, un point commun à ces doux coniques; abaissons M, H, et M,Hi perpendiculaires sur 
les directrices; on aura 

MiHi a ' 

M,H, _ a 
M,H; ~ a' ' 
Cela montre que M,Hi est plus petit que M,H'i, c'est-à-dire que le point Mj est à gauche de DL. 



M,H, a' ^ 



d'où 



y 






M,\ 




H 


Pj F 




D X 



On déduit de la même égalité 

M,H, m,h; 



d'où 



M.Hj 



DD' _ 
a' -■ a 
a(a + a') 



Supposons que a' tende vers a; le point M, tend vers une position 
limite M sur la conique d'excentricité - \/2, telle que l'on ait 

2a^ 
MH = — . 
c 

On eu déduit MF = 2a\/2, ce qui définit la position du point M. Le lieu de ce point est l'euvoloppe 

cherchée. 

On a MP^ = MF- - PF" 

MP- = Sa- - (- + cj ; 

en désignant par ce et j/ les coordonnées du point M par rappor.t aux axes Fx et Fj/ 

MP = ij, X = — (- + cj, 

on obtient »/' = — ^(^ -f- c) - x' 

ou .T- + If -4- 8c(x + c) — 0, 

qui est un cercle facile à construire. 

J. Richard, profes-'eur au lycc'c de Tours. 

Jl. Tbi'tai', élève au lycée de Douai, a envoyû une solution analytique, et une solution géomélriquc analogue à la précédente. 



70. — Deux droites passent respectivement par les points fixes A <>/ B , et interceptent une lonr/ueur 
donnée h sur l'axe y'y . 

1° Trouver le lieu géométrique du point de rencontre M de ces droites. 

1" Cette courbe G passe par A. et B , on mène les tangenlei en A et B qui se coupent en P ; lieu de 
ce point P quand on fait varier h . 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



181 




3° Si le point B reste fixe et si le point A se déplace sur x'x , la longueur h étant constante, quelle 
ligne décriront les points de la courbe C pour lesquels la tangente est parallèle à AB ? 

4° Trouver le lieu des foyers de cette nouvelle courbe, quand on fait varier h . — Construire et indiquer 
la disposition particulière des lignes dont se compose ce dernier Ik'u. 

(Certificat d'aptitude à l'enseignement spéciat, 1890, 1' session.) 

1° Soient a et b les abscisses des points A et B ; si X est l'ordonnée de G , celle de D sera 
l -h h , et les équations des deux droites BC et AD seront respectivement 

b l a A -4- ft 

-D Éliminant X entre ces deux équations, on a l'équation du lieu, 

qui se met aisément sous la forme 

(a — b)xy + hix — a){x — 6) = 0, 
ou, en développant, 

/jx" + (a — b)xy — h(a + b)x + hab = 0. 
Sous la première forme, on voit que le lieu est une conique qui est circonscrite au quadrilatère 
formé par les droites menées par A et B parallèlement à Oy et par les axes de coordonnées. Cela 
nous montre que la courbe C passe par les points A et B et admet pour asymptote Oy. La deuxième 

asymptote a pour équation 

hx + (a — b)ij — h{a + &) = ; 

elle coupe O.r au point E , symétrique de par rapport au milieu de AB , et est parallèle à la 

droite joignant le point A au point F d'abscisse b et d'ordonnée h. 

Nous conformant à la figure qui accompagnait le 
texte, nous avons supposé que la longueur h était 
portée à partir du point G vers les y positifs; mais, 
d'après l'énoncé, on doit aussi porter cette longueur h 
dans le sens des y négatifs; cela revient à changer h 
en — A dans les calculs qui précèdent, on obtiendra 
comme lieu une seconde hyperbole, symétrique de la 
première par rapport à Ox . 

2° Le pôle de la droite AB , ou de l'axe des^ , par 
rapport à la conique C est déterminé par les deux 
équations 

/; = 2te + (a - b)y - h{a + 6) = 0, 

/•: = h[- {a + b)x + 2a6] = 0, 

qui nous montrent que quand // varie, le point P décrit 

,qui est perpendiculaire à Ox au point I conjugué harmonique de par rapport 




lab 



la droite 
àAetB. 

Remarque. — On voyait très simplement que le lieu du point M était uue conique passant par A 
et B , puisque les deux droites BG et AD engendrent deux faisceaux homographiques. Gette conique 
est une hyperbole, car on a des points à l'infini dans la direction de l'axe Oy et dans la direction 
AF , puisque, lorsque AD passe par le point F , BG est parallèle à AF. On a aisément les tangentes 
en A et B en cherchant dans chaque faisceau le rayon homologue de AB. II suffit de prendre de 
part et d'autre du point sur Oy les longueurs OG = OH = A ; AG et BH sont les tangentes. 



182 



GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



Projetons le point P , intersection de ces deux tanj^enles, en I sur Ox ; ou a 

IP _ U _ IB 

h a b 

ce qui inoutre que le point I est le point conjugue harmonique de par rapport à A et B . Le lieu 

du point P est donc la droite IP . De plus cette droite IP est la polaire du point , ce qui montre 

que 0^ est asymptote de la courbe C . 

3° On aura le lieu des points de la courbe C oii la tangente est parallèle à Ox , en éliminant a 
entre l'équation de la courbe 

f{xy) = hx' + (a - b)xij — Ina + b)x + liab = 

et celle du diamètre conjugué de Oa; 

/•; ~ 2lix + {a - b)y - h{a + 6y = 0. 

Retranchons membre à membre, après avoir multiplié la deuxième par x ; il vient 

œ' = ab, (1) 

X* 

d'oli l'on tire a = -r » "t remplaçant dans la deuxième, il vient 

(x — b)[{x + b)y — h{x — b)\ = 0. 

Le facteur x — b donne une solution singulière, car si on fait x = b dans l'équation (1), la 
valeur du paramètre a devient égale à 6 , et l'équation de la conique se réduit à {x — b)^ = 0. 

Le lieu est donc une hyperbole équilatère, dont les asymptotes sont les droites x + b — et 
y — h = , et qui passe par le point (6 , 0) et le point (0 , — h). 

4° Les foyers de cette courbe sont déterminés par les équations 

(y - hy -{x+ b)^ ^ 0, 

(y — h){x + b) — '2(xy — hx + by + bh) ^ 0. 

Eu éliminant /( eulre ces deux équations, on aura l'équation du lieu. De la première on tire 

y — h — ± (x + b) ou II ~ y z^i (X + b) 

et remplaçant dans la deuxième qui peut s'écrire 
[y - h){x + 6) + 26/i = 0, 
ou obtient ± iby = (x + 6)* — ib{x + b) 

ou bien (x — bp - 'ib^y + 6) r= 0, 

{X - bf + 46(2/ - 6) = 0. 

Ce sont les équations de deux paraboles égales, symétriques par 
rapport à Oa; , ayant pour axe la droite x = b , pour sommets respec- 
tifs, les points {b, — b) et (b, b) et dont le paramètre est égal à 26 ; elles sont par suite homofocales 

et ont pour foyer le point B. 

A. Lecoquiehhe, lycée de Rouen. 

Autres solulions par MM : Alfred Babiuoi., à Paris-, G. Cunv, école Sainl-Sigisbert, à Nancy;!'. Drcobkaix, lycée de nouai; A. Dblpiehre, 
collèse de Dieppe; Desco«iibs (Annecy); J. Dii'uv lEiordeauNl; I". l'Aune (Valence); E. Jacquest lycée de Dijon; B. Jossinrt (Troyes); Lkmoult (la 
Roche-sur-ïon); Léon Muniek, surveillant général au collège de Dôle; Uenri Pellissiek, lycée de Lyon; L. I'eurbe (fondorcet); J. Pkrrin, lycée d 
Besançon; A. Fouilliakt, lycée de Clermonl. 




PHYSIQUE 183 



PHYSIQUE 

80. — Un calorimètre de laiton pesant oOOS"' contient â"*" d'eau à la température initiale de 10°. Avec 
une vitesse constante, on fait tomber dans le calorimètre un filet d'eau à 80°, de façon que dans chaque minute 
le poids d'eau écoulée soit de o'"' . En supposant que le calorimètre ne subisse aucune perte de chaleur, quelle 
sera la température t° au bout de x secondes? 

On prendra 0,09o pour la chaleur spécifique du laiton. 

Quelle est la courbe que l'on obtient, en portant les températures t° en ordonnées et les temps x en abscisses? 

(Bourses de licence, IS90.J 

Désignant par <,, t^, l^. . . t les températures de l'eau du calorimèlre au bout de la première, delà 
seconde, de la troisième,. . . de la a;"" seconde, et remarquant que la valeur en eau du calorimètre est 
0,09S X oOO + 2000 — 47,500, l'énoncé fournit facilement les équations suivantes : 

47,o00(^-10) = ^ (80- l,), 
(47,500 + |j){i,-^)=^ (80 -g, 
(47,500+|?)(/, -t.) = ^ (80 - t,), 

(47,000 + (X - 1) ^{l - <._,) = ^(80 - t) 
que l'on peut écrire ^47,500 + T^) ^1 - 10 X 47,500 =7^-80, 

(47,500+2.1) ^,-(45,500+ 1) /, = — 80. 
(47,500+3.1) «3-(4o,o00+2.1)/,=l. 80, 



(47,500 + a-. 1) < - [45,500 + (x - 1 ) Ij /,_, = p ■ 80, 

d'où on tire, en ajoutant membre à membre : 

— 10 X 47,500 + (47,.500 +x~\l = ^x-m, 

ou, ordonnant et chassant le dénominateur 12 : 

xl + 570^ - 80a; - 5700 = 0, (1) 

ce qui montre qu'à chaque valeur de x correspond une seule valeur pour t, et de même à chaque 

valeur de l correspond une seule valeur pour x. 

80a; + 5700 

On a t = M-^ > 

X + 5/0 

valeur toujours acceptable. Ou voit que t ne pourra devenir égal à 80 qu'à la limite si ou fait x = 00, 



184 QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



ce qui était évident a priori. Ou le voit duillcurs facilemout eu couslruisaut la courbe représentée 
par la relation (1), courbe qui est une hyperbole ayant pour asymptotes les parallèles aux axes menées 
par le point de coordonnées te = — o"0, t — 80) qui est le centre de la courbe. 

La branche située dans l'angle des coordonnées positives correspond seule au phénomène physique. 



(Henri Niewenglowski.) 



QUESTIONS POSÉES AUX EXAMENS ORAUX 



3"' 



École normale supérieure (1891). 

PHYSIQUE 

Questions de M. BriUouin. 
44. — Principo de Torricelli. — Pourquoi, dans un écoulement, l'eau se sépare-t-elle en gouttelettes? 

r, 45. — Sur un plateau d'une balance est une cuve C pleine d'un liquide de densité d\ sur 

P l'autre plateau est fixée une potence P qui soutient au moyen d'un fil un corps D, de poids p, qu'on 

peut à volonté immerger dans le liquide de la cuve. L'équilibre étant établi, le corps ne plongeant 

pas dans le liquide, que faudra-t-il faire pour le rétablir si on vient à plonger le corps dans le liquide? 

46. — Détermination do la dilatation d'un gaz sous volume constant. .\vec quelle précision devra-t-on mesurer les 
pressions pour avoir le coeiBcient de dilatation à —— ■ près .' 

47. — Chauffant un certain liquide progressivement dans un vase clos, comment pouna-t-on reconnaître qu'on a 
dépassé le point critique ? 

48. — Lignes focales dans les miroirs sphériques. 

49. — Ou donne deux droites lumineuses AB et A'B'en grandeur et en position. Trouver un miroir spbérique tel que 
l'une soit l'image de l'autre par rapport à ce miroir. Cas où les points A et X' , B et B' doivent se correspondre. 

30. — Vision à travers une surface plane. — Étant donnée une ligne droite dans une cuve pleine d'eau, quelle forme 
aura son image pour un œil situé hors de l'eau? Construire l'image par points dans le cas où la droite est perpendiculaire 
et dans le cas où elle est parallèle à la surface libre de l'eau. 

51. — Sachant que dans un système optique centré on a /", = — /^^ quand les milieux extrêmes sont identiques, 
démontrer qu'on a -' = quand les milieux extrêmes sont différents et ont »i, et ii, pour indices absolus de réfractinn. 

fi "a 

52. — Trouver les plans principaux d'une surface spbérique en les délinissant comme les plans donnant un grossis- 
sement égal à + 1. 

53. — Plans principaux d'un système de deux lentilles ayant un foyer commun et mêmes distances focales principales. 

54. — On considère deux sphères concentriques de rayons H et R'. L'intérieur est plein d'air; 
l'espace annulaire est en verre. Étudier la marche des rayons lumineux issus d'un point P situé en 

Aifi) ) dehors de ce système; conditions d'émergence; élude des rayons remarquables. Cas particulier : 
R' = 2H. 

55. — Clarté dans la lunette astronomique. Comment expliquo-t-ou qu'on puisse voir les 
étoiles en plein jour? 

56 à 58. — Voir les Qucsliomt pro/iosées n" 115 à 1 17. 




CONCOURS DE 1891 183 



CONCOURS DE 1891 (suite). 



ECOLE CENTRALE 



Première session. 

Géoini'-trie analytique. 

108. — On donne deux axes rectangulaires Oa-, Oy, et, sur l'axe des x, un point A dont l'abscisse est a. 
On considère le faisceau des ellipses pour lesquelles le point O est un sommet d'axo non focal et la parallèle 
à l'axe des y menée par le point A une directrice. 

I. — Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que deux ellipses du faisceau considéré 
passent par un point donné P est que ce point soil à l'intérieur du cercle qui a le point pour centre et OA pour 
rayon. 

IL — Démontrer que ce cercle a un double contact, réel ou imaginaire, avec chacune des ellipses du 
faisceau. 

in. — Limiter les régions du plan dans lesquelles doit être situé un point P : 

1" Pour qu'une seule des deux ellipses du faisceau qui passent par ce point ait avec le cercle un double 
contact réel; 

20 Pour que chacune des deux ellipses du faisceau qui passent par ce point ail avec le cercle un double 
contact réel; 

3" Pour qu'aucune des deux ellipses du faisceau qui passent par ce point n'ait avec le cercle un double 
contact réel. 

IV. — Lieu des pieds des normales menées par le point à toutes les ellipses du faisceau. 

(Si juillet, de 7 h. à U h.) 

Calcul IriyonomHnquc. 

1" Calculer les angles d'un triangle isocèle dont la baseet lahauteur sont dans le rapport de J à 0,65'24372i ; 
2" Calculer la base et la surface de ce triangle sachant que le rayon du cercle circonscrit est de 3o27o'",l7. 

(23 juillet, de i h. i/g à i h.) 
Physique et Chimie. 

1. — Une pompe aspirante et foulante, de capacité C, est reliée, par le tube d'aspiration, à un réservoir de 
volume A contenant un gaz sous pression H,,, et, par le tube de refoulement, à un réservoir de capacité B 
contenant le même gaz sous pression Pq. Le piston est au début au bas de sa course et la machine ne possède 
pas d'espace nuisible. 

Calculer les pressions successives : H,, II, ••• H», Pi, P-j ••• P», dans les deux récipients lorsqu'on 
fait fonctionner la pompe. 

IL — Deux prismes A et B, d'indices /!, et n.,, dont les arêtes sont parallèles et opposées, 
se touchent par une face. 

Écrire, sans dânonstration, les équations qui règlent la marche à travers cet appareil d'un 
rayon lumineux simple, situé dans un plan perpendiculaire aux arêtes. 

A quoi se réduiseut ces équations si le rayon incident et le rayon émergent sont, 
respectivement, perpendiculaires aux faces d'entrée et de sortie? 




186 CONCOURS DE 1891 



III. — Comme établit-on par synthèse la composition des gaz suivants : Acide chlorhj-drique, acide 
sulfureux, acide carbonique? 

Dire si la composition de ces gaz répond aux lois de Gay-Lussac. 

IV. — On prend dans l'eudiomètre 100'-'^ d'un mélange d'oxyde de carbone et d'hydrogène. On y ajoute 
50": d'oxygène pur et on fait détoner. Il se dépose de l'eau sur les parois de l'eudiomètre et il reste 50^<^ de 
gaz acide carbonique pur. 

Ouelles sont les proportions de gaz oxyde de carbone et de gaz hydrogène dans le mélange primitif? 

(ii juillet, de 7 h. à 10 h.) 
Géométrie descriptive. 

109. — Placer la ligne de terre parallèlement aux grands côtés du cadre, à 0"',10du grand côté inférieur. 
Porter, sur cette ligne, à partir du petit côté gauche du cadre, O^.iO. Le point obtenu est la projection 
horizontale de l'axe vertical d'une surface gauche de révolution. Le cercle de gorge, qui a O^.OJJ de rayon, est 
^jOT projeté verticalement à U"',08 au-dessus de la ligne de terre. La droite de front, 

qui engendre la surface gauche, est projetée en avant de la ligne de terre et a 
sa trace horizontale à O^jOS du petit côté gauche du cadre, de sorte que sa 

pente est ^^ 

Par la trace horizontale de cette génératrice, on fait passer un cercle de 
0^,04 de rayon, dont le centre est à 0",0S en avant de la ligne de terre et est plus 
rapproché de l'axe de la surface gauche que ne l'est la trace horizontale de la 
génératrice. Ce cercle est la base d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la génératrice de front 
donnée de la surface gauche de révolution. 

Représenter, par ses projections et ses contours apparents, la portion du cylindre, supposé plein et opaque, 
comprise entre le plan horizontal de projection et le plan horizontal situé à 0"',16 au-dessus de celui-ci, et 
extérieure à la surface gauche. 

L'extérieur de la surface gauche est la portion de l'espace où n'est pas situé l'axe de révolution. On 
n'indiquera à l'encre rouge que les constructions nécessaires pour déterminer un point quelconque de la courbe 
d'intersection des deux surfaces et la tangente en ce point, les points extrêmes, les points situés sur les 
contours apparents, les asymptotes. 

On exposera succinctement, sur une feuille à part, le procédé suivi pour chacune des déterminations 
précédentes. 

Titre extérieur : cylindre limité par une surface gauche. 

Le titre, en lettres dessinées, est de rigueur. Le cadre a O", w sur O". 27. 

(ii juillet, de 7 h. à H h.) 

ÉCOLE DES MINES DE SÂINT-ÉTIENNE 



Géométrie analytique. 

110. — - A et B sont les foyers d'une ellipse lixe E. Une conique C ayant un de ses foyers au point A 
touche l'ellipse E et passe par le point B. 

On demande de trouver par l'analyse et la géométrie : 

1" Le lieu du second foyer de la conique C; 

2" Le lieu des extrémités du grand axe de cette courbe. 

g (I" août. — Durée : 4 heures.) 

Calcul trigonomclrique. 

Calculer les côtés et les angles d'un quadrilatère inscriptible ABDC, connaissant 

AB = 25,6097, ABC ^ l)7°2-2'48",48, BG = 66,5853, CBD = 45°. 
Présenter les éléments du calcul. 

(1" août. — I lieure.) 




QUESTIONS PROPOSÉES 



187 



Gi'ométrie descriplive. 

Oa = 5R, sV = 2R, AB = 3R. 

Intersection d'un cylindre oblique à base circulaire avec une pyramide 
triangulaire droite dont l'axe rencontre celui du cylindre, et dont une face est 
parallèle à la ligne de terre. 

Tracer les ellipses de section plane et déterminer en vraie grandeur celle 
de la facH parallèle à la ligne de terre. 

(3 août. — 3 heures.) 

Physique el chimie. 

I. — Nature et propagation du son. Lois des sons émis par les tuyaux 
sonores. 

II. — Comparaison entre les propriétés des principaux composés du fer et du manganèse. 

m. — Quel est le volume d'air nécessaire pour transformer par combustion un volume de protocarbure 




d'hydrogène en eau et acide carbonique? 



(i août. — 3 heures.) 



QUESTIONS PROPOSÉES 



111. — Si les côtés a, 6, c d'un triangle ABC sont des nombres entiers et que P>, r, r^, n,, r^,p, S désignent 
respectivement le rayon du cercle circonscrit, les rayons du cercle inscrit et des cercles exinscrits, le demi- 
périmètre et la surface du triangle, chacune des expressions 

g2(4R2 + 20Rr — 2r2 - pi) — r3{4R + r)3 

et S2[4R2 — 20Rr„ — î>rl - [p — a)2] + r^(4a - r^f 

est nulle ou égale à un carré parfait. 

(E. Lemoine.) 

112. — En conservant les mêmes notations, démontrer que : 

So2(a — b)(a — cj(a + 6 — 2c)(a + c — 26; = I662(R - 2')2 
et que si dans le premier membre développé, on change 6 en — 6, c en — c, on trouve pour résultat 

16S^(R + 2r„)2. 

(E. Lemoine.) 

113. — Soit d le point où le cercle des neuf points du triangle ABC touche le cercle inscrit, d le 
point oii la tangente menée par d au cercle inscrit touche l'ellipse inscrite au triangle et dont le centre est 
le centre de gravité du triangle (ellipse inscrite de Steiner). Démontrer que l'on a : 

•1 (& — c)(c — a)(a — 6) _ (b— c)(c — a)(a — 6) 



dd' = - 



62. 



- bc — ca — ab 2(p- — 3co) 

(î désignant 4R + r) et que si 2a = 6 + c, cette tangente est parallèle à BG, distante de A du tiers de la 

1 
hauteur partant de A et alors dd' = - (c — 6). 

(E. Lemoine.) 

114. — Étant donnée une courbe plane quelconque (C) rapportée à deux axes rectangulaires Ox, Oy 

el un point S dans son plan; on prend un point M sur (C) et l'on mène la tangente MT à celle courbe en M. 

Cette tangente coupe l'axe des x en T, que l'on joint à S; la droite ST coupe l'ordonnée de M au point N. 

On prend le point m, conjugué harmonique de N par rapport à M et à son symétrique M' par rapport à Ox. 

On demande le lieu de m quand M parcourt la courbe (G), ainsi que la tangente à ce lieu en chacun des 

points m. 

(E. Jablonski.) 



188 



QUESTIONS PROPOSEES 




Fig. 115. 



Vase de Mitriolte. L'écoulement est-il rigoureusement constant? Analyser ce qui se passe quand' 
fermé en bas, est ouvert sur le côté (en 0). — Un certain volume de liquide s'étant écoulé, trouver 
la bulle d'air qui va se former. 

[Ecole normale, 1801. — Eûcamem oraux (M. Brillouin).] 

116. — Étant donnés deux vases communiquants cylindriques, 
de rayons très petits, situés à une distance r l'un de l'autre et 
renfermant deux liquides de densités d et d', on fait tourner le 
système autour de l'axe de l'un des vases AB, avec une vitesse 
angulaire uniforme w. Que deviendront les niveaux du liquide 

B; dans les deux vases? 

Fig. lin. Fig. 117. (Id.) 



Hi 



117. — Conditions d'équilibre des corps lloltanls. Application au ludion. Le ludion est supposé cylin- 
drique et de la forme d'une éprouvclte ouverte à la partie inférieure; de combien s'enfoncera le ludion quand 
ou augmentera la pression de l'air situé à la partie supérieure d'un mètre d'eau? Au. début l'éprouvelte est 
supposée flotter, son lond étant situé sur la surface libre. 

(Id.) 



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Le lUdaclmr-Géranl : H. VUIBERÏ. ?^ 



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année 1 



Revoie de mathématiques 
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